随着全球导航卫星系统(global navigation satellite system,GNSS)的快速发展,多系统组合定位成为必然趋势。相比于其他卫星导航系统,BDS与GPS有更好的兼容性[1-3],且双系统组合可显著增加可见卫星数量,改善卫星的几何分布,从而提高定位精度及可靠性。
但由于实际解算中观测值来自于2个不同的系统,其观测噪声与随机误差各不相同,传统等权模型将双系统观测值笼统地归为一类,反而会降低组合定位的精度[4]。因此,获取能表征观测值随机噪声水平的方差-协方差阵[5],构建精确的随机模型,进而准确地给出两类观测值的权比,实现组合定位精度的提升,是近年来国内外学者广泛关注的热点问题[6-9]。
为解决这一问题,本文提出一种利用抗差Helmert方差分量估计定权的BDS/GPS组合定位算法。首先,构建Helmert方差分量估计组合定位模型;然后,引入基于IGGⅢ方案的等价权函数,改进权函数调节因子,解决由粗差导致的方差分量估计模型失真的问题;最后,通过BDS/GPS双系统实测数据对所提算法的有效性和优越性进行仿真验证。
1 抗差Helmert方差分量估计算法设计 1.1 Helmert方差分量估计假定BDS和GPS观测阵 LB和LG相互独立,由参数平差模型构成的误差方程为:
$ \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{V}_{\mathrm{B}} \\ \boldsymbol{V}_{\mathrm{G}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{B}_{\mathrm{B}} \\ \boldsymbol{B}_{\mathrm{G}} \end{array}\right] \hat{\boldsymbol{X}}-\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{L}_{\mathrm{B}} \\ \boldsymbol{L}_{\mathrm{G}} \end{array}\right]} \\ \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}} & \\ & \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}} \end{array}\right] \end{array}\right. $ | (1) |
式中,VB和VG、BB和BG、PB和PG分别为BDS和GPS的残差阵、系数阵和权阵,
根据最小二乘法代价函数最小理论,误差方程为:
$ \left(\boldsymbol{B}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{B}}+\boldsymbol{B}_{\mathrm{G}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{G}}\right) \hat{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{B}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}} \boldsymbol{L}_{\mathrm{B}}+\boldsymbol{B}_{\mathrm{G}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}} \boldsymbol{L}_{\mathrm{G}} $ | (2) |
根据二次型期望公式推导出严密Helmert方差分量估计为:
$ \boldsymbol{S} \cdot \hat{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{W} $ | (3) |
式中,
$ \boldsymbol{S}=\left[\begin{array}{cc} n_{\mathrm{B}}-2 \operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{B}}\right)+\operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{B}}\right)^{2} & \operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{B}} N^{-1} N_{\mathrm{G}}\right) \\ \operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{G}} N^{-1} N_{\mathrm{B}}\right) & n_{\mathrm{G}}-2 \operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{G}}\right)+\operatorname{tr}\left(N^{-1} N_{\mathrm{G}}\right)^{2} \end{array}\right], \\ \hat{\boldsymbol{\theta}}=\left[\begin{array}{l} \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2} \\ \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2} \end{array}\right], \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{V}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}} \boldsymbol{V}_{\mathrm{B}} \\ \boldsymbol{V}_{\mathrm{G}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}} \boldsymbol{V}_{\mathrm{G}} \end{array}\right] $ |
其中,nB和nG分别为两系统的观测值个数,
解得
$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{P}_{\mathrm{B}}^{k+1}=\boldsymbol{P}_{\mathrm{B}}^{k} / \hat{\sigma}_{\mathrm{B}}^{2} \\ \boldsymbol{P}_{\mathrm{G}}^{k+1}=\boldsymbol{P}_{\mathrm{G}}^{k} / \hat{\sigma}_{\mathrm{G}}^{2} \end{array}\right. $ | (4) |
如此反复进行平差-方差分量估计,定权后再次平差,直到
Helmert方差分量估计不具备抗差性,当系统观测值中存在粗差时,粗差产生的影响可能会转移到随机模型中,造成模型失真。引入抗差估计权函数,生成等价权矩阵对可疑数据进行降权处理,削减粗差的影响,提升系统的抗干扰能力和可靠性。
按照抗差估计理论,建立目标函数:
$ J=\min \left(\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m}\left(P_{j}\right)_{i} \rho\left(\left(V_{j}\right)_{i}\right)\right) $ | (5) |
式中,i表示观测类型,j表示某类观测值数量,ρ(·)为连续凸函数,(Pj)i为权函数,(Vj)i为残差函数。
基于等价权原理,可得抗差估计:
$ \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \boldsymbol{a}_{i j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_{i j} \psi\left(\nu_{i}, \nu_{j}\right)=0 $ | (6) |
式中,aij为系数矩阵的行元素,ψ(·)为非线性函数,等价权矩阵
通过选取合适的权函数,确定等价权矩阵,可实现抗差估计,因此权函数的选取至关重要。本文选用基于IGGⅢ方案的抗差估计权函数:
$ \gamma_{j}=\left\{\begin{array}{l} 1, \left|\nu_{j} / \sigma\right|<k_{1} \\ \frac{k_{1}}{\left|\nu_{j} / \sigma\right|}\left[\frac{k_{2}-\left|\nu_{j} / \sigma\right|}{k_{2}-k_{1}}\right]^{2}, k_{1} \leqslant\left|\nu_{j} / \sigma\right| \leqslant k_{2} \\ 0, \left|\nu_{j} / \sigma\right|>k_{2} \end{array}\right. $ | (7) |
式中,常数k1一般取值为1.5~2.0,常数k2一般取值为3.0~8.5,σ为ν的中误差,σ=median(|νj|)/0.674 5。
IGGⅢ方案拥有正常段、可疑降权段及淘汰段,具有较强的抗差性,然而当观测值落入淘汰段时选取的权因子会导致矩阵秩亏。因此修改淘汰段的常数因子,并引入双调节因子η和δ,其中因子η可削弱系数阵空间扰动的整体影响;因子δ可降低单位权中误差,增强抗差能力。用
$ \sum\limits_{j=1}^{m} \boldsymbol{a}_{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}_{j} \psi\left(\frac{\nu_{j} \delta_{j}}{\sigma}\right) / \eta_{j}=0 $ | (8) |
式中,取
$ \gamma_{j}=\left\{\begin{array}{l} 1, \left|\nu_{j} / \sigma\right|<k_{1} / \sqrt{r_{j}} \\ \frac{k_{1}}{\left|\nu_{j} \sqrt{r_{j}} / \sigma\right|}\left[\frac{k_{2}-\left|\nu_{j} \sqrt{r_{j}} / \sigma\right|}{k_{2}-k_{1}}\right]^{2}, \\ k_{1} / \sqrt{r_{j}} \leqslant\left|\nu_{j} / \sigma\right| \leqslant k_{2} / \sqrt{r_{j}} \\ 10^{-10}, \left|\nu_{j} / \sigma\right| \geqslant k_{2} / \sqrt{r_{j}} \end{array}\right. $ | (9) |
