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  大地测量与地球动力学  2022, Vol. 42 Issue (7): 740-744  DOI: 10.14075/j.jgg.2022.07.014

引用本文  

许政, 万胜来, 郭强, 等. 抗差Helmert估计在BDS/GPS组合定位权比分配中的应用[J]. 大地测量与地球动力学, 2022, 42(7): 740-744.
XU Zheng, WAN Shenglai, GUO Qiang, et al. Application of Robust Helmert Estimation in Weight Ratio Allocation of BDS/GPS Integrated Positioning[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2022, 42(7): 740-744.

项目来源

装备技术基础科研项目(202ZX31006)。

Foundation support

Fundamental Equipment Research Project, No.202ZX31006.

第一作者简介

许政,工程师,主要从事GNSS精密定位及数据处理研究,E-mail: xuz057@avic.com

About the first author

Xu Zheng, engineer, majorsin GNSS precise positioning and data processing, E-mail: xuz057@avic.com.

文章历史

收稿日期:2021-09-09
抗差Helmert估计在BDS/GPS组合定位权比分配中的应用
许政1     万胜来1     郭强1     王闯1     冯思宇1     
1. 中航机载系统共性技术有限公司, 江苏省扬州市沙湾中路9号, 225000
摘要:BDS与GPS双系统组合定位时,每个子系统需要进行定权,不同系统间的差异性会导致定权不准确。为提升组合定位精度,本文提出一种基于抗差Helmert方差分量估计的组合定位算法(RH算法)。首先,建立Helmert方差分量后验估计模型,区分多类型、不同精度的观测值,实现系统间权值的动态分配;然后,构建基于IGGⅢ方案的改进等价权函数,调整含粗差观测量的权值,解决观测值易存在粗差导致Helmert模型收敛失真的问题;最后,通过测试实际采集的双系统观测数据,验证算法的有效性和准确性。
关键词BDS/GPS组合定位Helmert方差分量估计IGGⅢ方案抗差验后估计定权

随着全球导航卫星系统(global navigation satellite system,GNSS)的快速发展,多系统组合定位成为必然趋势。相比于其他卫星导航系统,BDS与GPS有更好的兼容性[1-3],且双系统组合可显著增加可见卫星数量,改善卫星的几何分布,从而提高定位精度及可靠性。

但由于实际解算中观测值来自于2个不同的系统,其观测噪声与随机误差各不相同,传统等权模型将双系统观测值笼统地归为一类,反而会降低组合定位的精度[4]。因此,获取能表征观测值随机噪声水平的方差-协方差阵[5],构建精确的随机模型,进而准确地给出两类观测值的权比,实现组合定位精度的提升,是近年来国内外学者广泛关注的热点问题[6-9]

为解决这一问题,本文提出一种利用抗差Helmert方差分量估计定权的BDS/GPS组合定位算法。首先,构建Helmert方差分量估计组合定位模型;然后,引入基于IGGⅢ方案的等价权函数,改进权函数调节因子,解决由粗差导致的方差分量估计模型失真的问题;最后,通过BDS/GPS双系统实测数据对所提算法的有效性和优越性进行仿真验证。

1 抗差Helmert方差分量估计算法设计 1.1 Helmert方差分量估计

假定BDS和GPS观测阵 LBLG相互独立,由参数平差模型构成的误差方程为:

$ \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{V}_{\mathrm{B}} \\ \boldsymbol{V}_{\mathrm{G}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{B}_{\mathrm{B}} \\ \boldsymbol{B}_{\mathrm{G}} \end{array}\right] \hat{\boldsymbol{X}}-\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{L}_{\mathrm{B}} \\ \boldsymbol{L}_{\mathrm{G}} \end{array}\right]} \\ \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}} & \\ & \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}} \end{array}\right] \end{array}\right. $ (1)

式中,VBVGBBBGPBPG分别为BDS和GPS的残差阵、系数阵和权阵,$ \hat{\boldsymbol{X}}$为三维坐标和钟差的估计量。

根据最小二乘法代价函数最小理论,误差方程为:

$ \left(\boldsymbol{B}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{B}}+\boldsymbol{B}_{\mathrm{G}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{G}}\right) \hat{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{B}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}} \boldsymbol{L}_{\mathrm{B}}+\boldsymbol{B}_{\mathrm{G}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}} \boldsymbol{L}_{\mathrm{G}} $ (2)

