测量平差的基本任务是依据某种最优化准则，使用数学方法处理含有误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度^[1]。受非线性影响，平差后参数的最小二乘估值不再具有唯一性、无偏性和方差最小性，因此如何建立合理的、能够反映非线性模型本质的非线性平差精度评定理论，对平差参数估值的评价具有重要意义。

非线性平差精度评定方法可分为两大类：1)基于泰勒级数展开的近似函数表达式法；2)基于统计采样策略的近似函数概率分布法。在大地测量学领域，对非线性平差精度评定的理论研究始于20世纪80年代^[2-3]。受限于计算能力，早期非线性平差精度评定方法主要以近似函数表达式法为基础，通过导数运算，基于误差传播理论获取精度信息。近似函数概率分布法是近年来发展的一种新的精度评定方法，主要分为确定Sigma点法、重采样Sigma点法及随机采样Sigma点法。得益于显著提升的计算性能，目前对近似函数概率分布法的研究与应用受到广泛关注。

本文从近似函数表达式法和近似函数概率分布法两方面论述非线性平差精度评定方法的研究现状，在列举现有近似函数概率分布法的基础上概述相应方法的基本原理，分析其适用性和优缺点，并展望未来的研究方向。

1 近似函数表达式法

近似函数表达式法将待求量表示为观测值的非线性函数，并基于导数运算的泰勒级数展开，以近似非线性函数的表达式，通过线性误差传播定律得到未知参数估值的精度信息。不同的非线性函数一般具有不同的非线性强度，基于泰勒级数展开的近似函数表达式法与非线性强度密切相关，非线性强度越强，线性近似时产生的模型误差越大，参数估值的精度越低^[4]。因此，在使用近似函数表达式法之前，需评估函数的非线性强度。王新洲^[5]提出一种非线性强度判断准则，同时给出线性近似后模型误差的计算公式。

近似函数表达式法主要体现了参数估值与观测量非线性关系的近似，其理论基础是误差传播定律，该方法可以给出精度估计的显式公式，同时具有明确的精度阶数。Tukey^[6]首次使用泰勒级数展开来研究误差传播；Wolf^[7]首次推导了含有2阶项的非线性函数误差传播定律，但其公式推导不严密，且适用范围小。随后，学者们分别从方差概念^[8]与线性空间及矩阵理论^[9]2个角度出发，对含有2阶项的误差传播公式进行补充，同时推导了非线性高斯-马尔科夫(GM)模型^[10]和非线性变量误差(EIV)模型^[11]相应的参数估值2阶精度协方差公式。在精度估计中，通常使用1阶精度，2阶精度略高^[11]，3阶及以上精度已超出观测水平，其计算难以实现^[12]。

近似函数表达式法是一种线性近似方法，只能获得输出的统计矩，且其使用有一定的限制条件：非线性函数在一定条件下是连续可微分的，输入量通常需要正态性假设。由于具有出色的分析能力，近似函数表达式法目前已成为精度评定的主流方法，常作为近似函数概率分布法的对照，但因Jacobian矩阵和Hessian矩阵计算困难，该方法在应用于具有高非线性强度及高维度的问题时较为困难。

2 近似函数概率分布法

近似函数概率分布法是一种不确定性方法，其根据先验信息随机生成大量Sigma点，经非线性变换来近似非线性函数输出量的概率分布。Sigma点即样本点，现有研究根据生成方式将其分为确定Sigma点、重采样Sigma点和随机Sigma点。该方法最大的特点是可以避免复杂的导数运算，同时由于无需顾及非线性函数的构造，在处理多维复杂的非线性平差精度评定问题时具有独特的优势。

