随着多卫星导航系统的发展^[1-2]，很容易出现多个观测值同时出现粗差的现象^[3-4]。处理策略分为两类，一类将粗差归纳为函数模型进行探测和剔除^[5]。接收机自主完好性监测(receiver autonomous integrity monitoring, RAIM)被认为是对抗非故意干扰和故意攻击的有效对策，不仅可用于检测粗差，而且排除粗差后能提供精确的位置、速度和时间解。在处理由有意或无意行为引起的多个粗差时，RAIM FDE方法通常通过迭代搜索来排除潜在粗差^[6]，效率较低。另一类方法是将粗差归纳为随机模型，采用基于稳健统计的估计方法减少伪距测量不准确带来的影响^[7]。

为弥补GNSS信号可用性的局限性所造成的缺陷，可利用惯性传感器辅助进行组合定位^[8]。卡尔曼滤波是目前最实用的实时最优估计方法，但当模型误差具有时变特征时，很难获得所需的信息，不适当的统计信息和异常值会降低其性能，甚至可能导致滤波发散，特别是当信号退化时，环境中的复杂扰动会导致观测值异常。为消除异常值的影响，可使用控制卡尔曼滤波质量的方法，如检测、识别和自适应方法^[9]。但当测量值包含多个异常值时，检测和识别过程难以实现。

基于以上研究，本文提出一种惯性辅助的FDE方法，将惯性的状态模型和测量模型信息引入RAIM，构造检验统计量，有效解决错误剔除粗差和未完全剔除粗差的问题。最后，利用仿真实验对传统FDE方法与改进方法的误判率和漏检率进行比较分析。

1 粗差检测和识别的数学模型

在惯性辅助的卫星组合导航系统中，将状态模型和测量模型的信息引入RAIM，在卡尔曼滤波方程中将预测状态$ \tilde{\boldsymbol{x}}_k$与观测矢量z_k相结合。未知参数通过最小二乘进行估计得到，观测方程可以表示为^[10]：

$ \boldsymbol{L}_k=\boldsymbol{A}_k \hat{\boldsymbol{X}}_k+\boldsymbol{V}_k $

(1)

式中，L_k为观测向量，A_k为设计矩阵，V_k为残差向量，且

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{L}_k=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{z}_k & \tilde{\boldsymbol{x}}_k \end{array}\right] \\ \boldsymbol{A}_k=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{H}_k & \boldsymbol{I} \end{array}\right] \\ \boldsymbol{V}_k=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{v}_{z k} & \boldsymbol{v}_{x k} \end{array}\right] \\ \boldsymbol{C}_{L_k}=\left[\begin{array}{llll} \boldsymbol{R}_k & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \widetilde{\boldsymbol{P}}_k \end{array}\right] \end{array}\right. $

式中，H_k为观测矩阵，I为单位矩阵，v_zk为观测值残差向量，v_xk为预测状态的残差向量，C_Lk为方差协方差矩阵，R_k为观测值方差阵，$\widetilde{\boldsymbol{P}}_k $为预测值方差阵。根据最小二乘求得状态参数的最优估计及其协方差矩阵为：

$ \left\{\begin{array}{l} \hat{\boldsymbol{X}}_k=\left(\boldsymbol{A}_k^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_{L_k}^{-1} \boldsymbol{A}_k\right)^{-1} \boldsymbol{A}_k^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_{L_k}^{-1} \boldsymbol{L}_k \\ \boldsymbol{Q}_{\hat X_k}=\left(\boldsymbol{A}_k^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_{L_k}^{-1} \boldsymbol{A}_k\right)^{-1} \end{array}\right. $

(2)

与之对应的估计残差和其协方差矩阵为：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{V}_k=\boldsymbol{A}_k \hat{\boldsymbol{X}}_k-\boldsymbol{L}_k \\ \boldsymbol{Q}_{V_k}=\boldsymbol{C}_{L_k}-\boldsymbol{A}_k \boldsymbol{Q}_{\hat{X}_k} \boldsymbol{A}_k^{\mathrm{T}} \end{array}\right. $

(3)