根据二次型期望公式推导出严密Helmert方差分量估计为:

$ \boldsymbol{S} \cdot \hat{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{W} $ (3)

式中,

$ \boldsymbol{S}=\left[\begin{array}{cc} n_{\mathrm{B}}-2 \operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{B}}\right)+\operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{B}}\right)^{2} & \operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{B}} N^{-1} N_{\mathrm{G}}\right) \\ \operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{G}} N^{-1} N_{\mathrm{B}}\right) & n_{\mathrm{G}}-2 \operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{G}}\right)+\operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{G}}\right)^{2} \end{array}\right], \\ \hat{\boldsymbol{\theta}}=\left[\begin{array}{l} \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2} \\ \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2} \end{array}\right], \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{V}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}} \boldsymbol{V}_{\mathrm{B}} \\ \boldsymbol{V}_{\mathrm{G}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}} \boldsymbol{V}_{\mathrm{G}} \end{array}\right] $

其中,nBnG分别为两系统的观测值个数,$ \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2}$$ \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2}$分别为两系统的单位权方差估值,观测值设计矩阵$ \mathit{\boldsymbol{N}} = {\mathit{\boldsymbol{N}}_{\rm{B}}} + {\mathit{\boldsymbol{N}}_{\rm{G}}} = \mathit{\boldsymbol{B}}_{\rm{B}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{B}}}{\mathit{\boldsymbol{B}}_{\rm{B}}} + \mathit{\boldsymbol{B}}_{\rm{G}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\rm{G}}}{\mathit{\boldsymbol{B}}_{\rm{G}}}$

解得$ \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2}$$ \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2}$后,重新调整两系统观测值的权阵:

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}}^{k+1}=\boldsymbol{P}_{\mathrm{B}}^{k} / \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2} \\ \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}}^{k+1}=\boldsymbol{P}_{\mathrm{G}}^{k} / \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2} \end{array}\right. $ (4)

如此反复进行平差-方差分量估计,定权后再次平差,直到$ \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2} \approx \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2}$,即完成Helmert方差分量估计。

1.2 基于IGGⅢ方案的抗差估计权函数设计

Helmert方差分量估计不具备抗差性,当系统观测值中存在粗差时,粗差产生的影响可能会转移到随机模型中,造成模型失真。引入抗差估计权函数,生成等价权矩阵对可疑数据进行降权处理,削减粗差的影响,提升系统的抗干扰能力和可靠性。

按照抗差估计理论,建立目标函数:

$ J=\min \left(\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m}\left(P_{j}\right)_{i} \rho\left(\left(V_{j}\right)_{i}\right)\right) $ (5)

式中,i表示观测类型,j表示某类观测值数量,ρ(·)为连续凸函数,(Pj)i为权函数,(Vj)i为残差函数。

基于等价权原理,可得抗差估计:

$ \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \boldsymbol{a}_{i j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_{i j} \psi\left(\nu_{i}, \nu_{j}\right)=0 $ (6)

式中,aij为系数矩阵的行元素,ψ(·)为非线性函数,等价权矩阵$ \overline{\boldsymbol{p}}_{i j}=\boldsymbol{p}_{i j} \frac{\psi\left(\nu_{i}, \nu_{j}\right)}{\nu_{i}}=\boldsymbol{p}_{i j} \gamma_{j}, \gamma_{j}$为自适应降权因子。

通过选取合适的权函数,确定等价权矩阵,可实现抗差估计,因此权函数的选取至关重要。本文选用基于IGGⅢ方案的抗差估计权函数:

$ \gamma_{j}=\left\{\begin{array}{l} 1, \left|\nu_{j} / \sigma\right|<k_{1} \\ \frac{k_{1}}{\left|\nu_{j} / \sigma\right|}\left[\frac{k_{2}-\left|\nu_{j} / \sigma\right|}{k_{2}-k_{1}}\right]^{2}, k_{1} \leqslant\left|\nu_{j} / \sigma\right| \leqslant k_{2} \\ 0, \left|\nu_{j} / \sigma\right|>k_{2} \end{array}\right. $ (7)

