针对卫星广播星历提供的钟差数据精度较低、难以满足精密单点定位(PPP)需求，国际GNSS服务(IGS)组织于2000年开始提供高精度的卫星钟差产品。但这些产品是基于采样间隔的离散化序列结果，以离散形式表述和服务的卫星钟差，随着采样间隔增加，占用的存储空间也会增加，并未充分发挥卫星钟差中显著的规律性变化特性。因此，研究一种以参数方式代替序列化数值的方法，以减少产品存储空间，并充分利用卫星钟差的显著特性十分必要。目前，国内外钟差研究中常用的模型有一次多项式模型、二次多项式模型、灰色模型以及自回归滑动平均模型(ARIMA)等^[1-6]，其中一、二次多项式模型可高精度地表示卫星钟差短时间内的变化，而卫星钟差中除一、二次项的变化趋势外，还存在一些显著的周期项变化^[7-11]。

本文通过对2021年(GPS周2 138~2 190)IGS BDS-3精密钟差数据进行分析，在二次多项式拟合残差基础上采用快速傅里叶变换(FFT)方法分析残差的周期特性^[12-13]，构造高精度卫星钟差模型化函数，并在研究BDS-3卫星原子钟特性基础上实现高精度、长时间模型化，以分析其在PPP中的性能。

1 模型分析

星载原子钟在运行过程中会出现频率漂移现象，给后续定位产生很大影响。卫星时钟最常见的误差模型为n阶多项式模型，其表达式为：

$ \operatorname{clk}(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^n\left(a_k \times t^k\right) $

(1)

式中，a₀为常数项，a_k(k=1~n)为k阶多项式系数，clk(t)为t时刻卫星钟差。在卫星导航文件中，通常采用相位、频率、频漂3个因素作为二次多项式系数来对钟差进行拟合。研究表明，卫星钟差具有明显的周期特性，可通过傅里叶变换进行频谱分析来提取卫星钟差的周期项。对于离散型傅里叶级数，其表达式为：

$ X(k)=\sum\limits_{n=0}^{N-1} x(n) \mathrm{e}^{-\frac{i 2 \pi}{k} k n} $

(2)

式中，X(k)为k时段的频谱值，x(n)为拟合残差序列，i为虚数单位，e为自然底数，n为残差序列号，N为残差序列个数。在实际计算中，采用快速傅里叶变换进行频谱分析，根据频谱即可确定周期项。基于频谱分析得到的周期项对钟差进行建模，构造钟差序列结合二次多项式的周期项模型：

$ \begin{gathered} \operatorname{clk}(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^2\left(a_k \times t^k\right)+ \\ \sum\limits_{m=1}^n A_m \times \sin \left(\frac{2 \pi}{T_m} t+\Phi_m\right) \end{gathered} $

(3)

式中，n为周期项个数，T_m为周期，A_m为振幅，Φ_m为初始相位，a₀、a_k为多项式系数。

2 数据处理

利用2021年(GPS周2 138~2 190)IGS采样间隔为30 s的BDS-3最终卫星精密钟差产品进行分析。首先通过快速傅里叶方法分析卫星钟的周期项，然后在BDS-3原子钟周期特性基础上进行模型化效果分析，以构建高精度、长时间的卫星钟差模型化函数，并采用5个IGS站数据分析其PPP性能。5个IGS站分布如图 1所示。

2.1 二次多项式模型

以C19(MEO)、C25(MEO)、C38(IGSO)、C59(GEO)4颗卫星的钟差数据为例，分析二次多项式拟合残差特性。图 2为4颗卫星2021-07-01~05共5 d的IGS最终钟差数据文件去除趋势项后的拟合残差，采样间隔为30 s，共14 400个历元。由图 2可知，去除二次多项式趋势后的拟合残差具有明显的周期变化特性，表明BDS-3钟差除二次多项式趋势外还具有一定的周期特征，这些周期特性对于高精度卫星钟差模型化具有重要意义。

计算所有卫星1 a残差的单日均方根，统计年平均值，结果如表 1所示。图 3为C19、C25、C38、C59卫星2021年单日二次多项式拟合残差RMS结果，图中横坐标为相应月份。结合表 1和图 3可以看出，MEO卫星的拟合残差较小，C19和C25卫星的二次多项式拟合残差分别为0.14 ns和0.11 ns左右，而C38(IGSO)卫星的拟合残差约为0.24 ns，GEO卫星的拟合残差较大，C59卫星的拟合残差为0.34 ns左右。

