受多路径效应、钟差、电离层延迟等因素的影响，GNSS坐标时间序列存在各种噪声^[1-2]，呈现明显的非线性变化，不能准确反映测站的实际运动信息。常用的GNSS坐标时序降噪方法主要有小波分解(WD)^[3-4]、经验模态分解(EMD)^[5]等。EMD在处理非线性、非平稳信号方面应用广泛，但存在一定的端点效应和模态混叠现象，影响降噪效果。Wu等^[6]和Yeh等^[7]对EMD进行优化和改进，分别提出集合经验模态分解(EEMD)和互补集合经验模态分解(CEEMD)。两者都能有效抑制模态混叠现象，但计算效率低且过程繁琐。Dragomiretskiy等^[8]提出一种新的信号时频分析处理方法——变分模态分解(VMD)，该方法可以有效分离IMF分量、划分信号的频域，避免了EMD方法中模态混叠等缺陷，具有较好的鲁棒性。鲁铁定等^[9]将VMD应用到变形监测数据的降噪中，效果显著。但VMD方法需要预先设置模态分解个数K和二次惩罚因子α，这2个参数在大多数情况下是依据经验选取的，然而实测信号复杂多变，若参数设定不当会对分解效果产生严重影响。

基于以上研究，本文先利用麻雀搜索算法(SSA)优化VMD，然后结合WD方法提出一种GNSS坐标时间序列降噪方法IVMD-WD，并结合仿真信号和GNSS实测数据实验验证该方法的有效性。

1 算法原理 1.1 VMD基本原理

VMD处理非线性和非平稳信号时效果较好^[8]，其实质是一个变分问题的构造和求解过程。VMD构造的约束变分问题可表示为^[9]：

$ \begin{gathered} \min _{\left\{u_k\right\}, \left\{\omega_k\right\}}\left\{\sum\limits_k\left\|\partial t\left[\left(\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\pi}\right) u_k(t)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_k t}\right\|_2^2\right\} \\ \text { s.t. } \sum\limits_k u_k=f \end{gathered} $

(1)

式中，t为时间，f为原始信号，u_k为模态函数，ω_k为各模态的实际中心频率，e^－jω_kt为每个解析信号的预估中心频率，‖·‖₂为求L2范数，s.t.表示约束条件。

使用二次惩罚因子α和Lagrange乘子λ(t)，将约束变分问题转换为无约束变分问题，进而求得式(1)的最优解，得到增广Lagrange表达式为：

$ \begin{gathered} L\left(\left\{u_k\right\}, \left\{\omega_k\right\}, \lambda\right)= \\ \alpha \sum\limits_k\left\|\partial t\left[\left(\delta(t)+\frac{\mathrm{j}}{\pi t}\right) u_k(t)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega_k t}\right\|_2^2+ \\ \left\|f(t)-\sum\limits_k u_k(t)\right\|_2^2+\left\langle\lambda(t), f(t)-\sum\limits_k u_k(t)\right\rangle \end{gathered} $

(2)

利用交替方向乘子算法，通过迭代更新u_kⁿ⁺¹、ω_kⁿ⁺¹、λⁿ⁺¹求得式(2)的鞍点，即为式(1)的最优解。详细计算过程参见文献[10]。

1.2 SSA基本原理

SSA是Xue等^[11]受麻雀觅食行为启发而提出的一种新型群体智能优化算法。相较于粒子群算法、遗传算法等优化算法，SSA收敛速度更快、求解精度更高、稳定性和鲁棒性更好^[11-12]。麻雀种群按其职能分为发现者和追随者，发现者一般占比为10%~20%，主要负责为种群寻找食物和提供觅食的区域和方向，剩余麻雀均为依赖发现者来获取食物的追随者。此外，部分麻雀带有预警机制，一般占比为10%~20%，当遇到危险时，会发出报警信号，麻雀会进行反捕食。详细过程参见文献[12]。

1.3 SSA优化VMD

对VMD计算结果影响较大的是模态分解数K和惩罚因子α，其余参数一般设置为默认值。当K过小时，会使信号欠分解；当K过大时，会造成信号过分解并产生模态混叠现象^[10]。本文利用SSA对VMD的参数K和α进行优化，可快速准确地获取优化后的参数。

选用包络熵为SSA优化VMD的适应度函数。包络熵可以较好地反映原始信号的稀疏特性和不确定性，当信号中噪声较多时，熵值较大；反之，熵值较小。包络熵的原理^[10]为：

