随着科技技术的不断发展，惯性导航、地磁导航、地图匹配等导航定位技术应运而生，其中卫星导航技术相对成熟，但其应用范围受限于系统的定位精度。与GPS的dm级定位精度相比，我国自主研制的北斗导航系统面向大众的导航定位服务精度仅能达到10 m级，无法满足诸如无人驾驶、智慧农业等新兴产业的高精度定位需求。且GNSS卫星的抗遮挡能力较弱，容易受到针对性的干扰，使得导航定位的性能大幅降低。与中高轨卫星不同，低轨卫星具有轨道高度低、运行速度快等特点，使得接收机的方向余弦矩阵在短期内变化较大，有利于误差参数间的分离，能够加快导航定位的收敛速度^[1]。此外，低轨卫星在发射成本、信号传播损耗、用户测速、周跳探测等^[2]方面均有独特优势，能够与BDS-3卫星结合，从而提升导航星座的对地覆盖性能。因此，低轨卫星能够作为GNSS的补偿，为“GNSS+低轨”联合定位^[3]提供足够数量的距离观测数据。在引入低轨星座观测数据共同参与定位解算时，定位精度不仅与特征误差的修正方法有关，还与混合星座的空间架构存在一定联系。

近年来，面向导航增强的低轨星座空间架构设计^[4]受到国内外学者重视。当前全球商业低轨星座尚未建成，相关方面的研究还处在规划和仿真阶段。李怀建等^[5]将遗传算法应用于低轨星座设计优化中，在减少卫星数量及轨道数量的同时提升卫星的覆盖层数，降低PDOP值；李楷^[6]结合Flower星座构型的共地面轨迹特性设计椭圆轨道，能够在相同卫星数量的条件下达到更好的区域导航增强效果；田野等^[7]采用组合Walker星座方案，提高了人口密集区域的低轨卫星数量。上述研究都在一定程度上提升了卫星导航的定位性能，但鲜有关于卫星的几何分布及其稳定性等方面的论述。

基于此，本文提出一套基于几何分析法的低轨星座设计方法。首先针对单星对地覆盖场景展开几何分析，得到关键要素间的约束关系，结合相关文献的实验数据确定要素的预设值，并得到最优方案；然后提出基于“极轨+组合Walker”的低轨混合星座空间架构设计方案，并结合地球扁率摄动确定诸如轨道倾角等参数的配置；最后通过仿真实验论证混合星座的导航增强效能。

1 单星覆盖关键要素分析

影响单点定位性能的主要因素除了观测量的精度外，还与所测卫星在空间上的几何分布密切相关。在进行星座设计前，首先需要对单个卫星对地覆盖的场景进行几何分析，确定其关键要素间的约束关系，然后通过卫星及接收机的现实场景和相关文献得出部分参数配置，最终计算出覆盖全球所需的大致卫星数量。

1.1 关键要素分析

根据文献[8]给出的全球覆盖条件下单颗卫星对地覆盖面积的等效公式，可得最小卫星数与地心角半角之间的关系为：

$ N=\frac{A_e}{A_{\text {球面六边形 }}}=\frac{\pi}{3 \arctan \left(\frac{\sqrt{3}}{\cos \theta}\right)-\pi} $

(1)

式中，A_e为地球表面积，A_{球面六边形}为单颗卫星对地覆盖等效面积，θ为对应的地心角半角。单颗低轨卫星对地覆盖示意图如图 1所示。

在轨道高度H、地球半径R_e、最低仰角ε_min确定的情况下，由正弦定理可以得出卫星发射半角δ、地心角半角θ及用户至接收机的临界距离d满足如下关系：

$ \frac{\sin \left(90^{\circ}+\varepsilon_{\min }\right)}{H+R_e}=\frac{\sin \delta}{R_e}=\frac{\sin \theta}{d} $

(2)

式中，ε_min+δ=90°－θ。由此可知，首要任务是确定低轨卫星的轨道高度及接收机的最低仰角。

1.1.1 轨道高度

近地宇宙空间中存在含有大量高能粒子的范艾伦辐射带，为减轻高能粒子对星载设备的穿透损害，并兼故较小的星地链路损耗，在进行卫星星座设计时应尽量选取辐射较少的安全地带。当前商业公司采用的低轨卫星轨道高度大多在1 100~1 500 km范围内。此外，近地空间中还存在大量包括航天器、火箭碎片在内的飞行物，特别是1 000 km以下的飞行物总量在近10 a内急速上升^[9]。为规避碰撞风险，轨道高度的设定应尽量避开飞行物密集区域。

