勒让德方程是物理学和其他技术领域常遇到的一类常微分方程。在大地测量学中，通常只关注缔合勒让德函数递推公式及其计算精度与速度。递推公式大致可分为标准向前按列和按行递推方法^[1]、列式递推方法^[2]和跨阶次递推方法^[3]等，这些递推公式在理论上具有等价性。但由于递推公式结构存在优劣，在计算过程中，不同类型的递推公式显示出不同的效果^[4-7]，因此，需要进一步改善递推公式结构^[8-9]。球谐与椭球谐理论^[10-11]作为物理大地测量学的重要理论，虽然地球与太阳系内的天体椭率较小，但也可用于其他领域研究^[12]。

本文给出部分特殊函数的任意阶导数表达式。在此基础上，直接给出第一类连带勒让德函数的超比表达式，及其与其他特殊函数的理论关系；同时利用级数展开方法，直接给出第二类连带勒让德函数的超比表达式。

1 勒让德方程及其奇点

复数域内勒让德方程为^[13-14]：

$ \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-2 x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\nu(\nu+1) y=0 $

(1)

式中，ν为待定参数。

连带(缔合)勒让德方程为：

$ \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{~d} x^2}-2 x \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}+\\ \left(\nu(\nu+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right) z=0 $

(2)

显然，当m=0时，方程(2)就可化为方程(1)。式(2)的系数为：

$ \left\{\begin{array}{l} p(x)=\frac{-2 x}{1-x^2} \\ q(x)=\frac{\nu(\nu+1)}{1-x^2}-\frac{m^2}{\left(1-x^2\right)^2} \end{array}\right. $

(3)

由于式(3)在x₀=0点解析，因此x₀=0为方程(1)和(2)的常点。

根据式(3)得：

$ \left\{\begin{array}{l} \lim\limits _{x \rightarrow \pm 1} p(x)=\infty, \lim\limits _{x \rightarrow \pm 1} q(x)=\infty \\ \lim\limits _{x \rightarrow \pm 1}(x \mp 1) p(x)=1, \lim\limits _{x \rightarrow \pm 1}(x \mp 1)^2 q(x)=-\frac{m^2}{4} \\ \lim\limits _{x \rightarrow \infty} x p(x)=2, \lim\limits _{x \rightarrow \infty} x^2 q(x)=-\nu(\nu+1) \end{array}\right. $

(4)

所以，x₀=±1、∞分别为勒让德方程的3个正则奇点。

2 式(1)幂级数解：第一类勒让德函数

文献[13-14]指出，若x₀为二阶微分方程的常点，则该方程的系数和解均可以通过麦克劳林级数来表示：

$ y(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} c_k\left(x-x_0\right)^k $

(5)

因此，方程(1)在常点x₀=0邻域内的解为：

$ P_\nu(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} c_k x^k $

(6)

将式(6)代入式(1)，可得系数之间的递推公式：

$ c_{k+2}=\frac{k(k+1)-\nu(\nu+1)}{(k+2)(k+1)} c_k $

(7)

设置c₀和c₁为任意常数，可证P_ν(x)在|x| < 1时收敛，在x=±1处发散^[13-14]。

当ν=n时，P_ν(x)截断为多项式P_n(x)，如果取最高幂次系数：

$ c_n=\frac{(2 n) !}{2^n(n !)^2} $

(8)

则有^[13-14]：

$ P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^k(2 n-2 k) !}{2^n k !(n-k) !(n-2 k) !} x^{n-2 k} $

(9)

式中，[·]表示取整数。值得注意的是，多项式对自变量数域范围无要求。

当ν=n时，可证明

$ \begin{aligned} & P_n(x)=F\left(-n, n+1, 1 ; \frac{1-x}{2}\right)= \\ & j_n\left(1, 1 ; \frac{1-x}{2}\right)=P_n^{(0, 0)}(x)=C_n^{\frac{1}{2}}(x) \end{aligned} $

(10)

第一个等号成立。后面3个等号，可根据(C7)、(C15)和(C21)式得到。

3 式(1)幂级数解：第二类勒让德函数

与P_n(x)线性无关的另一个解Q_n(x)，可通过刘维尔公式得到^[13-14]：

$ \begin{gathered} y_2=y_1 \int \frac{1}{\left[y_1\right]^2} \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x \Rightarrow Q_n(x)= \\ P_n(x) \int \frac{1}{\left[P_n(x)\right]^2\left(1-x^2\right)} \mathrm{d} x \end{gathered} $

(11)