粗差检测检验是一种二元假设检验，根据残差及其协方差矩阵进行全局检验，构建方差因子统计量T_k^[10]：

$ T_k=\boldsymbol{V}_k^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_{L_k}^{-1} \boldsymbol{V}_k $

(4)

当统计量T_k服从自由度为m-4的χ²分布时，无粗差；一旦出现粗差，统计量就会服从自由度为m-4的非中心χ²分布。在显著水平的情况下，当T_k>χ_m－4²(α)时，判定存在粗差；当统计量低于阈值时，则认为观测值是可信的。

利用数据探测法进行局部检验，并通过统计量的大小进行粗差识别，第i个观测量的检验统计量为^[10]：

$ w_i=\left|\boldsymbol{e}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_{L_k}^{-1} \boldsymbol{v}_k\right| / \sqrt{\boldsymbol{e}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_{L_k}^{-1} \boldsymbol{Q}_{V_k} \boldsymbol{C}_{L_k}^{-1} \boldsymbol{e}_i} $

(5)

式中，e_i=[0···1···0]^T为第i个元素为1、其他元素为0的单位向量。当该观测值上无粗差时，w_i~N(0, 1)，检验统计量w_i≤μ_1-α/2，其中，μ_1-α/2为显著水平对应的标准正态分布的分位值；反之，则存在粗差。本文设显著水平α=0.1%，其对应的阈值为3.291。

2 实验与分析

搭建惯性辅助卫星的紧组合数学仿真平台，对所提出的改进的FDE方法进行验证。陀螺常值零偏和白噪声分别为5°/h和0.035°/$\sqrt{\mathrm{h}} $；加速度计常值零偏和白噪声分别为500 μg和60 μg/$ \sqrt{\mathrm{Hz}}$；GNSS测量的伪距精度为1 m；仿真时间长度为4 476 s。模拟典型的四周遮挡城市环境，40°高度角以下的卫星不可见，可观测到15~19颗卫星，PDOP值在2~5之间变化，空间几何结构一般。

当粗差检测函数告警时，进行GNSS粗差值排除，此时可能存在单个粗差或多个粗差。对于排除粗差有一系列的替代假设，每一个卫星都与当前历元全部观测值构成的一个子集相关联，该子集根据相关的假设检验将卫星标记为粗差/健康。图 1提供了各种情况的示例，表 1为卫星粗差检测和剔除可能出现的4种方案。

2.1 单历元粗差

为了验证粗差检测的效果，在第1~4 476 s中分别对第2、5和7个观测值加入10 m的阶跃粗差。其中，100、2 028、2 983和3 038等4个历元分别解算出了所对应的4种方案结果。以方案①为例，表 2给出FDE方法粗差检验统计量和剔除情况。表 3给出4种方案对应4个历元的定位结果。由表可知，方案①剔除粗差后结果最优；方案②~④剔除粗差后，定位精度反而不如保留粗差时高，说明误判和漏检都会对定位性能造成影响。

方案①依次识别了第7、5和2个观测值上存在粗差，对应的检验统计量分别为9.187、8.528和6.261(表 2中加粗字体)，超过了门限阈值3.291。该历元剔除了所有粗差卫星，同时也保留了所有健康卫星。由表 3可知，方案①的定位精度最高。

方案②分别检测出第7、1、13、2和5等5个观测值上存在粗差。该历元剔除了1和13两个健康观测值，同时也剔除了7、5和2三个粗差观测值。由表 3可知，该历元虽然能够完全正确剔除所有粗差卫星，但同时也去除了2颗健康卫星，造成定位性能有所降低。方案③分别检测出了2和3两个观测值上存在粗差。该历元剔除了1个健康观测值和1个粗差观测值，同时有2个粗差观测值未能检测出。由表 3可知，该历元不仅保留了粗差卫星，而且剔除了健康卫星观测值，使得定位精度严重下降。方案④分别检测出2和5两个观测值上存在粗差。该历元剔除了2个粗差卫星，有1个粗差卫星未能检测出。由表 3可知，该历元剔除粗差后的精度相较于保留粗差时要差。