综上所述，满足要求的轨道高度被限制在一定范围内，其变化较地球半径而言体量较小，对地心角半角产生的影响不大。基于此，本文将轨道高度预设为1 100 km和1 200 km。

1.1.2 最低仰角

在实际观测过程中，可见卫星数量、平均PDOP值及多路径效应均与最低仰角相关。田翌君等^[10]通过研究单一GNSS系统及BDS/GPS双系统在不同最低仰角下的定位性能发现，随着最低仰角的增加，影响测量精度的各项参数会有不同的表现。其中，平均可见卫星数量逐步减少，平均PDOP值明显增加，多路径效应带来的影响明显减弱。在一定的仰角范围内，单卫星导航系统的模糊度固定率会在某一最低仰角处达到峰值，并向两侧延伸呈递减趋势；而双卫星导航系统的模糊度固定率则是随最低仰角的增加逐步上升至100%。因此，多卫星导航系统星座架构的几何强度对模糊度解算的成功率明显优于单卫星导航系统，且能够保证模糊度固定率与最低仰角的相关关系不会因可选卫星数量过少而发生变化。“北斗+低轨”混合星座与此类似，在设置最低仰角时，不必考虑模糊度固定率随最低仰角的增加而下降的问题，只需在满足全球连续覆盖的条件下兼顾考虑多路径效应和总卫星发射及维护成本。

本文研究的信号增强要求低轨星座在模糊度固定率方面达到90%即可。根据文献[10]，最低仰角大于15°时即可满足需求，因此本文取15°、20°、30°作为接收机最低仰角的预选值。

1.2 关键要素确定

确定轨道高度和最低仰角后，由式(2)可得单颗卫星的发射半角δ及对应的地心角半角θ，最终通过式(1)计算得到覆盖全球所需的大致卫星数N。计算结果如表 1所示。

考虑到卫星的发射及维护成本，设置最优方案为：轨道高度为1 200 km、最低仰角ε_min为15°、地心角半角θ为20.63°，此时所需的卫星数量为37。由于存在冗余覆盖，实际卫星数量应大于37。

2 低轨星座空间架构设计

本文低轨星座设计重点放在卫星分布的均匀性及卫星轨道的稳定性上。首先对单颗卫星的多个要素进行分析，然后采用“极轨+组合Walker”混合星座方案，并确定相关参数的值，设计出的星座在对地覆盖性能和轨道稳定性方面表现优异，能够实现对BDS-3系统的导航增强。

2.1 星座类型的选择

极轨星座的空间特性决定了其导航增强效能的区域特性：随着纬度的增大，其轨道间距逐渐缩小，对地覆盖性能大幅提升。不同于极轨星座，由Walker^[11]提出的Walker星座是一种能够实现连续覆盖且具有均匀对称特性的卫星星座。确定卫星数目后，Walker星座构型能够达到最优对地覆盖面积，对中低纬度地区增强效果明显。基于此，本文将“极轨+组合Walker”混合星座作为目标，研究其对BDS-3系统的导航增强性能。

2.2 星座参数的确定 2.2.1 极轨星座设计

为便于仿真实验，采用近圆轨道。本文设计的单个卫星对地覆盖的地心角2θ=41.26°。对于极轨道而言，要满足赤道全覆盖，轨道数P需大于4。由Ullock等^[12]推理得到的连续覆盖条件下轨道数P与单轨卫星数S之间的关系式为：

$ (P-1) \theta+(P+1) \arccos \left[\frac{\cos \theta}{\cos \pi / S}\right]=\pi $

(3)

当P=5时，S约为14。当P继续增加时，卫星总数N会逐渐增大，导致空间段的运行及维护成本进一步增加。

根据SOC设计相关理论，覆盖带半宽c及轨道间夹角Δ的计算公式为：

$c=\arccos \left[\frac{\cos \theta}{\cos \pi / S}\right] $

(4)

$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l} \Delta_{\text {同向 }}=\theta+c \\ \Delta_{\text {反向 }}=2 c \end{array}\right. \end{gathered} $

(5)