式中，p(x)为方程(1)的系数，具体见式(3)。

当ν=n时，设方程(1)的级数解为：

$ Q_n(x)=\frac{1}{x^{n+1}} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{b_k}{x^{2 k}} $

(12)

将上式代入式(1)，可得系数之间的递推公式为：

$ \begin{gathered} b_k=\frac{(n+2 k-1)(n+2 k)}{2 k(2 n+2 k+1)} b_{k-1}= \\ \frac{\left(\frac{n+1}{2}+(k-1)\right)\left(\frac{n+2}{2}+(k-1)\right)}{k\left(n+\frac{3}{2}+(k-1)\right)} b_{k-1} \end{gathered} $

(13)

由此可得：

$ b_k=\frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)_k\left(\frac{n+2}{2}\right)_k}{k !\left(n+\frac{3}{2}\right)_k} b_0 $

(14)

如果设置

$ b_0=\frac{2^n(n !)^2}{(2 n+1) !}=\frac{\sqrt{\pi} \mathit{\Gamma}(n+1)}{2^{n+1} \mathit{\Gamma}\left(n+\frac{3}{2}\right)} $

(15)

则可将式(12)表示为：

$ \begin{aligned} & Q_n(x)=\frac{\sqrt{\pi} \mathit{\Gamma}(n+1)}{2^{n+1} \mathit{\Gamma}\left(n+\frac{3}{2}\right)} \frac{1}{x^{n+1}} \\ & F\left(\frac{n+1}{2}, \frac{n+2}{2}, n+\frac{3}{2} ; x^{-2}\right) \end{aligned} $

(16)

上式称为第二类勒让德函数。

考虑到式(A9)、(A10)以及式(15)，可将式(16)写为：

$ Q_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^n(n+k) !(n+2 k) !}{k !(2 n+2 k+1) !} \frac{1}{x^{n+2 k+1}} $

(17)

注意，第二类勒让德函数是一个无穷级数，自变量要求|x|>1。

4 式(2)幂级数解：第一类与第二类连带Legendre函数

可证明：如果式(1)的解为y，那么式(2)的解为^[13-14]：

$ z=\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} y^{(m)}=\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} \frac{\mathrm{d}^m y}{\mathrm{~d} x^m} $

(18)

因此，当ν=n时，则有：

$ \left\{\begin{array}{l} P_n^m(x)=\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} \frac{\mathrm{d}^m P_n(x)}{\mathrm{d} x^m} \\ Q_n^m(x)=\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} \frac{\mathrm{d}^m Q_n(x)}{\mathrm{d} x^m} \end{array}\right. $

(19)

分别称为第一类和第二类连带勒让德函数。

根据式(10)和式(19)中第一式，以及(C5)、(C9)、(C16)和(C23)式，可得：

$ \begin{gathered} P_n^m(x)=\frac{(n+m) !}{2^m m !(n-m) !}\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} \\ F\left(-n+m, n+m+1, m+1 ; \frac{1-x}{2}\right)= \\ \frac{(n+m) !}{2^m m !(n-m) !}\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} \\ j_{n-m}\left(2 m+1, m+1 ; \frac{1-x}{2}\right)= \\ \frac{(n+m) !}{2^m n !}\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} P_{n-m}^{(m, m)}(x)= \\ \frac{(2 m) !}{2^m m !}\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} C_{n-m+\frac{1}{2}}^m(x) \end{gathered} $

(20)

上式为第一类连带勒让德函数(实际上为多项式)的不同表述。

根据式(17)和式(19)中第二式，可得：

$ \begin{gathered} Q_n^m(x)=(-1)^m 2^n\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} \frac{1}{x^{n+m+1}} \\ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(n+k) !(n+m+2 k) !}{k !(2 n+2 k+1) !} \frac{1}{x^{2 k}} \end{gathered} $

(21)

根据式(A9)和式(A10)，可得：

$ \begin{gathered} \frac{(-1)^m 2^n(n+m+2 k) !(n+k) !}{k !(2 n+2 k+1) !}= \\ \frac{(-1)^m 2^n n !(n+m) !}{(2 n+1) !} \frac{\left(\frac{n+m+1}{2}\right)_k\left(\frac{n+m+2}{2}\right)_k}{k !\left(n+\frac{3}{2}\right)_k} \end{gathered} $

因此，式(21)可写为：

$ \begin{aligned} & Q_n^m(x)=\frac{(-1)^m \sqrt{\pi} \mathit{\Gamma}(n+m+1)}{2^{n+1} \mathit{\Gamma}\left(n+\frac{3}{2}\right)}\left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} \\ & \frac{1}{x^{n+m+1}} F\left(\frac{n+m+1}{2}, \frac{n+m+2}{2}, n+\frac{3}{2} ; x^{-2}\right) \end{aligned} $