2.2 周期项分析

由§2.1可知，BDS-3卫星原子钟不仅含有二次多项式趋势，还存在一定周期性。对二次多项式的拟合残差进行频谱分析，运用快速傅里叶变换将残差序列转换到频率域，并对数据幅值波形进行分析，找出卫星钟差存在的周期规律，以进行周期项分析。为分析残差序列的周期特征，对2021年IGS最终精密钟差数据进行频谱分析，图 4为C19、C25、C38、C59四颗卫星每日前8个周期的结果，从图中可以看出，卫星在不同天内表现出的周期性有所差别，可能是由于接收到BDS-3信号的测站分布不均匀，导致钟差数据存在部分历元缺失所致。因此，在构造附加周期项函数模型时，需考虑不同卫星在不同时间具有不同主周期的特性。表 2为BDS-3所有卫星1 a内最常见的8个显著周期，从表中可以看出，不同轨道和星载原子钟类型卫星在周期上无较大差别，常见的周期有12 h(每天2个周期)、8 h(每天3个周期)、6 h(每天4个周期)、4.8 h及4 h等，这些周期均比较稳定，接近卫星轨道的运行周期。但也存在如2.7 h、2.4 h等小周期，无法与轨道周期耦合，说明还有部分其他因素可能会影响卫星时钟或信号，可能与太阳光照的热变化、卫星内部硬件、不同轨道平面及复杂空间环境有关^[14-16]。

2.3 附加周期项改正的多项式模型

根据卫星钟的主要周期项，对每日卫星钟差产品进行模型化分析，计算基于二次多项式附加表 2中前4个周期、前6个周期及8个周期后函数的拟合残差及其1 a每日残差RMS，结果见图 5。从图中可以看出，对于卫星钟差去除二次项趋势后残差的周期特性，加入周期项改正模型可提高对钟差数据的拟合精度，且随着加入周期项数的增加，拟合精度也在提高。但根据对拟合残差周期特性的分析可知，除前几个较为稳定的主周期外，还存在不稳定的小周期，因此加入的周期项数过多，可能会带来误差影响，对拟合精度的提高无明显作用。由图 5可知，附加8个周期的模型拟合精度最高，相比多项式拟合精度提高约70%，适合参数化BDS-3卫星钟差。

2.4 PPP精度评价

对建模后的钟差数据进行PPP计算，并与原始IGS精密钟差数据进行比较，分析其定位精度。利用基于不同模型化函数生成的24 h参数化卫星钟差产品，对PPP性能进行测试，统计5个IGS站2021-07-31参数化卫星钟差和IGS钟差的静态和动态PPP结果，数据采样间隔为30 s，截止高度角为10°，使用B1和B3观测的无电离层组合，并对地潮、天线相位中心偏移和地转等影响进行修正，分析定位误差及收敛时间，其中收敛时间定义为在N、E、U三方向连续的估计坐标误差小于10 cm时所经过的时间。根据估计历元坐标误差计算PPP结果的RMS误差，图 6为静态PPP在三方向的平均收敛时间，24 h静态和动态PPP误差的平均RMS如图 7所示。由图 6和图 7可知，模型化产品的静态定位结果可达cm级，但其收敛时间比IGS序列化产品长。二次多项式模型化由于忽略卫星钟差存在的周期性特征，在定位精度和收敛时间上均最差，附加8个周期项的模型化处理结果优于其他模型，但比IGS序列化产品略差，尤其是在U方向收敛时间方面。上述结果表明，BDS-3卫星钟差的模型化服务方法仍需改进。

3 结语

卫星钟差是影响卫星定位精度的重要因素之一，研究其特性并进行高精度估计和服务是GNSS系统的重要工作。目前，精确的卫星钟差由IGS组织提供，并以离散序列形式存储，这会占据大量内存空间，而采用高精度模型化函数系数代替时钟序列可简化服务模式。本文基于2021年BDS-3卫星钟差数据，通过对卫星钟差序列进行建模，分析BDS-3卫星钟特点，得出以下结论：

1) 卫星钟差在去除二次多项式趋势后具有明显的周期性规律，经过傅里叶变换后可得到12 h、8 h、6 h、4.8 h等较稳定的主要周期项，另外还存在不太稳定的小周期项。

2) 结合卫星钟存在的周期特性，构造不同的高精度模型化函数。结果表明，加入周期改正的模型化精度比二次多项式高，附加8个周期项的模型精度相比二次多项式提高约70%。

3) 将模型化后的钟差数据应用于PPP处理中，其定位结果均能达到cm级，其中附加8个周期项的模型函数优于其他2种函数，但收敛时间均比IGS最终钟差产品慢。模型化钟差数据在PPP处理中的精度略差于IGS钟差序列结果，但模型化钟差数据可极大减小产品存储空间。