大规模的地下矿产开采活动易引发地面塌陷、滑坡、泥石流等地质灾害，破坏地质结构，严重威胁矿区周边居民的生命和财产安全^[1]，因此对矿区地表进行长期的有效监测和精准预测尤为重要^[2]。目前，已有学者对地表沉降预测进行研究，并取得一定的进展^[3-4]。传统的灰色类预测模型虽然使用广泛，但适用性较差；而ARMA、ARIMA等经典模型的预测精度不稳定，需滚动预测才能保持预测精度；神经网络预测模型虽有较高的预测精度，但存在预测过程不稳定、参数设置复杂、自适应能力较差等问题。针对上述问题，本文提出将Prophet模型引入地表沉降预测研究。Prophet模型是一种自适应分解预测、拟合插值的新模型，对原始数据有较好的自适应性，使用灵活且无需对缺失项进行插值，也无需任何先验条件，拟合过程速度较快，有良好的预测精度^[5]。本文在深入研究Prophet模型原理后，引入经验小波变换(EWT)方法，基于EWT和Prophet模型构建一种分解-预测的自适应预测新方法，以达到提升预测精度的目的^[6]。

1 研究区概况及数据来源

本文以德兴矿区为研究对象，研究区位于江西省上饶市德兴境内，属于江南丘陵地区，地势东南部偏高、西北部偏低，地貌整体起伏较大。实验数据选取覆盖德兴矿区的30景C波段升轨Sentinel-1A影像数据，时间跨度为2018-12-29~2019-12-24，时间间隔为12 d，具体参数见表 1。采用由美国航空航天局(NASA)提供的30 m分辨率SRTM1数据作为外部参考DEM，以消除地形误差对实验的影响。

2 SBAS沉降监测及组合预测模型建立 2.1 SBAS-InSAR技术原理

SBAS-InSAR是以传统D-InSAR技术为基础，用来获取工作区地表形变时间序列的技术。该技术选取N+1幅SAR影像，通过设置合适的时间基线和空间基线，生成N个小基线集差分干涉对，去除地形相位后生成差分干涉图并进行相位解缠，将常规D-InSAR监测的观测结果用作单个观测值，采用奇异值分解(SVD)方法将每组小基线数据集进行连接，以解决在时域上采样过于稀疏的问题。同时结合稳定散射体的干涉相位信息，以获取更高的空间分辨率，最后根据最小二乘准则计算高精度的沉降形变时间序列。

2.2 Prophet模型原理

Prophet预测模型^[7]是一种高效分析时序信号的新模型，可以处理时序信号分析中产生的丢失值、异常值，对不同跨度样本的时序信号进行长短期预测，具备较好的预测精度、良好的自适应能力和一定的抗差性和鲁棒性。Prophet模型已经在GNSS高程信号预测^[5]、电力需求预测^[8]、空气指数预测^[9]和TEC电离层预测^[10]等领域得到广泛应用，并取得较好的预测效果，但几乎没有涉及地表沉降预测领域。Prophet模型的详细原理见文献[7]。

Prophet采用广义加法模型来进行拟合平滑和函数预测，将地表沉降时序数据自适应分解为：

$y\left( t \right) = g\left( t \right) + s\left( t \right) + {\varepsilon _t} $

(1)

式中，y(t)为原始地表沉降时序数据；g(t)为沉降时序数据趋势项，表示时间序列非线性增长(非周期项)部分的变化函数；s(t)为高程方向的震荡周期项；ε_t为服从正态分布的残差项，可表示未预测到的随机噪声或趋势。SBAS-InSAR监测数据复杂，趋势项采用逻辑回归函数，表示为：

$g\left( t \right) = \frac{c}{{1 + {{\rm{e}}^{[ - k(t - m)]}}}} $

(2)

式中，k为地表沉降趋势增长率；m为位移量参数；c为趋势上限值，随着时间t的增加，g(t)趋于c。在地壳板块运动中，s(t)主要包含季节性的周期震荡和微小的趋势变化，其拟合函数通过沉降时序数据的傅里叶级数进行构造：

$s\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{a_n}\cos\left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}nt}}{T}} \right) + {b_n}\sin \left( {\frac{{2\pi nt}}{T}} \right)} \right)} $