(22)

这里已考虑到(B4)式。

5 结语

本文给出超比函数、雅可比多项式、超球多项式和盖根堡多项式的任意阶导数，在此基础上利用式(19)第一式和式(10)，可直接得到式(20)。另外，首次利用级数展开方法并灵活运用括号运算符，直接给出式(16)和式(22)。

勒让德方程、切比雪夫方程、雅可比方程、超球方程和盖根堡方程等均属于超比方程类型，可以化为超比方程求解。因此，在研究勒让德方程时，可以利用其他微分方程的部分特性来研究勒让德方程的性质。

附录A 括号运算符

本文约定i－n字母只代表 0和正整数。当α≠0时，中括号和小括号运算符为：

$ \begin{gathered} {[\alpha]_k=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots(\alpha-(k-1)), } \\ {[\alpha]_0=1} \end{gathered} $

(A1)

$ \begin{gathered} (\alpha)_k=\alpha(\alpha+1)(\alpha+2) \cdots(\alpha+(k-1)) \\ (\alpha)_0=1 \end{gathered} $

(A2)

显然，当α=n时，有：

$ \left\{\begin{array}{l} {[n]_k=\frac{n !}{(n-k) !}(k \leqslant n)} \\ (n)_k=\frac{(n+k-1) !}{(n-1) !} \end{array}\right. $

(A3)

以及

$ \left\{\begin{array}{l} {[-n]_k=(-1)^k(n)_k=\frac{(-1)^k(n+k-1) !}{(n-1) !}} \\ (-n)_k=(-1)^k[n]_k=\frac{(-1)^k n !}{(n-k) !}(k \leqslant n) \end{array}\right. $

(A4)

小括号运算还有如下性质：

$ \begin{gathered} (\alpha)_{l+m}=(\alpha)_m(\alpha+m)_l= \\ (\alpha)_l(\alpha+l)_m \end{gathered} $

(A5)

当l→n－m时，有：

$ \begin{gathered} (\alpha)_n=(\alpha)_m(\alpha+m)_{n-m}= \\ (\alpha)_{n-m}(\alpha+n-m)_m \end{gathered} $

(A6)

在式(A5)中，令m→2k、l→n－k，则：

$ \begin{gathered} (\alpha)_{n+k}=(\alpha)_{2 k}(\alpha+2 k)_{n-k}= \\ (\alpha)_{n-k}(\alpha+n-m)_{2 k} \end{gathered} $

(A7)

根据式(A2)可运算得到：

$ \left(\frac{1}{2}\right)_n=\frac{(2 n) !}{\left(2^n\right)^2 n !} $

(A8)

同时也可得：

$ \left(\frac{n+1}{2}\right)_k\left(\frac{n+2}{2}\right)_k=\frac{(n+2 k) !}{\left(2^k\right)^2 n !} $

(A9)

以及

$ \left(n+\frac{3}{2}\right)_k=\frac{(2 n+2 k+1) ! n !}{\left(2^k\right)^2(n+k) !(2 n+1) !} $

(A10)

以上3式在本文中经常用到。

附录B Γ函数

第二类Euler积分称为Γ函数，定义为^[13-14]：

$ \mathit{\Gamma}(x)=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-t} t^{x-1} \mathrm{~d} t, (x \in \mathbb{C}, \operatorname{Re}(x)>0) $

(B1)

式中，$\mathbb{C} $表示复数。Γ函数有如下基本性质^[13-14]：

$ \begin{gathered} \mathit{\Gamma}(n+1)=n !, \mathit{\Gamma}\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \\ \mathit{\Gamma}(x+n)=(x)_n \mathit{\Gamma}(x) \end{gathered} $

依据以上3条基本性质和式(A8)，可得：

$ \begin{aligned} \mathit{\Gamma}\left(n+\frac{3}{2}\right) & =\frac{\sqrt{\pi}(2 n+2) !}{2^{n+1} 2^{n+1}(n+1) !}= \\ & \frac{\sqrt{\pi}(2 n+1) !}{2^{n+1} 2^n n !} \end{aligned} $

(B2)

进而可得：

$ \frac{\sqrt{\pi} \mathit{\Gamma}(n+1)}{2^{n+1} \mathit{\Gamma}\left(n+\frac{3}{2}\right)}=\frac{2^n(n !)^2}{(2 n+1) !} $

(B3)