式中,常数k1一般取值为1.5~2.0,常数k2一般取值为3.0~8.5,σν的中误差,σ=median(|νj|)/0.674 5。

IGGⅢ方案拥有正常段、可疑降权段及淘汰段,具有较强的抗差性,然而当观测值落入淘汰段时选取的权因子会导致矩阵秩亏。因此修改淘汰段的常数因子,并引入双调节因子ηδ,其中因子η可削弱系数阵空间扰动的整体影响;因子δ可降低单位权中误差,增强抗差能力。用$ \frac{1}{\eta_{j}} \cdot \psi\left(\frac{\nu_{j} \delta_{j}}{\sigma}\right)$替换$ \psi\left(\frac{\nu_{j}}{\sigma}\right)$,代入式(6),对于某类观测有:

$ \sum\limits_{j=1}^{m} \boldsymbol{a}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_{j} \psi\left(\frac{\nu_{j} \delta_{j}}{\sigma}\right) / \eta_{j}=0 $ (8)

式中,取$ \eta_{j}=\delta_{j}=\sqrt{r_{j}}=\sqrt{(n-m) / n}$n为观测值个数,m为参数个数。有改进后的权函数为:

$ \gamma_{j}=\left\{\begin{array}{l} 1, \left|\nu_{j} / \sigma\right|<k_{1} / \sqrt{r_{j}} \\ \frac{k_{1}}{\left|\nu_{j} \sqrt{r_{j}} / \sigma\right|}\left[\frac{k_{2}-\left|\nu_{j} \sqrt{r_{j}} / \sigma\right|}{k_{2}-k_{1}}\right]^{2}, \\ k_{1} / \sqrt{r_{j}} \leqslant\left|\nu_{j} / \sigma\right| \leqslant k_{2} / \sqrt{r_{j}} \\ 10^{-10}, \left|\nu_{j} / \sigma\right| \geqslant k_{2} / \sqrt{r_{j}} \end{array}\right. $ (9)
1.3 抗差Helmert方差分量估计算法流程

1) 将BDS与GPS两系统之间的初始权比设为PB=PG=1,同一系统内部根据高度角模型进行定权:

$ P_{i j}=\sin \left(E_{j}\right) $

式中,Pij为权值,Ej为第j颗卫星的高度角。

2) 按式(1)进行预平差计算,获取BDS与GPS系统的观测值残差信息 VBVG

3) 通过Helmert方差分量估计式(3),求出两系统的单位权方差估值$ \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2}$$ \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2}$

4) 按式(4)重新调整两系统间的权阵;

5) 根据抗差估计理论,按式(9)计算自适应抗差因子,降低含粗差观测值的权重;

6) 若$ \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2}$$ \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2}$的差值满足阈值,则停止迭代,将改正后的权阵代入组合单点定位的解算中;否则,重复步骤2)~5),直至$ \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2}$$ \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2}$的差值满足阈值条件。

2 实验验证

使用接收机实际采集到的BDS/GPS组合系统观测数据与导航电文,对本文所提抗差组合定位算法(robust Helmert算法,简称RH算法)的性能进行仿真验证。接收机的真实空间直角坐标为[-2 364 332.717 2 m, 4 870 286.103 8 m, -3 360 810.227 0 m],采样周期为30 s,采样时间为24 h,共计2 880个历元,抗差估计权函数参数设为k1=1.5、k2=3.0。

为验证本文算法的正确性和有效性,选用基于高度角模型的最小二乘least squares组合定位算法(LS算法)和经典Helmert方差分量估计组合定位算法进行对比实验。分别利用3种算法对实际采集到的BDS/GPS组合系统观测数据进行定位解算,通过表征输出定位结果聚合度的极差和均方根误差(RMS)指标来评价各算法的定位性能。

无粗差情况下的仿真结果如图 1表 1所示,可以看出,Helmert算法和RH算法在观测历元内的误差曲线稳定,未出现大幅波动,而LS算法的误差曲线波动略大,甚至在个别时刻出现了较大跳跃。

图 1 未添加粗差的定位误差序列 Fig. 1 Positioning error diagram without gross error injection

表 1 未添加粗差的定位结果对比 Tab. 1 Comparison of positioning result without gross error injection

表 1定位结果可以看出,由Helmert算法和RH算法得到的ENU方向上的定位极差和RMS结果均优于LS算法。

Helmert算法和RH算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值分别为3.86和3.41,双系统间重新定权后,性能优于仅通过高度角定权的LS算法。