$ \left\{\begin{array}{l} E_p=-\sum\limits_{j=1}^N p_j \lg p_j \\ p_j=a(j) / \sum\limits_{j-1}^N a(j) \end{array}\right. $

(3)

式中，N为信号的采样点数，p_j为a(j)的归一化形式，a(j)为信号x(j)经Hilbert解调后得到的包络信号。

SSA优化VMD的过程见图 1。

1.4 WD基本原理

WD可以避免传统傅里叶变换的缺陷，具有较好的时频局部分析和多分辨率分析性能，因此在非线性非平稳信号研究中应用广泛^{[3, 5]}。

WD通过一组高通和低通滤波器将原始信号分解为低频和高频分量，然后将低频分量分解。小波基函数表示为^[13]：

$ \left\{\begin{array}{l} W_f(a, b)=\left|\frac{1}{\sqrt{a}}\right| \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \varphi\left(\frac{t-b}{a}\right) \mathrm{d} t \\ \varphi_{a, b}(t)=\left|\frac{1}{\sqrt{a}}\right| \varphi\left(\frac{t-b}{a}\right) \end{array}\right. $

(4)

式中，φ(t)为基小波或者母小波函数，经过尺度因子a和平移因子b变换后的φ_{a, b}(t)统称为小波函数。

小波分解过程中最重要的就是确定小波基函数和分解层数，本文选用正则性较好的db4小波进行分解，最佳层数由文献[3]的方法确定。

1.5 IVMD-WD方法构建

使用SSA优化影响VMD分解效果的2个关键参数K和α。对于VMD分解后的多个IMF分量，采用多尺度排列熵(multi-scale permutation entropy，MPE)作为判断噪声和信号的标准，具体计算步骤参考文献[14]。IVMD-WD方法的降噪流程见图 2，具体步骤如下：

1) 初始化SSA参数，设置麻雀种群数量为30，最大迭代次数为10，考虑计算效率和算法精度，将K的取值范围设为[3, 10]，α的取值范围设为[100，3 500]。

2) 根据得到的最优参数组合[K, α]，对原参考信号进行VMD处理，得到K个IMF。

3) 计算各IMF的MPE，设定MPE的阈值，根据阈值大小判断出有效IMF并重构为信号，剩余IMF重构为噪声。

4) 将步骤3)中重构后的高频噪声部分利用小波分解再次降噪，利用相关系数判断得到有效信号，将步骤3)中得到的低频信号与小波分解处理后的信号重构为最终的降噪信号。

2 仿真信号算例分析 2.1 仿真信号降噪实验

进行仿真信号实验，并将IVMD-WD方法与EMD、WD和EEMD方法进行对比。实验过程中，EMD、WD和EEMD方法均利用相关系数法分离噪声和信号。仿真信号由3个周期项和高斯白噪声组成，采样间隔设置为1 s，采样点数为1 024，并加入信噪比(signal noise ratio, SNR)为6 dB的高斯白噪声，仿真信号的分量波形见图 3，表达式如式(5)所示：

$ \left\{\begin{array}{l} y_1=6 \sin (2 \pi t / 600) \sin (2 \pi t / 250) \\ y_2=4 \sin (2 \pi t / 400)+2 \cos (2 \pi t / 200) \\ y_3=2 \sin (2 \pi t / 50)+\sin (16 \pi t) \cos (150 \pi t) \\ \varepsilon=\text { noise } \\ y=y_1+y_2+y_3+\varepsilon \end{array}\right. $

(5)

本文方法进行降噪时需先利用SSA寻找VMD的最优参数组合，采用包络熵作为适应度函数，适应度函数值在SSA寻优过程中随迭代次数的变化见图 4。由图 4可知，适应度值在迭代到第2次时达到最小，此时对应的[K, α]=[7, 2 730]为最优参数组合。

利用SSA得到的最优参数组合对信号进行VMD处理，得到的7个IMF见图 5。由图 5可知，低频分量主要集中在前2阶模态中。

为有效分离出低频信号和高频噪声，需计算出各IMF的MPE值。计算MPE时需设置适当的参数，本文参考文献[15]对关键参数进行设定：尺度因子s=12、嵌入维数m=6、延迟时间τ=1。计算不同尺度因子下各IMF的排列熵均值作为最终的MPE值，MPE值越接近于1，表明时间序列具有越大的随机波动性和不规则性。MPE阈值一般取0.6，将大于0.6的IMF视为噪声分量，小于0.6的视为低频信号分量^[15]。VMD得到的各IMF的MPE值见表 1。

