在高程测量中，GPS获取的高程数据为大地高，而我国所采用的高程系统为正常高^[1]，两者存在差值，即高程异常。因此，如何获取高精度的高程异常是区域似大地水准面拟合的关键。

LSSVM是一种常用的区域似大地水准面拟合方法，其以支持向量机为基础改进而来，在高程转换过程中能够取得较好的效果^[2]。但单一的LSSVM会存在模型误差，精度有限，且会造成拟合残差序列信息浪费。基于此，本文以LSSVM为基础，提出LSSVM-Shepard组合区域似大地水准面拟合方法，充分利用拟合的残差序列信息，减少模型误差影响，提高高程转换精度。

1 原理与方法 1.1 LSSVM原理

LSSVM对支持向量机优化方程中的损失函数进行改进，采用误差的二次项之和代替$C \sum\limits_{i=1}^n\left(\varepsilon_i+\varepsilon_i^*\right)$，并将约束条件改为等式约束^[3-4]，从而简化模型以提高运算效率^[5]。但LSSVM在计算过程中仍会保留核函数环节，与支持向量机一样，其能够有效处理非线性问题。

假设(x_i, y_i)为一组高程异常数据集，其中，i=1, 2，…，n，x_i∈R^l，y_i∈R。x_i为数据集的平面坐标，y_i为数据集的高程异常。则LSSVM优化问题为：

$ \begin{aligned} &\min _{\boldsymbol{\omega}, b, e} J(\boldsymbol{\omega}, e)=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega}+\frac{1}{2} \gamma \sum\limits_{i=1}^n e_i^2 \\ &\text { s. t } \quad y_i=\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}\left(x_i\right)+b+e_i, \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1, 2, 3, \cdots, n \end{aligned} $

(1)

式中，ω为系数序列，e为误差项，γ为正则化参数，φ(·)为映射函数，b为偏差量。根据拉格朗日定理可得：

$ \begin{gathered} L(\boldsymbol{\omega}, b, e, \alpha)=J(\boldsymbol{\omega}, e)- \\ \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\left\{\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}\left(x_i\right)+b+e_i-y_i\right\} \end{gathered} $

(2)

分别对ω、b、e_i、α_i求偏导数，并使偏导数等于0。整理得：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\omega}=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \boldsymbol{\varphi}\left(x_i\right), \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i=0 \\ \alpha_i=\gamma_{e_i}, \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}\left(x_i\right)+b+e_i-y_i=0 \end{array}\right. $

(3)

根据Mercer条件可知^[6-7]，存在映射函数φ和核函数K，使得K(x_k, x_l)= φ(x_k)^Tφ(x_l)。线性方程组(3)整理可得：

$ \left[\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & K\left(x_1, x_1\right)+1 / \gamma & K\left(x_1, x_2\right) & \cdots & K\left(x_1, x_n\right) \\ 1 & K\left(x_2, x_1\right) & K\left(x_2, x_2\right)+1 / \gamma & \cdots & K\left(x_2, x_n\right) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 1 & K\left(x_n, x_1\right) & K\left(x_n, x_2\right) & \cdots & K\left(x_n, x_n\right)+1 / \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} b \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right] $

(4)

通过解方程(4)可得α_i和b，则LSSVM模型函数可表示为：

$ y(x)=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i K\left(x_i, x\right)+b $

(5)

1.2 Shepard插值模型

Shepard插值模型是针对大量离散点提出的局部逼近模型，是一种改进的加权平均法^[8]。该模型应用于高程转换的主要原理为：对于给定的数据集(x_i, y_i, ξ_i)，i=1, 2，…，n，(x_i, y_i)为平面位置坐标，ξ_i为对应的高程异常，则未知点高程异常可通过下式进行求解：

$ \xi(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \xi_i\left(\rho\left(r_i\right)\right)^u}{\sum\limits_{i=1}^n\left(\rho\left(r_i\right)\right)^u}, r_i \neq 0 \\ \xi_i, r_i=0 \end{array}\right. $

(6)

式中，u为拟合度，u>1；r_i为未知点到各已知点的距离；ρ(r_i)为已知点关于未知点的距离权函数：

$ \rho(r)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{r}, 0<r \leqslant \frac{R}{3} \\ \frac{27}{4 R}\left(\frac{r}{R}-1\right)^2, \frac{R}{3}<r \leqslant R \\ 0, r>R \end{array}\right. $

(7)

从式(7)可以看出，影响范围内会形成两个环带。

1.3 LSSVM-Shepard组合模型

根据物理大地测量学理论，高程异常可分为3个分量^[9]，其公式为：

$ \xi=\xi_{\text {长 }}+\xi_{\text {中 }}+\xi_{\text {短 }} $

(8)

式中，ξ_长、ξ_中、ξ_短分别为长波、中波、短波分量。高程异常在中长波项部分趋势变化平缓，而在短波项部分变化较大，容易受到地形等因素影响。

LSSVM将最小二乘思想引入到支持向量机，趋势面变化相对平缓，同时保持支持向量机良好的非线性问题处理能力，可提高计算效率。与二次曲面拟合“移去-恢复”模型的中长波项相比，LSSVM能够更好地处理中长波项中存在的非线性问题。Shepard插值模型可以充分利用周围已知点信息，能够有效处理局部变化信息。本文将两个单一模型进行结合，采用LSSVM拟合高程异常的中长波项，利用Shepard插值模型拟合包含模型误差的短波项，综合两个单一模型的优点，同时充分利用单一模型的拟合残差信息。其主要步骤如下：