$ \frac{(-1)^m \sqrt{\pi} \mathit{\Gamma}(n+m+1)}{2^{n+1} \mathit{\Gamma}\left(n+\frac{3}{2}\right)}=\frac{(-1)^m 2^n n !(n+m) !}{(2 n+1) !} $

(B4)

以上两式在表达勒让德函数时用到。

附录C 几个特殊方程及其解 C.1 超比方程(hypergeometric equation)

超比方程又称超几何方程或Gauss方程，其形式为^[13-14]：

$ x(1-x) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+[\gamma-(\alpha+\beta+1) x] \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\alpha \beta y=0 $

(C1)

式中，α、β和γ为常数(多为实数)。式(C1)的一个解为^[13-14]：

$ F(\alpha, \beta, \gamma ; x) \equiv \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_k(\beta)_k}{k !(\gamma)_k} x^k $

(C2)

式(C2)要求γ不能为0和负整数。式(C1)的另一个解为^[13-14]：

$ \begin{gathered} x^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma, \beta+1-\gamma, 2-\gamma ; x)= \\ x^{1-\gamma} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(\alpha+1-\gamma)_k(\beta+1-\gamma)_k}{k !(2-\gamma)_k} x^k \end{gathered} $

(C3)

式(C3)要求γ不能为正整数。

可求得式(C2)对自变量x的m次导数为：

$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{~d} x^m} F(\alpha, \beta, \gamma ; x)=\frac{(\alpha)_m(\beta)_m}{(\gamma)_m} \\ F(\alpha+m, \beta+m, \gamma+m ; x) \end{gathered} $

(C4)

以及

$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{~d} x^m} F\left(\alpha, \beta, \gamma ; \frac{1-x}{2}\right)=\frac{(-1)^m(\alpha)_m(\beta)_m}{2^m(\gamma)_m} \\ F\left(\alpha+m, \beta+m, \gamma+m ; \frac{1-x}{2}\right) \end{gathered} $

(C5)

当然，也可得到式(C3)对自变量x的m次导数。

C.2 雅可比(Jacobi)方程

雅可比方程可表示为^[13-14]：

$ \begin{gathered} x(1-x) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+\left[\gamma-\left(\alpha_J+1\right) x\right] \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+ \\ n\left(\alpha_J+n\right) y=0 \end{gathered} $

(C6)

实际上，式(C1)中α→－n、β→α_J+n时式(C1)可化为式(C6)。因此，雅可比方程的一个解为^[13-14]：

$ j_n\left(\alpha_J, \gamma ; x\right) \equiv F\left(-n, \alpha_J+n, \gamma ; x\right) $

(C7)

式中，j_n(α_J, γ; x)称为雅可比多项式。

根据式(C4)、(C5)和(C7)可得：

$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{~d} x^m} j_n\left(\alpha_J, \gamma ; x\right)=\frac{(-n)_m\left(\alpha_J+n\right)_m}{(\gamma)_m} \\ j_{n-m}\left(\alpha_J+2 m, \gamma+m ; x\right) \end{gathered} $

(C8)

$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{~d} x^m} j_n\left(\alpha_J, \gamma ; \frac{1-x}{2}\right)=\frac{(-1)^m(-n)_m\left(\alpha_J+n\right)_m}{2^m(\gamma)_m} \\ j_{n-m}\left(\alpha_J+2 m, \gamma+m ; \frac{1-x}{2}\right) \quad \end{gathered} $

(C9)

由于雅可比方程为超比方程的特例，因此两者具有一些共同特性。

C.3 勒让德(Legendre)方程

方程(1)作自变量代换：

$ \xi=\frac{1-x}{2} $

(C10)

则有：

$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \xi} \frac{\mathrm{d} \xi}{\mathrm{d} x}=-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \xi} , \\ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \xi}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right) \frac{\mathrm{d} \xi}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{4} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} \xi^2} \end{gathered} $

则方程(1)可化为：

$ \begin{aligned} & \xi(1-\xi) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} \xi^2}+[1-(-\nu+(\nu+1)+1) \xi] \\ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \xi}-(-\nu)(\nu+1) y=0, \left(\xi=\frac{1-x}{2}\right) \end{aligned} $

(C11)

上式为一个α=－ν、β=ν+1、γ=1且自变量为ξ的超比方程，其中一个解为：

$ \begin{gathered} F\left(-\nu, \nu+1, 1 ; \frac{1-x}{2}\right) \equiv \\ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-\nu)_k(\nu+1)_k}{k !(1)_k}\left(\frac{1-x}{2}\right)^k \end{gathered} $

(C12)

当ν=n时，可证明上式就为P_n(x)。

C.4 超球方程(ultraspherical equation)

