近年来随着GPS和GLONASS现代化的逐步推进以及Galileo和BDS的逐步完善，提供高精度、高可靠性的实时位置服务已成为全球导航卫星系统(GNSS) 精密定位的发展趋势和研究热点^[1]。精密单点定位(PPP) 作为一种高精度的绝对定位手段已在多个领域得到广泛应用，收敛后可在全球任意范围内提供静态cm级、动态dm级的定位精度^[2]。然而，由于卫星几何构型变化缓慢以及受实际复杂环境引起的噪声影响，PPP通常需要20~30 min才能收敛到cm量级^[3]。

PPP模糊度的正确固定能够显著缩短PPP收敛时间。按照PPP窄巷模糊度的恢复方式可将PPP模糊度固定方法分为两类，一类为估计窄巷硬件延迟小数部分(fractional cycle bias, FCB) 方法，如Ge等^[4]提出将相位未校准硬件延迟偏差(UPD) 与实数模糊度进行分离，服务端通过星间单差方式消除接收机端UPD并发送给用户端，恢复模糊度的整周特性；Li等^[5]提出以某一卫星或地面某一测站UPD作为基准，用户端采用非差法整网平差，同时解算出卫星端和接收机端UPD。另一类称为整数恢复钟差(integer-recovery clock, IRC) 方法，如Laurichesse等^[6]直接将卫星钟差与窄巷硬件延迟进行合并解算，服务端将解算的整数相位钟产品进行播发，用户端无需进行窄项UPD改正即可固定模糊度；Geng等^[7]已证明FCB方法与IRC方法在数学上具有等价性，FCB方法在服务端估计时较为方便，IRC方法在用户端固定时较为便捷；Li等^[2]针对部分情况下固定模糊度全集较为困难，提出部分模糊度固定策略，根据一定的准则挑选部分模糊度进行固定；Wang等^[8]为解决服务端与用户端产品不统一的问题，证明3种FCB产品具有等价性，并进行实验验证；Hu等^[9]对服务端多系统FCB产品质量进行分析，并在用户端采用星间单差方式进行PPP模糊度固定。

然而，目前研究主要是针对服务端FCB产品的解算及质量评估，对于用户端PPP模糊度固定的研究较少。当前用户端采用星间单差方式消除接收机端UPD的影响，基准星选取不当会对模糊度固定造成极大影响，从而使PPP模糊度无法固定。因此，本文提出一种顾及接收机UPD的PPP分步模糊度固定方法，用户端基于非差法和服务端FCB产品估计接收机端UPD，并依据PPP窄巷模糊度协方差大小进行分步模糊度固定。

1 数学模型 1.1 传统星间单差方法

对伪距和载波观测量消电离层组合，消除电离层延迟一阶项影响：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {P_{{\rm{IF}}, k}^i = {\mathit{\boldsymbol{\mu }}}_k^i{\mathit{\boldsymbol{r}}} + c\left( {\delta {{\hat t}_k} + {d_{{\rm{IF}}, k}}} \right) - }\\ {\quad c\left( {\delta {t^i} + d_{{\rm{IF}}}^i} \right) + M_k^i \cdot {d_{{\rm{trop}}, k}}}\\ {L_{{\rm{IF}}, k}^i = {\mathit{\boldsymbol{\mu }}}_k^i{\mathit{\boldsymbol{r}}} + c\left( {\delta {{\hat t}_k} + {d_{{\rm{IF}}, k}}} \right) - }\\ {\quad c\left( {\delta {t^i} + d_{{\rm{IF}}}^i} \right) + M_k^i \cdot {d_{{\rm{trop }}, k}} + {\lambda _{{\rm{IF}}}}B_{{\rm{IF}}, k}^i} \end{array}} \right.$

(1)

