通过重力密度反演分析技术可以更准确地了解地质体结构、形状及其他特征，为此，国内外学者进行大量工作。Li等^[1-2]引入深度加权函数；Portniaguine等^[3]引入最小梯度支撑函数约束重力反演；Chasseriau等^[4]提出基于随机方法的反演技术；Zhdanov^[5]提出重磁反演和成像新方法；Commer^[6]提出深度分辨率增强的加权方案；耿美霞等^[7]建立在密度约束下的多变量协同克里金联合反演方程；张志厚等^[8]提出一种基于深度学习的重力异常及重力梯度异常的联合反演方法。

在三维密度反演领域已经存在诸多算法，但可用于密度反演的公开软件却很少。基于此，本文借助MATLAB语言，开发一个支持三维密度反演、重力场正演、数据分析及可视化等功能的系统软件，为重力三维密度反演学习和研究提供软件工具支持。

1 方法原理 1.1 重力场正演

根据牛顿万有引力定律，由计算点体积质量密度元素产生的万有引力势为^[9]：

$V(P)=G \iiint\limits_V \frac{\rho}{r} \mathrm{~d} V$

(1)

式中，G为牛顿万有引力常数；ρ为质量密度；r=$\sqrt{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2}$为模型点和计算点之间的距离；dV=dξdηdζ为体积质量元素。本文将密度模型离散成多个恒定密度的棱柱体，则：

$V\left(\boldsymbol{r}_i\right)=G \sum\limits_{j=1}^M \rho_j \int\limits_{\Delta V_j} \frac{1}{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i} \mathrm{~d} V$

(2)

式中，r为径向矢量；ΔV_j为第j个棱柱体的体积；ρ_j为第j个棱柱体的密度；M为长方体总数。本文采用Nagy等^[10]推导的位、引力矢量和引力梯度张量表达式用于重力场正演计算。

1.2 三维密度反演

根据待求解密度模型的特点建立合适的反演目标函数：

$S=\varphi_d+\mu \varphi_m$

(3)

式中，φ_d为数据拟合项。通常认为重力数据观测噪声符合高斯分布特点，因而采用L₂范数进行构建：

$\varphi_d=\left\|\boldsymbol{W}_d\left(\boldsymbol{d}^{\text {obs }}-\boldsymbol{d}^{\text {pre }}\right)\right\|_2^2$

(4)

式中，W_d为每个数据点的权重方阵；d^obs为观测数据点的N×1维向量；d^pre为预测数据点的N×1维向量。模型拟合项定义如下：

$\varphi_m(\boldsymbol{\rho})=\left(\boldsymbol{\rho}-\boldsymbol{\rho}_0\right)^{\mathrm{T}}\left(\sum\limits_{i=s, x, y, z} \boldsymbol{W}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W}_i\right)\left(\boldsymbol{\rho}-\boldsymbol{\rho}_0\right)$

(5)

式中，ρ₀为模型参考密度值；W_i=α_iS_iD_iZ(i=s, x, y, z)，其中α_i为权重系数，S_s为每个单元格所占权重，S_{x, y, z}为各自方向每个边缘处所占权重，D_s为对角线上数值为$\sqrt{\Delta x \Delta y \Delta z}$的对角矩阵，D_{x, y, z}为对应方向的导数算子，Z为深度加权矩阵。深度加权函数表达式为：

$\boldsymbol{w}(z)=\frac{1}{\left(z_0+z\right)^{\beta / 2}}$

(6)

式中，z₀为观测高度；z为单元深度；β为拟合指数项。因此，目标函数可表示为：

$\varphi(\boldsymbol{\rho})=\varphi(\boldsymbol{p})_d+\mu \varphi_m(\boldsymbol{p})$

(7)

最后，通过最小二乘可得：

$\begin{gathered} \boldsymbol{\rho}=\boldsymbol{\rho}_0+\left(\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W}_d^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W}_d \boldsymbol{G}+\mu \boldsymbol{W}_m^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W}_m\right)^{-1} \\ \boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W}_d^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W}_d\left(\boldsymbol{d}_{\mathrm{obs}}-\boldsymbol{G} \boldsymbol{\rho}_0\right) \end{gathered}$

(8)

2 软件设计与功能

本文软件是基于Windows10系统，开发环境为Intel(R) Core(TM) i5-9300H CPU，8G内存。系统结构和操作流程如图 1所示。该软件由三维密度反演和数据结果界面两部分组成(图 2)，主要功能包括参数设置、地下模型空间划分、重力观测数据选择、反演结果显示与预测。

3 数据测试 3.1 单长方体模型数据测试

测区范围为1 000 m×1 000 m×500 m，网格划分为20×20×10，单模型x轴范围为400~600 m，y轴范围为400~600 m，z轴范围为100~300 m，密度为1 g/cm³。模型切面及观测数据如图 3所示，反演结果如图 4所示。

从图 4可以看出，反演结果能够有效地反映地质体的空间分布，验证了本文软件的有效性。

3.2 实测数据测试

本文采用文顿盐丘(Vinton Dome)地区重力梯度实测数据进行反演测试。文顿盐丘位于美国墨西哥湾沿岸，该地区岩盖密度约为2.75 g/cm³，盐丘附近沉积物、围岩及盐核密度均约为2.2 g/cm³，即岩盖剩余密度约为0.55 g/cm³。本文选用的测区范围为4 000 m×4 000 m×1 000 m，网格划分为40×40×20。

图 5为实测重力梯度g_zz和预测g_zz数据，由图可知，预测数据与实测数据拟合效果较好。图 6为密度反演结果，从图中可以看出，反演密度集中部分顶部埋深约为200 m，底部埋深约为600 m。该结果与前人研究所得埋深结果200~650 m^[11]、200~550 m^[12]较为接近，验证了软件的可靠性与实用性。

4 结语

本文开发出一个重力三维密度光滑反演软件，具有最优正则化参数选取、数据文件管理、密度反演计算及结果分析和可视化等功能。模拟和实测数据测试结果验证了该软件的有效性与实用性，未来可以在计算效率等方面进一步优化。