2.1 确定Sigma点方法

确定Sigma点方法使用确定性采样策略生成Sigma点，进而近似非线性函数输出量的概率分布，分为UT变换法和Sterling插值法2种。

2.1.1 UT变换法

UT变换法通过确定的采样策略获得非线性函数的2阶近似均值和方差或协方差^[13]，相较于其他近似函数概率分布方法，在保留高阶项信息的基础上，通过调节参数可准确地近似非线性问题的概率分布^[14]。Julier等^[15]指出当UT采样策略应用于不同的误差传播场景时，最优参数难以确定。针对这一问题，Wang等^[16]使用粒子群算法(PSO)确定UT变换中的采样参数，并分析服从非正态分布的观测数据的误差传播性能。

自UT变换法提出以来，针对不同的应用场景制定了许多采样策略，其中比例对称采样策略^[17]应用广泛，相应的UT法称为SUT法。Wang等^[18-20]将SUT法引入一般非线性函数误差传播理论中，研究不同参数取值对精度评定结果的影响；并将SUT算法与总体最小二乘(TLS)迭代算法结合，避免导数运算且计算精度更高；同时利用SUT法分析具有不同方差的断层参数对断层相应位移的影响，发现SUT法的计算效率更高。此外，SUT法还被应用于对附有不等式约束的Partial EIV模型参数估值^[21]、基于方差分量估计方法获取的Partial EIV模型参数估值^[22]、断层参数反演^[23]和病态乘性误差模型参数估值^[24]的精度评定计算。目前，基于其他策略改进的UT变换法的精度评定研究较少，王乐洋等^[25]基于超球体单行采样策略发展了一种EIV模型参数估计的新方法，可得到比传统总体最小二乘迭代方法更合理的结果。

UT变换能以较低的计算成本获得非线性问题的2阶近似精度，从而有效解决导数运算困难的非线性平差的精度评定问题；适用性强的SUT法能够有效发挥UT变换的近似能力。然而，当计算多个非线性函数时，SUT法是否可以获得2阶精度尚无理论证明。此外，在计算非线性函数的均值和方差或协方差时，参数α、β、κ之间的关系尚不明确，其取值非自适应。参数因子的确定会直接影响精度评定的结果，因此如何针对不同的非线性大地测量问题自适应地确定参数值或参数范围，以进一步提高UT变换方法的近似精度，仍有待研究。

2.1.2 Sterling插值法

Sterling插值法是中心差分卡尔曼滤波的核心算法，其根据步长因子产生采样点，以差分加权的方式估计非线性函数的均值和协方差^[26]。在大地测量数据处理中，该方法以应用为主。

Wang等^[27]提出基于非线性函数误差传播的Sterling插值法，并通过公式推导证明该方法得到的均值能够达到2阶近似精度，且最优步长为$\sqrt 3 $。王乐洋等^[28]结合Sterling插值法给出了乘性误差模型参数估计与精度评定的新算法，顾及迭代过程随机性的参数估值更加准确，估值的后验精度可达2阶。Wang等^[29-30]将震源参数反演的复杂非线性过程视为非线性函数，引入Sterling插值法以设计震源参数反演精度评定的新算法；同时将TLS迭代算法与Sterling插值法相结合，设计了计算近似均方误差矩阵的算法，得到了更为准确的参数估值后验精度。

Sterling插值法的计算过程仅涉及1个步长因子参数，相比于涉及3个参数的SUT法，其计算过程更简单。但对于不同的问题，其步长因子的最优取值并不固定。此外，Sterling插值法在大地测量数据处理中的应用较少，其领域扩展有待进一步发掘。

2.2 重采样Sigma点法

重采样Sigma点法从有限的样本中依据不同的采样策略重复采样，使用统计方法计算相应的统计量，实现对总体分布的近似逼近。该方法仅基于原始数据样本，不会产生额外的模型误差，无需假设分布类型，可避免复杂的公式计算，主要包括Jackknife法^[31]和Bootstrap法^[32]。