1) 将BDS与GPS两系统之间的初始权比设为PB=PG=1,同一系统内部根据高度角模型进行定权:
$ P_{i j}=\sin \left(E_{j}\right) $ |
式中,Pij为权值,Ej为第j颗卫星的高度角。
2) 按式(1)进行预平差计算,获取BDS与GPS系统的观测值残差信息 VB和VG;
3) 通过Helmert方差分量估计式(3),求出两系统的单位权方差估值
4) 按式(4)重新调整两系统间的权阵;
5) 根据抗差估计理论,按式(9)计算自适应抗差因子,降低含粗差观测值的权重;
6) 若
使用接收机实际采集到的BDS/GPS组合系统观测数据与导航电文,对本文所提抗差组合定位算法(robust Helmert算法,简称RH算法)的性能进行仿真验证。接收机的真实空间直角坐标为[-2 364 332.717 2 m, 4 870 286.103 8 m, -3 360 810.227 0 m],采样周期为30 s,采样时间为24 h,共计2 880个历元,抗差估计权函数参数设为k1=1.5、k2=3.0。
为验证本文算法的正确性和有效性,选用基于高度角模型的最小二乘least squares组合定位算法(LS算法)和经典Helmert方差分量估计组合定位算法进行对比实验。分别利用3种算法对实际采集到的BDS/GPS组合系统观测数据进行定位解算,通过表征输出定位结果聚合度的极差和均方根误差(RMS)指标来评价各算法的定位性能。
无粗差情况下的仿真结果如图 1和表 1所示,可以看出,Helmert算法和RH算法在观测历元内的误差曲线稳定,未出现大幅波动,而LS算法的误差曲线波动略大,甚至在个别时刻出现了较大跳跃。
从表 1定位结果可以看出,由Helmert算法和RH算法得到的E、N、U方向上的定位极差和RMS结果均优于LS算法。
Helmert算法和RH算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值分别为3.86和3.41,双系统间重新定权后,性能优于仅通过高度角定权的LS算法。
为验证本文RH算法的组合定位性能,人为给GPS系统内一颗随机卫星的伪距观测值添加75 m的粗差,结果如图 2和表 2所示。可以看出,LS算法受粗差影响,定位误差波动较大,与表 1相比定位性能急剧下降;Helmert算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为0.02,虽通过实时调整GPS系统权值尽可能降低了粗差带来的影响,但从E、N、U方向上部分历元的误差曲线出现阶跃可以看出,影响未被完全消除,定位性能有所下降;RH算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为4.45,与未添加粗差时的权比接近,误差曲线稳定,未出现大幅波动。表 2中的定位性能指标数据与表 1相似,可见具有抗差模型的RH算法不仅可合理地定权,同时能够较好地抑制粗差带来的影响。
为进一步验证RH算法的组合定位性能,在每一历元分别给GPS和BDS系统内一颗随机卫星的伪距观测值添加75 m的粗差,结果如图 3和表 3所示。可以看出,因双系统内增加了一颗含伪距粗差的卫星,LS算法在E、N、U方向上的极差和RMS受到影响,误差进一步累加,证明仅通过高度角定权的LS算法完全无法抵御粗差;Helmert算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为6.25,双系统均出现含粗差的卫星,导致算法无法通过实时调整权值降低粗差带来的影响,且从E、N、U方向上的误差曲线及定位性能指标数据可以看出,整体性能降幅较大,部分历元定位结果偏差甚至大于高度角定权的LS算法,可见粗差已经导致Helmert算法模型收敛失真;RH算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为5.24,通过抗差模型消减含粗差卫星的权值,降低粗差的影响,使得系统间权比与前2次仿真结果接近且较为稳定。表 3中定位性能指标数据与表 2相比略有下降,从图 3可以看出,E、N、U方向上的误差曲线在个别历元出现波动,对数据进行分析发现,添加粗差后部分正常卫星伪距观测值被“污染”,残差增幅达到抗差模型的临界状态,使得抗差效果有所降低。总体来说,RH算法能够较好地抑制粗差带来的影响,性能符合预期。
本文针对组合定位中系统间权比分配的问题,提出一种抗差Helmert方差分量估计组合定位方法,引入并优化基于IGGⅢ方案的抗差估计模型,通过自适应抗差因子动态消减可疑观测,抵御粗差,改善经典Helmert算法估计模型收敛失真的问题。通过仿真对比实验证明,当BDS与GPS两系统的伪距观测值均存在粗差时,本文算法可有效抑制组合系统粗差观测值的影响,合理确定两类观测值的权比,提高组合定位的精度与可靠性。
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