最终得到极轨星座参数配置如表 2所示。

2.2.2 Walker组合星座设计

地球作为一个非均匀密度天体，会对卫星施加非球形引力，导致卫星轨道发生偏移。这种由非球形摄动带来的偏移会随卫星轨道高度的减小而迅速增加，因此本文着重考虑地球扁率摄动J₂项对卫星轨道的影响。

升交点赤经在非球形摄动力的影响下会沿赤道慢慢发生偏移，表现为轨道面的旋转，其变化率为：

$ \dot{\varOmega}=-\frac{3}{2} n J_2\left[\frac{a_e}{a\left(1-e^2\right)}\right]^2 \cos i $

(6)

确定轨道高度后，轨道长半轴a及平均运动角速率n也随之确定。因此，Walker星座升交点赤经的变化率主要取决于轨道倾角的设定。

此外，近地点角距也会产生缓慢变化，表现为轨道面主轴的旋转，其变化率为：

$ \dot{\omega}=-\frac{3}{4} n J_2\left[\frac{a_e}{a\left(1-e^2\right)}\right]^2\left(1-5 \cos ^2 i\right) $

(7)

当轨道倾角i取63.4°时，近地点角距的变化率近似于0，即近地点在低轨卫星轨道内的位置保持相对稳定。此时地面控制中心在发送卫星姿态的控制指令时只需考虑第1项的影响，故本文Walker星座中的轨道倾角设置为63.4°。

为使低轨卫星在DOP值的均匀性方面有所提升，本文采用组合Walker构型设计方案。Yaro等^[13]给出最小GDOP值条件下的组合Walker构型公式为：

$ \sum\limits_{j=1}^k N_j \cos ^2 i_j=\frac{1}{3} \sum\limits_j^k N_j $

(8)

考虑到整个低轨星座的运维成本，本文将k值设定为2。为保证卫星对地覆盖的连续性，第1个Walker星座卫星数N₁取48，轨道倾角i₁=63.4°；第2个Walker星座卫星数N₂取54(以减弱J₂项对卫星轨道的影响)，其对应的轨道倾角为$i_2=\arccos \sqrt{\left[(48+54) / 3-48 \cos ^2 63.4^{\circ}\right] / 54}= $ =48.5°。组合Walker星座的具体参数配置见表 3。

2.3 仿真实例

本文以广西南宁某观测站(108°E，22°N)为基准点，向南北以20°纬度为间隔，沿108°E取北半球5个点位为参考站，并利用MATLAB软件对参考站及全球可见卫星数量与实时PDOP值进行仿真，同时利用STK软件对北斗与低轨混合星座进行覆盖性能及轨道稳定性能仿真，以验证本文设计的低轨混合星座对原BDS-3系统的导航增强性能。

图 2为BDS-3和低轨星座的空间架构，图 3为5个参考站在1 d内的平均可见卫星数及PDOP值，图 4为不同星座的全球覆盖性能，表 4为不同星座的全球PDOP值，图 5为低轨星座轨道稳定性仿真结果。由图 3可见，在低轨星座的加持下，5个参考站的可见卫星数量大幅提升，尤其在高纬度地区增幅最高达10颗左右。随着卫星总数的增加，5个参考站的平均PDOP值降低约0.4，且在均匀性上明显优于原BDS-3星座。在低轨卫星数量大致相同的情况下，北斗与低轨混合星座在覆盖性能及PDOP值方面的表现也略优于文献[10]。此外，轨道轴长的仿真结果显示，其在4 a内的变化率不超过0.230 6%，能够保证卫星在整个生命周期内稳定运行。

3 结语

1) 通过空间几何关系确定的关键要素信息为后续星座设计工作提供理论依据。

2) 本文设计的“北斗+组合Walker”混合星座解决了传统单一星座构型存在的极地区域覆盖性能差、全球DOP值分布不均、可见卫星数过低、轨道稳定性差等问题。与相关星座设计方案相比，本文提出的基于几何分析的参数配置方案在可靠性和稳定性方面表现更优。

对低轨导航而言，为实现进一步的导航功能优化还需考虑其他问题，如选星策略、周跳探测、模糊度算法优化等。此外，商业低轨导航卫星的功能也逐渐趋向多元化，这将使得星座设计中目标函数的约束条件个数进一步增加，同时对卫星的多功能集成设计也提出了更高的要求。