2.2.1 Jackknife法

Jackknife法每次从原始样本中剔除m个样本，得到样本容量为n-m个Jackknife样本(共n个)，并利用每个Jackknife样本计算未知量的估计值，其优势在于仅使用采样样本便可得到未知量的无偏或偏差很小的估计量^[33]。Jackknife法包括Jackknife-1法和Jackknife-d法^[34]。其中，Jackknife-1法是每次从n个原始样本中删除1组数据，重复n次得到n个Jackknife样本，进而计算样本的统计信息，但生成的样本集之间差异较小，每2个Jackknife样本之间仅有2个原始样本不同^[35]。Jackknife-d法是每次从原始样本中删除d组数据，将余下的n-d组样本组成1个Jackknife样本，计算得到C_n^d组样本的统计信息。历次采样后，该策略下得到的Jackknife样本不同，经由每个Jackknife样本得到的统计信息也不同。

在参数估计方面，Sahinler等^[36]研究了估计线性回归系数的Jackknife法，提供了参数估计、精度评定及置信区间估计的计算流程。Mong等^[37]在研究非线性回归的最小二乘Jackknife法时指出，Jackknife法可有效降低偏差的影响，得到更加精确的参数估计结果，在Obiora-Ilouno等^[38]的基础上提出基于TLS参数估计的Jackknife-1法和Jackknife-d法，给出了当参数估计效果最优时d的最佳取值。基于Jackknife法的特殊性，Wang等^[39]提出加权TLS粗差定位的新算法，可识别出大于等于3倍中误差的粗差，从而获得更准确的参数估值。

不合理的随机模型对平差结果影响较大，从而对参数估值产生负面影响。有学者使用Jackknife法对方差分量估计进行研究^[40-42]发现，目前Jackknife法仍存在如下问题：当观测样本较小时，Jackknife法得到的精度估值稍大；当观测样本较大时，Jackknife-d法会产生大量的Jackknife样本，计算量显著提升。因此，后续研究可从以下2个方面着手：1)发展小样本下基于Jackknife法的精度评定理论；2)大样本情形下，在保证计算准确的前提下降低Jackknife-d法的计算成本。

2.2.2 Bootstrap法

将原始样本视为总体，Bootstrap法利用有放回的随机抽样方法从总体分布函数中得到一系列独立的自助样本，通过计算每个自助样本来获取未知统计量抽样分布的经验估计，进而对总体进行推断^[32]。目前，针对Bootstrap法的相关研究集中在统计学方面，将其用于非线性平差精度评定的研究较少。王乐洋等^[43-45]将2种基于独立同分布的Bootstrap重采样策略引入非线性平差精度评定理论中，并给出相应的算法流程，通过实验证明了自助样本的相关性越强、参数估值的精度信息越不精确；同时基于Bootstrap法提出一种估计测角网坐标的新算法，其参数估值结果优于近似函数表达式法；另外结合该方法提出了震源几何参数精度评定的新算法，拓展了其在大地测量反演领域的应用。李志强^[46]则将Bootstrap采样思想融入到自回归模型精度评定的研究中，并根据不同的分块准则给出4种重采样新算法。

Bootstrap法对原始观测数据的样本容量依赖性强，当样本容量和多余观测值均偏少时，该方法得到的计算结果不准确。此外，现有研究中的观测数据是独立同分布的，对于相关观测数据的非线性平差精度评定的Bootstrap问题缺乏相应研究。

2.3 随机Sigma点法

随机Sigma点法是根据先验信息大量模拟观测值，以逼近非线性函数概率密度分布的方式得到待估参数后验精度的一种统计方法，主要包括Monte Carlo方法、拟Monte Carlo方法及自适应Monte Carlo方法。

2.3.1 Monte Carlo方法与拟Monte Carlo方法

Monte Carlo方法根据先验信息随机生成大量样本点来近似非线性函数输出量的概率密度分布，进而给出非线性模型参数的后验统计信息。该方法可避免导数运算，在实际计算过程中仅需提供观测量的先验统计信息。