超球方程可表示为^[13-14]：

$ \begin{gathered} \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-2\left(\alpha_h+1\right) x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+ \\ n\left(n+2 \alpha_h+1\right) y=0 \end{gathered} $

(C13)

利用式(C10)作自变量，式(C13)可化为：

$ \begin{gathered} \xi(1-\xi) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} \xi^2}+\left[\left(\alpha_h+1\right)-\right. \\ \left.\left(-n+\left(n+2 \alpha_h+1\right)+1\right) \xi\right] \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \xi}-(-n)\left(n+2 \alpha_h+1\right) y=0 \end{gathered} $

(C14)

上式为α=－n、β=n+2α_h+1、γ=α_h+1且自变量为ξ的超比方程，其解为：

$ F\left(-n, n+2 \alpha_h+1, \alpha_h+1 ; \frac{1-x}{2}\right) $

该解要求α_h+1不能为0和负整数。为消除这个限制，令式(C14)的解为^[13-14]：

$ \begin{gathered} P_n^{\left(\alpha_h, \alpha_h\right)}(x)=\frac{\left(\alpha_h+1\right)_n}{n !} \\ F\left(-n, n+2 \alpha_h+1, \alpha_h+1 ; \frac{1-x}{2}\right) \end{gathered} $

(C15)

式(C15)称为超球多项式。

根据式(C5)和式(C15)可得：

$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{~d} x^m} P_n^{\left(a_h, a_h\right)}(x)=\frac{\left(n+2 \alpha_h+1\right)_m}{2^m} \\ P_{n-m}^{\left(a_h+m, \alpha_h+m\right)}(x) \end{gathered} $

(C16)

式(C16)为超球多项式对自变量x的m次导数。

C.5 盖根堡(Gegenbauer)方程

盖根堡方程可表示为^[13-14]：

$ \begin{gathered} \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-\left(2 \alpha_g+1\right) x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+ \\ n\left(n+2 \alpha_g\right) y=0 \end{gathered} $

(C17)

显然，当α_g=0.5时，式(C17)可化为勒让德方程，即：

$ \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-2 x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+n(n+1) y=0 $

(C18)

当α_g=0时，则可化为切比雪夫方程，即：

$ \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+n^2 y=0 $

(C19)

因此，勒让德方程和切比雪夫方程是盖根堡方程的一个特例。

利用式(C10)作自变量变换，则式(C17)可化为：

$ \begin{gathered} \xi(1-\xi) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} \xi^2}+ \\ \left\{\left(\alpha_g+\frac{1}{2}\right)-\left(-n+\left(n+2 \alpha_g\right)+1\right) \xi\right\} \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \xi}-(-n)\left(n+2 \alpha_g\right) y=0 \end{gathered} $

(C20)

上式为α=－n、β=n+2α_g、γ=α_g+0.5且自变量为ξ的超比方程，其一个解为

$ F\left(-n, n+2 \alpha_g, \alpha_g+\frac{1}{2} ; \frac{1-x}{2}\right) $

上式要求α_g+0.5不能为0和负整数。为取消此限制，定义盖根堡多项式^[13-14]：

$ \begin{gathered} C_{n}^{\alpha_g}(x)= \\ \frac{\left(2 \alpha_g\right)_n}{n !} F\left(-n, n+2 \alpha_g, \alpha_g+\frac{1}{2} ; \frac{1-x}{2}\right)= \\ \frac{\left(2 \alpha_g\right)_n}{n !} j_n\left(2 \alpha_g, \alpha_g+\frac{1}{2} ; \frac{1-x}{2}\right)= \\ \frac{\left(2 \alpha_g\right)_n}{\left(\alpha_g+\frac{1}{2}\right)_n} P_n^{\left(a_g-\frac{1}{2}, \alpha_g-\frac{1}{2}\right)}(x) \end{gathered} $

(C21)

上式用到式(C7)和式(C15)。

同样可求得盖根堡多项式对自变量x的m次导数为：

$ \frac{\mathrm{d}^m C_n^{\alpha_g}(x)}{\mathrm{d} x^m}=2^m\left(\alpha_g\right)_m C_{n{-}m}^{\alpha_g+m}(x) $

(C22)

当α_g=0.5时，可得：

$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^m C_n^{\frac{1}{2}}(x)}{\mathrm{d} x^m}=2^m\left(\frac{1}{2}\right)_m C_{n-m}^{\frac{1}{2}+m}(x)= \\ \frac{(2 m) !}{2^m m !} C_{n-m}^{\frac{1}{2}+m}(x) \end{gathered} $

(C23)

在讨论连带勒让德方程时，需要用到上式。