(3)

2.3 EWT方法原理

经验小波变换(EWT)是一种计算量小且具备较强鲁棒性的新变换方法，其核心思想是依据原始信号中的频谱特征，进行自适应分割后构建基于傅里叶变换的正交小波滤波器组，提取出具有紧支撑傅里叶频谱的不同AM-FM(调幅-调频)成分。具体过程为：

1) 对信号进行傅里叶变换，求得支撑区间(0，π)的傅里叶频谱F(ω)；

2) 对于自适应分割傅里叶频谱F(ω)，依据香农定理将频谱分解为N个频带与N-1个分界频率，图 1为傅里叶频谱分割示意图；

3) 根据各分界频率构建经验小波φ(ω)，确定经验尺度函数和经验小波函数；

4) 对F(ω)*φ(ω)反傅里叶变换，得到不同的模态分量。

首先假设将傅里叶支撑区间(0，π)分割成N个频带，则有N-1个分界频率，ω_n为相邻频带的边界，ω₀=0，ω_N=π。各分割频带可表示为Λ_n=[ω_n-1, ω_n]，则U_n-1^NΛ_n=[0, π]，以ω_N为中心，可以定义一个宽度为T_n=2τ_n的过渡带，如图 1中阴影部分所示。当确定好Λ_n后，经验小波被定义为在每个Λ_n上的带通滤波器，根据Meyer小波确定经验尺度函数和经验小波函数，从而构建经验小波^[11]。f(t)重构信号表达式为：

$\begin{array}{c} f\left( t \right) = W_f^\varepsilon \left( {0, t} \right)*{\varphi _1}\left( t \right) + \\ \sum\limits_{i = 1}^N {W_f^\varepsilon \left( {n, t} \right)*{\Psi _n}\left( t \right)} \end{array} $

(4)

式中，*为卷积运算符，W_f^ε(0, t)为傅里叶变换近似系数，W_f^ε(n, t)为傅里叶变换细节系数。

2.4 EWT-Prophet模型的沉降预测方法

图 2为EWT-Prophet组合预测模型算法的流程，图 3为EWT分解示意图。可以看出，EWT将原始沉降数据自适应分解为1个趋势项信号和3个周期项信号，其中趋势项信号可有效反映原始沉降数据的趋势性，其余周期项信号可反映原始沉降数据的微小震荡变化。

本文组合模型先对沉降时序信号进行EWT分解，将原始时序信号分解为经验尺度分量F₀和N个经验小波分量F_N，再对各分量进行Prophet预测，将得到的所有预测分量叠加重构为最终的预测信号。该方法综合了EWT方法自适应能力强、理论性强和Prophet模型拟合预测效果好、预测速度快等特点。EWT-Prophet组合预测模型对地表沉降时序数据进行预测的主要步骤为：

1) 使用EWT对沉降数据进行分解：

$f\left( t \right) = {f_0}\left( t \right) + \sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}\left( t \right)} $

(5)

2) 对所有有效分量进行Prophet预测，将所有预测分量重构为最终的预测数据，并与单一的Prophet预测方法进行比较，验证组合模型的可靠性。

3 实验分析 3.1 矿区SBAS-InSAR监测及分析

实验选取覆盖研究区的30景升轨Sentinel-1A数据，使用GAMMA软件进行SBAS-InSAR处理，选取2019-06-15的SAR影像作为公共主影像，再将辅影像配准到主影像上(配准精度达0.001像元)，对干涉对进行多视处理(多视系数设置为4 ∶1)。实验的时间基线和空间基线阈值分别为60 d和200 m，最终构成112对干涉对用于时序分析，图 4为干涉对基线分布。根据干涉对时空基线分布图对影像进行干涉处理，利用外部DEM数据去除地形相位的影响，生成差分干涉图，并对其进行滤波增强处理，采用最小费用流方法进行相位解缠，得到研究区相位的真实值。通过查验每组产生的相干系数图、滤波后的干涉图和解缠图，移除干涉质量较差的干涉对，在具有高相干性的像素点上建立模型。通过奇异值分解方法反演估算形变速率并去除残余地形，计算相位残差并进行残差分离，最终得到研究区地表沉降速率及地表沉降分布情况。