在误差传播计算方面，Koch^[47]讨论了使用Monte Carlo方法进行误差传播与置信区间估计的能力，通过实验论证了将Monte Carlo方法用于假设检验的可行性；Wyszkowska^[48]证实了Monte Carlo方法在非线性函数协方差传播计算中的可行性，但计算前需要注意观测值的精度不能太低。

在计算参数的后验精度评估方面，李朝奎等^[49]指出使用Monte Carlo方法估计强非线性函数参数估值的方差更有效；Alkhatib等^[50]基于Monte Carlo方法提出一种求解大规模最小二乘问题中参数估值协方差信息的新算法，并将其用于重力场计算；Koch等^[51]应用Monte Carlo方法计算三维坐标结果的不确定性，同时给出计算结果的置信区间；Duchnowski等^[52]使用Monte Carlo方法解决了变形分析中Hodges-Lehmann加权估计的精度评定问题；Niemeier等^[53]对大地测量网平差结果的不确定度进行分析，获取大地测量网中坐标估值的精度；Rofatto等^[54]联合最小二乘法与Monte Carlo方法求解4参数坐标转换参数的估值及不确定性，发现该算法在不确定估计方面的效果更优。此外，Monte Carlo方法在震源参数估计及精度评定方面也有大量应用^[55-58]。从现有研究成果来看，Monte Carlo方法需要一定的模拟次数(通常在10⁶及以上^[59])才能保证误差传播与精度评定的计算精度，低下的计算效率成为制约该方法进一步发展的最大阻碍，如何在保证计算结果准确性的前提下有效提升计算效率是未来的研究方向。

拟Monte Carlo方法是Monte Carlo方法的发展，2种方法类似但理论基础不同。拟Monte Carlo方法使用确定性的低差异序列代替Monte Carlo方法中的伪随机序列进行数值模拟。Wang等^[60]将其用于非线性函数的误差传播计算，相比于Monte Carlo方法，拟Monte Carlo方法在进行非线性函数的误差传播计算时速度提升显著、计算结果更加稳定。但目前针对拟Monte Carlo方法在非线性平差精度评定方面的理论与应用研究尚处于起步阶段，未引起足够重视。

2.3.2 自适应Monte Carlo方法

自适应Monte Carlo方法是一种分批次执行Monte Carlo模拟，直到输出满足指定数值容差结果的方法。该方法可提高Monte Carlo方法的计算效率，同时减少不必要的计算成本^[59]。目前对于该方法的研究较少，主要集中在提升算法的计算效率及降低算法复杂度2个方面。王乐洋等^[61]首次将该方法引入非线性平差精度评定计算中，同时结合拟Monte Carlo方法提出一种适用于小批量模拟的自适应拟Monte Carlo方法，并将其用于非线性函数协方差传播计算中，有效提高了已有自适应Monte Carlo方法的计算效率。另外，为降低现有自适应Monte Carlo方法的复杂度，王乐洋等^[62]结合Stein两阶段方法发展了一种误差传播Stein Monte Carlo方法；Wang等^[63]在此基础上提出一种非线性平差精度评定的自适应两阶段Monte Carlo方法，旨在获取准确精度评定结果的同时，降低计算成本及算法的复杂度。

自适应Monte Carlo方法的核心参数为数值容差，准确地选择数值容差对最终参数估值的结果尤为重要。数值容差的一般形式为δ=0.5×10^l(l一般为非正整数)，具体取值根据有效数字确定^[59]。此外，每批次模拟次数M的选择(M=max(100/(1－p), 10⁴)，p为包含概率)对计算结果和计算成本也有一定影响。目前，参数δ和M均取推荐值。如何合理确定适用于大地测量计算的参数值及自适应Monte Carlo方法的进一步应用是今后研究的方向。

对各种非线性平差精度评定方法的前提条件、基本原理、优点、缺点、适用范围等进行综合评价，见表 1，对各种非线性平差精度评定方法求解待估参数的均值、方差和协方差的公式进行罗列，见表 2。