使用惯性辅助FDE方法时，方案①~④的4个历元都能正确检测出粗差的数量和位置。以方案①为例，表 4为对应历元的局部检验统计量，其正确检测出第2、5和7个观测值上存在粗差。表 5为使用惯性辅助FDE方法时的定位误差，与表 3相比，其定位精度显著更优。

2.2 连续历元粗差

图 2、3分别为每个历元加入3个10 m粗差后FDE方法和惯性辅助的FDE方法各个历元的全局检验量和局部检验量。由图可知，所有历元全局检验量都超过门限阈值，都能检测出粗差，而惯性辅助的FDE方法的粗差识别函数值相较于FDE方法更稳定，更易准确识别粗差。

图 4为FDE方法识别的粗差数量。由图可知，大部分历元可以识别3个粗差；个别历元漏检了粗差，仅识别出1~2个粗差；部分历元误判了粗差，识别出4~5个粗差。

图 5为FDE方法探测的粗差位置，实际的粗差加入在第2、5和7三个观测值中。从图中可明显看出，多个历元健康的观测值被认为是粗差，误判的情况明显。

图 6、7分别为惯性辅助的FDE方法识别粗差的数量和位置。由图 6可知，几乎所有历元都能识别3个粗差，仅有3个历元有误判的情况，且没有漏检的存在。由图 7可知，分别在第286、2 359和4 136历元将第10、15和11个健康观测值识别为粗差。

图 8、9分别为FDE方法和惯性辅助的FDE方法剔除粗差和保留粗差的定位结果，表 6为定位结果统计。由图 8可见，由于方案②~④不能完全正确剔除粗差，使得传统的FDE方法定位结果不是最优的。在500~1 500和2 500~3 500历元阶段，剔除粗差后的精度明显低于保留粗差的结果；其他时间段可以正确识别粗差，剔除粗差后的精度优于保留粗差的结果。由图 9可见，使用惯性辅助的FDE方法时，所有历元中仅有3个观测值存在误判的情况，无漏检的情况存在，剔除粗差后，定位精度稳定。相较于FDE方法剔除粗差和保留粗差的情况，惯性辅助的FDE方法定位精度分别提高87.36%和86.47%。

2.3 不同数量和大小的粗差

当观测值中存在不同数量的粗差时，对比分析传统的FDE方法和惯性辅助的FDE方法的效果。每个历元分别加入1、2、3、4个10 m的粗差，表 7为4种情况下误判率和漏检率统计结果。当加入1个和2个粗差时，FDE方法误检和漏检率都很低，粗差检测和剔除效果好；当加入3个和4个粗差时，FDE方法检测的误判率分别为8.445% 和9.869%，漏检率分别为5.950%和8.568%，定位性能低。而惯性辅助的FDE方法能够显著改善2个以上粗差的检测效能，漏检率和误检率都显著降低。

图 10为加入10 m、15 m和20 m粗差时FDE方法的识别数量情况。可以看出，随着粗差变大，加入20 m粗差时，FDE方法最多识别8个粗差，多剔除了5个观测值。这是由于观测值之间存在相关性，粗差增大时影响其余的观测值，使得误判概率变大，导致定位性能降低。

表 8为不同大小的粗差误检和漏检率统计结果，共4 476个历元，每个历元加入3个粗差，共加入13 428个粗差。由表可知，随着误差增大，FDE方法的误判率逐渐增大，漏检率减小。使用惯性辅助时，对于不同大小的粗差，误检和漏检的概率一致，说明随着粗差的增大，惯性辅助的FDE方法能够有效识别不同大小的粗差，显著改善误判和漏检的概率。

3 结语

本文提出一种惯性辅助的多粗差检测和排除方法，可有效降低多个粗差对定位精度的影响。通过计算分析，主要得出如下结论：

1) 当观测值中存在多个粗差时，传统的FDE方法易出现错误剔除粗差和未完全剔除粗差的情况，导致定位性能降低。

2) 当观测值中存在2个以上粗差时，传统的FDE方法误判率和漏检率随着粗差数量的增加而增大，且随着粗差增大，误判率也会增大；通过惯性辅助能显著提升多粗差探测的效率，降低误检和漏检概率，提高组合导航定位的性能。