1) 利用LSSVM对高程异常的中长波项进行拟合，确定模型系数，并计算包含LSSVM模型误差和短波项的残差序列。

2) 利用Shepard插值模型对残差序列进行训练，使用交叉验证方法确定模型系数。

3) 利用组合模型计算区域内任意一点的高程异常值。

2 算例分析 2.1 项目概况

实例1   项目区位于黑龙江省某市，地势较为平坦，属于平原地区。项目区共有74个GPS C级网点，且均已进行二等水准联测^[10]，测区面积为1 100 km²。点位分布见图 1。

实例2   似大地水准面拟合项目区位于云南某地区，区域内地形起伏大，属于高原山区地形。区域内共布设24个C级GPS控制点，并已进行三等水准联测^[11]，测区面积约为2 159 km²。点位分布见图 2。

2.2 参数选取

LSSVM模型采用径向基函数作为核函数，其公式为：K(x, x_i)=exp(－‖x－x_i‖²/2σ²)。该模型含有2个参数，分别为惩罚系数γ和核函数参数σ，模型参数以双层方格网法进行寻优。同时为减少取样随机性所产生的训练偏差，采用交叉验证法进行参数精度评定，将原始数据分为n等份，通过n次循环，每次以其中一份作为测试数据，其余n－1份作为训练数据，得到模型并对测试数据进行预测。统计测试结果，最终获得n次统计结果的平均值，并以此作为参数的评价因子。Shepard插值模型参数为拟合度u和影响半径R，为防止模型陷入局部最优，文中将u和R范围分别设置为[1, 50]和[0.1, 20]，搜索步长分别设置为1和0.02，同时通过循环操作使寻优过程遍历每一个节点。

2.3 实验对比分析

为增加实验的可靠性，选取10、20、30、40、50个均匀分布的联测点分别作为平原地区实验拟合点，选取7、9、11、13、15个均匀分布的联测点分别作为高原山区实验拟合点，剩余点作为检测点进行计算。为使高程异常数据集处于同一量级，在实验前对两组数据分别进行标准化处理。

实验分别采用二次曲面法、LSSVM、Shepard插值模型、二次曲面-Shepard、LSSVM-Shepard模型等5种方法进行似大地水准面拟合，采用检测点的外符合精度作为评定指标。实验计算结果如表 1(单位m)和表 2(单位m)所示。

表 1为平原地区各模型计算结果对比。当拟合点个数从10增加至50时，LSSVM-Shepard模型的外符合精度从0.035 m降至0.015 m，且数值均小于二次曲面、LSSVM、Shepard插值等3种单一模型，说明该组合模型的拟合效果优于这3种单一模型。二次曲面-Shepard模型随着拟合点数增加，外符合精度从0.034 m降为0.013 m，且数值均小于二次曲面和Shepard插值模型，说明拟合效果优于这两种单一模型。当拟合点个数一定时，二次曲面-Shepard和LSSVM-Shepard模型的外符合精度最大差值的绝对值为0.002 m，表明两个组合模型的拟合效果基本一致。

表 2为高原山区各模型计算结果对比。当拟合点个数一定时，LSSVM-Shepard模型的外符合精度小于其他4种模型，说明该组合模型高程转换效果最优。当拟合点个数由7增加至11时，二次曲面-Shepard模型的外符合精度分别为0.097 m、0.103 m、0.110 m，而Shepard插值模型的外符合精度分别为0.095 m、0.094 m、0.089 m，Shepard插值模型的拟合效果略优，说明二次曲面-Shepard模型在复杂的高原山区进行高程转换时适用性受限。

综上所述，无论是在平原还是高原山区实验区，LSSVM-Shepard模型的拟合效果均优于二次曲面、LSSVM、Shepard插值等3种单一模型。在平原实验区，LSSVM-Shepard模型和二次曲面-Shepard模型均能取得较好的拟合效果，但在高原山区实验区，二次曲面-Shepard模型适用性受限，而LSSVM-Shepard模型仍能取得较好的拟合效果。

3 结语

本文提出LSSVM-Shepard组合区域似大地水准面拟合方法，并结合平原地区和高原山区两个工程实例进行实验，得到以下结论：

1) 无论是在平原地区还是高原山区，LSSVM-Shepard模型的拟合效果均优于二次曲面法、LSSVM、Shepard插值等3种单一模型，是一种可行的似大地水准面拟合方法。

2) 二次曲面-Shepard模型在平原实验区进行高程转换时，能够取得较好的拟合效果，但在高原山区实验中，转换度低于Shepard插值模型，适用性受限。LSSVM-Shepard模型以LSSVM代替二次曲面模型，能够有效处理转换过程中的非线性问题，在两个实验中均能取得较好的高程转换效果，具有较强的适用性。