3 非线性平差模型的偏差分析和非线性评价

受非线性影响，非线性平差获得的参数估值不再具有无偏性和最小方差^[64]。偏差会降低参数估值的准确性，也会进一步影响精度评定的计算^[65]。目前，关于偏差计算与分析的研究主要有近似函数表达式法和近似函数概率分布法。

基于近似函数表达式法，学者们对偏差的计算进行了相关研究。基于显函数模型，陶本藻^[66]首次推导了多元最小二乘平差的二阶偏差计算公式，但该方法仅适用于非常具体的非线性问题；Lösler等^[65]在此基础上推导了隐函数模型最小二乘平差的二阶改进偏差估计公式。基于非线性GM模型，Teunissen等^[10]推导了非线性最小二乘参数估值和改正数估值的偏差计算公式，并将其应用于估计相似性变换参数的偏差；在此基础上，陶本藻^[66]研究了非线性平差与线性平差的偏差分布特征，推导了函数偏差与平差参数偏差的期望公式和方差公式。偏差计算公式被应用于修正参数及改正数的估值，以提高平差结果的精度。基于文献[64]，Xu等^[67-69]研究TLS估值的置信区间，推导参数估值与改正数估值的偏差计算公式，获得了偏差改正后更为准确的单位权方差估值和一阶近似的参数估值协方差阵；同时分别推导乘性误差模型与加乘性混合误差模型参数估值与改正数的2阶偏差计算公式，并给出2阶近似无偏的参数迭代解。

偏差计算的近似函数表达式法需要复杂的公式推导，忽略高阶项会进一步降低偏差估计的精度。此外，近似函数表达式法忽略了迭代过程参数估值的随机性，而参数估值的偏差计算一般仅限制在非线性GM模型或EIV模型、Partial EIV模型等扩展模型中，对于复杂的非线性模型并不适用。为解决上述问题，近似函数概率分布法被用于偏差计算中。有学者分别以非线性最小二乘和TLS验后统计信息为基础，使用Monte Carlo方法估计了参数偏差^[70-72]。Shen等^[73]根据TLS验后统计信息重新生成观测量，通过多次Monte Carlo模拟估计TLS单位权方差的偏差，在修正单位权方差估值的基础上，重新执行Monte Carlo模拟估计参数的后验精度。除Monte Carlo方法外，其他近似函数概率分布法也有相关应用。基于SUT法、Sterling插值法和自适应Monte Carlo方法，Wang等^{[19, 63]}和Efron^[32]分别结合TLS迭代算法设计了偏差计算的新算法，同时王乐洋等^[61]还结合对偶采样策略提出一种计算效率和精度均更高的对偶自适应Monte Carlo方法，新算法的计算结果与偏差公式和Monte Carlo方法近似相同。基于Jackknife法，Wang等^[74]顾及方差分量估计的有偏性，提出2种Partial EIV模型方差分量估计新算法；丁锐^[75]结合SUT法分析了Partial EIV模型参数估值偏差与等精度和不等精度观测值误差之间的关系和影响。

4 结语

本文综述了当前2种非线性平差精度评定方法的研究进展。其中，近似函数表达式法是精度评定的主流方法，复杂的公式推导及导数运算是其主要缺陷。近似函数概率分布法为非线性平差精度评定理论的研究开辟了新的道路，该方法有效避免了繁琐的公式推导和偏导数运算，无需了解非线性函数的构造即可获取待定参数的后验精度信息，计算灵活，具有一定的应用前景。

目前，近似函数概率分布法包含的3类Sigma点法的有效性与适用性得到了研究和验证，并且还可能发展出更多的方法^[76-79]，所构建的精度评定理论可应用于多维数据拟合、坐标转换和地震火山反演，而在GNSS导航定位、组合导航及室内定位、重力场模型的确定、块体运动与应变分析等大地测量场景的应用有待进一步研究与发掘。