式中，P和L分别表示GNSS伪距和载波观测量，上标i、下标k分别表示卫星编号和测站编号，下标IF表示消电离层组合。μ_kⁱ=(αⁱ, βⁱ, γⁱ)表示站星间方向向量，r表示坐标改正数，c表示光速。$ {\widehat {\delta t}_k}$和δtⁱ分别表示接收机钟差和卫星钟差，d_{trop, k}和M_kⁱ分别表示对流层湿延迟及其映射函数，可采用国际GNSS服务(international GNSS service, IGS) 发布的精密钟差产品消除卫星钟差影响，并将载波中硬件延迟合并入模糊度。λ_IFB_{IF, k}ⁱ=b_{IF, k}-d_{IF, k}+d_IFⁱ-b_IFⁱ+λ_IFN_{IF, k}ⁱ，其中d_IFⁱ和d_{IF, k}分别表示卫星端和接收机端消电离层伪距硬件延迟，b_IFⁱ和b_{IF, k}分别表示卫星端和接收机端消电离层载波硬件延迟，N_{IF, k}ⁱ表示消电离层组合模糊度。无论硬件延迟属于伪距还是载波，均将其分为卫星端UPD和接收机端UPD。

由于N_{IF, k}ⁱ不具备整数特性，将其分为宽巷N_{WL, k}ⁱ和窄巷N_{NL, k}ⁱ分别进行固定。为消除接收机端UPD的影响，通常选取高度角最高的卫星作为基准星，进行星间单差，因此固定的模糊度为星间单差的宽巷模糊度和窄巷模糊度。设基准站为i，则星间单差的消电离层模糊度可表示为：

$B_{{\rm{IF}}, k}^{i, j} = \frac{{{f_1}}}{{{f_1} + {f_2}}}B_{{\rm{NL}}, k}^{i, j} + \frac{{{\rm{ }}{f_1}{f_2}}}{{f_1^2 - f_2^2}}B_{{\rm{WL}}, k}^{i, j}$

(2)

式中，B_{WL, k}^{i, j}和B_{NL, k}^{i, j}分别表示包含硬件延迟的宽巷和窄巷模糊度，宽巷模糊度可按照MW组合历元间平滑获得：

$\begin{array}{c} B_{{\rm{WL}}, k}^i = \left[ {{\rm{ }}\left( {\frac{{{f_1}}}{{{f_1} - {f_2}}}L_{1, k}^i - {\rm{ }}\frac{{{f_2}}}{{{f_1} - {f_2}}}L_{1, k}^i} \right) - } \right.\\ \left. {\left( {\frac{{{f_1}}}{{{f_1} + {f_2}}}P_{1, k}^i + \frac{{{f_2}}}{{{f_1} + {f_2}}}P_{2, k}^i} \right)} \right]/{\lambda _{\rm{W}}} = \\ N_{{\rm{WL}}, k}^i + {f_{{\rm{WL}}, k}} - f_{{\rm{WL}}}^i \end{array}$

(3)

式中，[*]表示历元间平滑，f_{WL, k}和f_WLⁱ分别表示接收机端和卫星端硬件延迟，将得到的宽巷模糊度进行星间单差即可消除接收机端硬件延迟，即B_{WL, k}^{i, j}=N_{WL, k}^{i, j}-f_WL^{i, j}。由于宽巷模糊度波长λ_W为0.86 m，经星间单差FCB改正后可直接取整固定^[10]。将固定后的星间单差宽巷模糊度代入消电离层模糊度中，即可得到星间单差窄巷模糊度：

$B_{{\rm{NL}}, k}^{i, j} = \frac{{{\rm{ }}{f_1} + {f_2}}}{{{f_1}}}B_{{\rm{IF}}, k}^{i, j} - \frac{{{f_1}}}{{{f_1} - {f_2}}}N_{{\rm{WL}}, k}^{i, j}$

(4)

由于窄巷模糊度波长之间存在相关性且其波长较短，通常采用LAMBDA^[11]算法进行模糊度搜索固定。固定后的单差模糊度作为约束条件代入滤波器，可得到PPP固定解。

1.2 顾及接收机UPD的分步模糊度固定方法

考虑到接收机端UPD，将UPD表示成虚拟观测方程：

$l_{i, r}^j = B_{i, r}^j - N_{i, r}^j = {f_{i, r}} - f_i^j$

(5)