为验证本文RH算法的组合定位性能,人为给GPS系统内一颗随机卫星的伪距观测值添加75 m的粗差,结果如图 2表 2所示。可以看出,LS算法受粗差影响,定位误差波动较大,与表 1相比定位性能急剧下降;Helmert算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为0.02,虽通过实时调整GPS系统权值尽可能降低了粗差带来的影响,但从ENU方向上部分历元的误差曲线出现阶跃可以看出,影响未被完全消除,定位性能有所下降;RH算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为4.45,与未添加粗差时的权比接近,误差曲线稳定,未出现大幅波动。表 2中的定位性能指标数据与表 1相似,可见具有抗差模型的RH算法不仅可合理地定权,同时能够较好地抑制粗差带来的影响。

图 2 单系统添加粗差的定位误差序列 Fig. 2 Single system positioning error diagram with gross error injection

表 2 单系统添加粗差的定位结果对比 Tab. 2 Comparison of single system positioning result with gross error injection

为进一步验证RH算法的组合定位性能,在每一历元分别给GPS和BDS系统内一颗随机卫星的伪距观测值添加75 m的粗差,结果如图 3表 3所示。可以看出,因双系统内增加了一颗含伪距粗差的卫星,LS算法在ENU方向上的极差和RMS受到影响,误差进一步累加,证明仅通过高度角定权的LS算法完全无法抵御粗差;Helmert算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为6.25,双系统均出现含粗差的卫星,导致算法无法通过实时调整权值降低粗差带来的影响,且从ENU方向上的误差曲线及定位性能指标数据可以看出,整体性能降幅较大,部分历元定位结果偏差甚至大于高度角定权的LS算法,可见粗差已经导致Helmert算法模型收敛失真;RH算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为5.24,通过抗差模型消减含粗差卫星的权值,降低粗差的影响,使得系统间权比与前2次仿真结果接近且较为稳定。表 3中定位性能指标数据与表 2相比略有下降,从图 3可以看出,ENU方向上的误差曲线在个别历元出现波动,对数据进行分析发现,添加粗差后部分正常卫星伪距观测值被“污染”,残差增幅达到抗差模型的临界状态,使得抗差效果有所降低。总体来说,RH算法能够较好地抑制粗差带来的影响,性能符合预期。

图 3 双系统添加粗差的定位误差序列 Fig. 3 Dual system positioning error diagram with gross error injection

表 3 双系统添加粗差的定位结果对比 Tab. 3 Comparison of dual system positioning result with gross error injection
3 结语

本文针对组合定位中系统间权比分配的问题,提出一种抗差Helmert方差分量估计组合定位方法,引入并优化基于IGGⅢ方案的抗差估计模型,通过自适应抗差因子动态消减可疑观测,抵御粗差,改善经典Helmert算法估计模型收敛失真的问题。通过仿真对比实验证明,当BDS与GPS两系统的伪距观测值均存在粗差时,本文算法可有效抑制组合系统粗差观测值的影响,合理确定两类观测值的权比,提高组合定位的精度与可靠性。

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Application of Robust Helmert Estimation in Weight Ratio Allocation of BDS/GPS Integrated Positioning
XU Zheng1     WAN Shenglai1     GUO Qiang1     WANG Chuang1     FENG Siyu1     
1. AVICAS Generic Technology Co Ltd, 9 Mid-Shawan Road, Yangzhou 225000, China
Abstract: For the BDS/GPS integrated positioning system, each sub-system needs proper weight allocation, which, however, can be inaccurate due to the difference between systems. To improve the accuracy of the integrated positioning, this paper proposes an integrated positioning algorithm based on the robust Helmert-variance-component estimation, namely robust Helmert(RH). Firstly, we establish the Helmert-variance-component-posteriori estimation model. We distinguish the observed values with multi-type and different accuracy to achieve dynamic allocation of sub-system weight. Then, to adjust the weight of the observed values with gross errors, we construct an improved equivalent power function based on IGGⅢ scheme. This solves the convergence distortion problem in Helmert model owing to gross observation errors. Finally, by collecting and testing the actual data observed by the dual system, we verify the effectiveness and accuracy of the algorithm.
Key words: BDS/GPS integrated positioning; Helmert variance component estimation; IGGⅢ scheme; robust posteriori estimation; weight determination