实验结果表明，研究区有3处明显沉降，本文将这3处沉降区域分别标记为A、B、C，并在每个区域中分别选取3个沉降特征点作为研究对象(分别标记为#1、#2、#3)，各特征点位置如图 5所示。图 6为各区域中特征点的沉降时序，可以发现，A区域沉降最为严重，最大年平均沉降速率为490 mm/a，其中A#3位于沉降区中心，最大累积沉降量达440 mm，A#1和A#2在沉降区边缘，沉降量分别为184 mm和131 mm；B区域最大年平均沉降速率达390 mm/a，位于沉降中心的特征点B#3累积沉降量为358 mm，沉降区边缘的B#1和B#2累积沉降量分别为120 mm和118 mm；C区域最大年平均沉降速率可达233 mm/a，C#1、C#2和C#3的累积沉降量分别为148 mm、98 mm和117 mm。

马涛等^[12]对采用SBAS-InSAR技术获取的时序沉降数据进行分析，并引入水准监测数据进行对比。结果表明，监测沉降数据的平均误差为1.62 mm，符合《地面沉降干涉雷达数据处理技术规范》中10 mm的精度要求，表明SBAS-InSAR技术监测沉降数据的精度具有可靠性。本文将监测数据作为真实观测数据进行回溯性预测研究。

3.2 地表沉降预测及结果分析

以SBAS-InSAR技术获得的特征点沉降时序数据作为实际值，选取前27期(时间间隔为12 d)监测数据作为样本数据进行预测研究，预测后3期的沉降情况，并将预测结果与实际监测结果进行对比分析。为证明本文提出的组合预测模型在矿区沉降预测中的可行性，分别利用Prophet模型和EWT-Prophet组合模型进行实验，并对实验结果进行对比分析。

表 2和表 3为Prophet模型和EWT-Prophet组合模型的预测结果和相对误差统计。可以看出，组合模型的平均相对误差分别为1.55%、2.89%、1.57%，平均相对误差相较于单一模型分别提升48.68%、53.24%、68.21%。由此可见，引入单一Prophet模型进行对比不足以验证本文组合方法的有效性，因此引入经典ARMA预测模型进行对比分析。

表 4(单位mm)为不同方法预测结果的统计，表 5(单位mm)为预测结果残差绝对值统计。可以看出，在残差绝对值指标中，EWT-Prophet组合模型预测结果的残差绝对值最小，3期平均值分别为2.516 7 mm、5.065 6 mm、2.877 8 mm，表明本文方法优于单一Prophet模型和ARMA模型。

为分析本文预测方法的有效性，利用均方根误差(RMSE)、平均百分比误差(MAPE)等指标对预测结果进行对比分析(表 6)。由表可知，EWT-Prophet组合模型的精度整体优于单一Prophet模型和ARMA模型，平均均方根误差和平均百分比误差分别为3.97 mm和2.00%，相较于Prophet模型和ARMA模型，RMSE分别提升51.53%、59.03%，MAPE分别提升57.81%、64.85%。实验结果表明，本文构建的组合模型具有更好的预测精度，且具有有效性和适用性。

4 结语

本文以江西德兴矿区为研究区域，首先采用覆盖研究区的30景影像进行SBAS地表沉降监测，获取该地区30期时序沉降变化与累积沉降值。然后以SBAS监测值为研究时序数据样本，使用前27期监测值作为样本数据进行回溯性预测研究，利用EWT-Prophet组合模型与单一Prophet模型和ARMA模型进行预测研究。结果表明，组合模型结果整体优于单一模型，本文方法预测精度更佳，相较于Prophet模型和ARMA模型，RMSE分别提升了51.53%、59.03%，MAPE分别提升了57.81%、64.85%，说明组合模型具有适用性和有效性。

本文将EWT与Prophet预测模型相结合并引入SBAS-InSAR沉降研究，给类似的沉降时序信号数据分析提供了一种自适应强、预测效果好的组合方法，但此类分解-预测的组合方法也给预测过程带来额外的工作量。在研究过程中，矿区的沉降变化与诸多因素有关，如何建立一种高效、自适应强，并能及时反映突变情况的预测方法还有待进一步研究。