式中，l_{i, r}^j为虚拟观测量，f_{i, r}和f_i^j分别为接收机端和卫星端UPD。可以看出，PPP模糊度固定的关键在于UPD与整周模糊度的准确分离。当已知卫星端UPD，可对实数模糊度B_{i, r}^j进行改正，并将其就近取整，以其相差的小数部分构造虚拟观测量。

对于用户端，利用各卫星端UPD对观测卫星的模糊度进行改正，理论上改正后的模糊度仅剩接收机端UPD，具有相近的小数部分。需要注意的是，服务端UPD产品为星间单差UPD，因此改正后的模糊度除接收机端UPD外还包括参考星UPD。将这些接收机端UPD的近似值采用与整数无关的三角函数进行计算，得到接收机端UPD的估计值：

${f_{i, r}} = \frac{{{\rm{arc}}\left( {\frac{{\sum\limits_{{\rm{ }}j}^m {\sin \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {B_{i, r}^j - f_i^j} \right)} \right)} }}{{\sum\limits_{{\rm{ }}i}^m {\cos \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {B_{i, r}^j - f_i^j} \right)} \right)} }}} \right)}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}$

(6)

将得到的接收机端UPD代入PPP模糊度浮点解中，扣除卫星端UPD即可得到整周模糊度估计值。由于估计的接收机端UPD包括参考星UPD，同时服务端UPD为星间单差UPD，因此PPP模糊度浮点解经卫星端UPD产品和所估计的接收机端UPD改正后，可得到整周模糊度估计值。

同理，由于消电离层模糊度不具备整数特性，将其分为宽巷、窄巷分别进行固定。非差宽巷模糊度波长较长，可直接取整固定。

$\begin{array}{c} {P_0} = 1 - \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left[ {{\rm{erfc}}\left( {\frac{{i - \left| {B - N} \right|}}{{\sqrt 2 \sigma }}} \right)} \right. - } \\ {\rm{}}\left. {{\rm{erfc}}\left( {\frac{{i - \left| {B - N} \right|}}{{\sqrt 2 \sigma }}} \right)} \right], {\rm{erf}}c\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} }}\int_x^\infty {{{\rm{e}}^{ - {t^2}}}{\rm{d}}t} \end{array}$

(7)

式中，B为宽巷模糊度浮点解，N为其取整结果，σ为宽巷模糊度中误差。当取整成功率大于0.999时，认为其正确固定。由固定的宽巷模糊度和消电离层模糊度可得到窄巷模糊度浮点解：

$B_{{\rm{NL}}, k}^i = \frac{{{f_1} + {f_2}}}{c}L_{{\rm{IF}}, k}^i - \frac{{{f_2}}}{{{f_1} - {f_2}}}N_{{\rm{WL}}, k}^i$

(8)

同理，窄巷模糊度浮点解经卫星端和接收机端UPD改正后，由于其波长较短且模糊度之间具有相关性，可采用分步模糊度固定方法：

1) 对非差窄巷模糊度依据其协方差大小σ_N1²≤σ_N2²≤…≤σ_Ni²≤…≤σ_Nm²进行排序。

2) 采用LAMBDA^[11]算法对非差窄巷模糊度进行降相关并搜索，若通过Ratio值检验则认为PPP模糊度固定成功，否则进入步骤3)。

3) 对非差窄巷模糊度进行降维处理，即删去协方差最大的模糊度，对剩余模糊度子集进行固定，若通过Ratio值检验则输出PPP固定解。否则重复步骤2)、3)，直至PPP模糊度成功固定，或者窄巷模糊度维数小于4按照PPP浮点解输出。

2 实验与分析

选取全球225个MGEX(multi-GNSS experiment) 测站作为服务端进行UPD产品的生成与发布，观测日期为2019年年积日81。另选取未参与服务端解算的14个MGEX测站作为用户端，以验证方法的有效性。测站真值坐标选取SINEX(solution independent exchange format)周解。表 1为服务端UPD解算策略，采用消电离层组合消去电离层延迟一阶项影响，数据采样率为30 s，卫星截止高度角设为10°。卫星轨道和钟差均采用德国地学研究中心(German research centre for geosciences, GFZ) 发布的精密产品进行改正，对流层湿延迟采用随机游走模型进行估计，接收机钟差当作白噪声进行估计。