由表 1可见，IMF₁~IMF₇的MPE值逐渐增大，表明序列的随机波动性越来越大，噪声成分逐渐增多，符合图 5的波形描述。IMF₁、IMF₂的MPE值均小于0.6，因此，将IMF₁、IMF₂重构为低频信号，IMF₃~IMF₇重构为高频噪声，然后利用小波分解处理高频噪声部分。同时，使用EMD、WD、EEMD方法对仿真信号进行降噪处理，并与本文方法进行对比，见图 6。可以看出，EMD、WD、EEMD方法降噪后，信号波形与原始序列拟合效果较差，而本文方法降噪后的波形与仿真信号更加接近，曲线更为光滑，避免了EMD降噪过程中的端点效应和模态混叠问题，能够提取更多的有效信号，降噪效果更好。

2.2 仿真信号降噪效果评价

为了评价上述4种方法的降噪效果，选取均方根误差(RMSE)、信噪比(SNR)、平均绝对误差(MAE)和互相关系数(R)作为评价指标：

$ \mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N\left(x_i-y_i\right)^2} $

(6)

$ \operatorname{SNR}=10 \lg \left(\frac{\sum\limits_{i=1}^N x_i^2}{\sum\limits_{i=1}^N\left(x_i-y_i\right)^2}\right) $

(7)

$ \mathrm{MAE}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N\left|\left(x_i-y_i\right)\right| $

(8)

$ R(x, y)=\frac{\sum\limits_{i=1}^N\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^N\left(x_i-\bar{x}\right)^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^N\left(y_i-\bar{y}\right)^2}} $

(9)

式中，i为历元时刻，x、y分别为降噪后信号和原始信号，x、y分别x和y的平均值，N为数据长度。4种降噪方法的评价指标结果见表 2。

由表 2可见，WD降噪效果略优于EMD和EEMD，而本文方法相比于EMD、WD和EEMD方法，各降噪评价指标均为最优，RMSE分别降低15.42%、14.35%和15.06%，MAE分别降低15.62%、13.37%和15.18%，SNR分别提高1.44 dB、1.35 dB和1.48 dB, R分别提高0.028 2、0.025 6和0.027 0。IVMD-WD方法的RMSE和MAE最小，表明其降噪后的序列偏差更小；SNR和R最大，表明其提取的有效信号最多，降噪信号波形与原始信号波形更相似，拟合度更高。仿真信号实验结果表明，IVMD-WD方法的降噪效果优于EMD、WD和EEMD方法。

3 GNSS实测数据降噪分析

为进一步验证本文方法的可靠性和适用性，选取SOPAC(Scrips Orbit and Permanent Array Center) 提供的美国西海岸10个GNSS基准站网原始坐标时间序列进行分析，观测时间为2000~2023年，采样间隔为1/365.25 a。

限于篇幅，仅以GOBS站为例进行详细分析，图 7为该站N、E、U方向的原始时间序列与经4种方法降噪后的信号对比结果。可以看出，EMD、WD和EEMD降噪后信号波形与原始时间序列的波形存在一定差异，而IVMD-WD方法去噪后的时间序列能够更好地拟合原始时间序列，可以有效地反映局部运动趋势，且周期振荡较小。图 8为利用4种方法得到的降噪信号与原始时间序列的残差对比。由图可知，IVMD-WD方法的平均残差最小，表明本文方法有效滤除了高频噪声，降噪效果最显著。

图 9为10个站点采用上述4种方法降噪后信号的4种评价指标值对比。由图 9(a)和9(b)可知，EMD方法降噪效果在部分站点上要优于EEMD，整体来说，两者降噪效果相差不大；WD降噪效果整体上略低于EMD，略优于EEMD；相比于EMD、WD和EEMD方法，本文方法降噪后得到的RMSE和MAE最小。由图 9(c)和9(d)可知，本文方法降噪后的SNR和R最大。综合可知，本文IVMD-WD方法降噪后的各项评价指标均为最优，表明本文方法降噪效果最显著，能够有效提取出更多的有用信号。

4 结语

本文针对GNSS坐标时间序列的非线性、非平稳特性构建了一种新的降噪算法IVMD-WD。该方法利用麻雀搜索算法优化VMD参数，使用多尺度排列熵作为噪声和信号的筛选标准，结合小波分解算法对VMD进行改进。通过仿真信号和10个GNSS基准站的实测数据进行降噪分析。结果表明，与传统的EMD、WD和EEMD方法相比，本文IVMD-WD方法降噪后的各指标均为最优，能够更有效地剔除原始时间序列中的高频噪声并保留有用信号，在降噪性能上具有明显优势。