服务端采用非差法进行UPD估计，由于卫星宽巷UPD较为稳定，一天估计一组，而卫星窄巷UPD波动较大，通常15 min估计一组。将生成的UPD产品播发给225个MGEX测站以检验UPD产品的精度。经UPD改正后的PPP宽巷和窄巷模糊度残差分布如图 1所示，从图中可以看出，97.4%的宽巷残差和93.6%的窄巷残差分布在±0.25周之内，表明服务端生成的UPD产品具有较好的精度，可以播发给用户端使用。

对于全球用户端14个MGEX测站，分别采用PPP浮点解(PPP-Float)、常规PPP星间单差法固定模糊度(PPPAR-SD)和顾及接收机UPD的分步模糊度固定方法(PPPAR-UD)进行求解。图 2为静态和仿动态条件下CEDU测站3种方法的解算结果，从图中可以看出，PPP模糊度的正确固定能够显著缩短PPP初始化时间，较之传统方法，新方法效果更加显著。

图 3为静态和仿动态条件下用户端14个MGEX测站采用3种方法在30 min的定位精度，从图中可以看出，静态情况下，PPP浮点解平均精度为7.8 cm，传统星间单差方法为2.5 cm，本文所提方法为1.8 cm。与PPP浮点解相比，静态情况下传统方法和新方法定位精度分别提升68.3%和76.4%。仿动态情况下，PPP浮点解平均精度为14.4 cm，传统星间单差方法为4.9 cm，本文所提方法为2.2 cm。与PPP浮点解相比，仿动态情况下传统方法和新方法定位精度分别提升65.7%和84.7%。从上述分析可以看出，与传统方法相比，无论静态还是仿动态情况下，本文方法都能够显著提高PPP短时间内的定位精度。

为分析用户端14个MGEX测站的收敛时间，收敛条件为N、E、U方向的定位偏差均小于10 cm且其后5 min均满足该条件^[12]。图 4为静态和仿动态情况下用户端14个MGEX测站采用3种方法的收敛时间，从图中可以看出，静态情况下，PPP浮点解平均精度为22.3 min，传统星间单差方法为9.8 min，本文所提方法为6.7 min。与PPP浮点解相比，静态情况下传统方法和新方法收敛时间分别缩短56.3%和69.9%。仿动态情况下，PPP浮点解平均精度为41.0 min，传统星间单差方法为15.7 min，本文所提方法为11.9 min。与PPP浮点解相比，仿动态情况下传统方法和新方法收敛时间分别缩短61.8%和71.1%。表 2为用户端14个MGEX测站的定位精度及收敛时间，从表中可以看出，与传统方法相比，本文所提方法无论在静态还是仿动态情况下均能显著提高PPP短时间内的定位精度和缩短PPP收敛时间。

3 结语

针对用户端基准星选取不当对PPP模糊度固定造成干扰，使模糊度固定错误或无法固定的问题，本文提出顾及接收机UPD的PPP分步模糊度固定方法。基于非差法和服务端FCB产品，采用与整数无关的三角函数得到接收机端UPD估计值，依据非差窄巷模糊度协方差大小进行分步模糊度固定。选取全球225个MGEX测站作为服务端进行UPD产品的生成与发布，未参与服务端解算的14个MGEX测站作为用户端进行方法验证。实验结果表明，与PPP浮点解相比，静态情况下传统方法和新方法定位精度分别提升68.3%和76.4%；收敛时间分别缩短56.3%和69.9%。仿动态情况下传统方法和新方法定位精度分别提升65.7%和84.7%；收敛时间分别缩短61.8%和71.1%。与传统方法相比，本文所提方法无论在静态还是仿动态情况下均能显著提升PPP定位精度和缩短收敛时间。