2. 华东交通大学土木建筑学院,南昌市双港东大街808号,330013
电离层延迟误差是影响GNSS测量精度的一个重要误差源,其在无线电通信、导航、卫星定位和天气预报等方面都有着广泛的应用[1]。电离层总电子含量(total electron content, TEC)是描述电离层特征的重要参量,其对于单频GPS实时导航定位和震前电离层扰动探测等具有重要意义[2]。但由于电离层在时空域上不断变化的特性,导致对电离层TEC的研究和预报都十分困难[3]。对此,专家学者们展开了大量研究,并取得丰富的成果[4-11]。
不同于以往学者对电离层TEC数据进行分解-预测-重构的思想,本文充分考虑电离层TEC数据离散性和无序性的特点[1],利用Prophet算法模型对电离层TEC数据进行拟合预处理,对拟合数据与残差数据分别进行Elman神经网络预报,提出Prophet-Elman神经网络残差改正电离层TEC预报模型,并将预报结果与真实TEC值进行对比,验证本文方法的有效性。
1 算法原理 1.1 Prophet算法原理Prophet是一种新型的数据处理方法,它有一个同源的开源软件包,可利用R或Python语言实现算法模型[12]。Prophet的主要功能是进行时间序列的拟合平滑以及函数预测。此外,对于具有趋势变化和大异常值的日常周期数据处理效果较好,并且可对多个季节性周期数据同时模拟。Prophet时间序列的基本模型主要由4个部分组成:趋势项、季节项、节假日项和误差项,模型表达式[13]为:
$ y\left( t \right) = g\left( t \right) + s\left( t \right) + h\left( t \right) + {\varepsilon _t} $ | (1) |
式中,y(t)为原始时间序列在t时刻的取值,g(t)为拟合时间序列中的分段线性增长或逻辑增长等非周期变化的趋势项,s(t)为拟合时间序列中各种周期性变化的季节项或称周期项,h(t)为非规律性的节假日效应,εt为误差项或称高斯噪声项,表示无法预测的波动。有关Prophet算法的详细介绍可参考文献[12]。
Prophet算法中输入数据主要由2列固定了名字的数据组成:ds和y。其中ds列为日期列,主要形式有2种:YY-MM-DD和YY-MM-DD HH: MM: SS; y列为数值列。不同于传统时间序列方法需要对数据进行插值、平稳等预处理,Prophet算法模型可以直接对历史数据进行平滑拟合与预测,是一种对电离层离散性、高噪声数据具有良好拟合效果的拟合加性模型。
1.2 Elman神经网络算法原理Elman神经网络是一种典型的动态神经网络[14]。Elman结构主要由输入层、隐含层、承接层以及输出层4个部分组成。信号通过输入层进入神经元,而隐含层的传递主要通过输入层以及承接层输入,经过线性或非线性函数变换到达输出层,输出层线性加权后得到最终期望值。对比前馈神经网络,其通过增加连接隐含层的承接层来提高处理动态信息的能力。承接层的作用是记忆隐含层前一时刻的输出值并在下一时刻返回到隐含层。由于其独特的自联方式增加了对历史数据的敏感性,提高了神经网络处理数据的能力,同时可以在时域和空域进行模式识别。
Elman神经网络的数学表达式为[15]:
$ x\left( k \right) = f\left( {{\omega _1}\left( {u\left( {k - 1} \right)} \right) + {\omega _2}{x_c}\left( k \right)} \right) $ | (2) |
$ {x_c}\left( k \right) = x\left( {k - 1} \right) $ | (3) |
$ y\left( k \right) = g\left( {{\omega _3}x\left( k \right)} \right) $ | (4) |
式中,ω1为输入层到隐含层的权值,ω2为承接层到隐含层的权值,ω3为隐含层到输出层的权值,u(k-1)为神经网络的输入,x(k)为隐含层的输出,xc(k)为承接层的输出,y(k)为神经网络的输出,g为隐含层到输出层的传递函数,f为隐含层的传递函数,一般为sigmoid函数,表达式为:
$ f\left( x \right) = {\left( {1 + {{\rm{e}}^{ - x}}} \right)^{ - 1}} $ | (5) |
Elman模型采用传统算法修正权值,误差函数的表达式为:
$ E = \sum\limits_{k = 1}^m {{{\left( {{t_k} - {y_k}} \right)}^2}} $ | (6) |
式中,tk为期望输出。
1.3 Prophet-Elman残差改正预报模型算法原理图 1为Prophet-Elman残差改正电离层TEC预报模型流程图。
首先利用Prophet算法模型对电离层TEC数据进行拟合优化处理,并计算残差序列; 然后对拟合优化后的TEC数据建立Elman神经网络模型进行预报,同时对拟合后的残差数据建立Elman神经网络模型进行预报修正,重构得到最终的TEC预测值。具体步骤为:
1) 利用Prophet算法对电离层TEC数据x(t)进行拟合优化,得到拟合后的TEC数据xN(t)和残差数据xc(t):
$ {x_c}\left( t \right) = x\left( t \right) - {x_N}\left( t \right) $ | (7) |
2) 对xN(t)和xc(t)建立Elman模型进行预报。TEC时间序列以30 d数据为1组进行实验,以前24 d的数据作为训练输入,第25天的数据作为训练输出,建立Elman模型; 以第2~25天的数据作为预报输入,第26天的数据作为预报输出,整体构建Elman神经网络单步预测模型。以此类推,预报每组实验后5 d的TEC数据。最终,得到预报后的拟合分量xN(t)和残差分量xc(t)。
3) 将拟合预报结果xN(t)与残差预报结果xc(t)重构得到最终TEC值x(t),即
$ \bar x\left( t \right) = {\bar x_N}\left( t \right) + {\bar x_c}\left( t \right) $ | (8) |
采用IGS中心提供的电离层TEC真实值进行对比,验证模型的预报精度。以日平均相对精度RA和均方根误差RMSE作为评定指标,其表达式为:
$ {\rm{RA = 1}} - \left| {{I_{{\rm{IGS, }}i}} - {I_{{\rm{pre, }}i}}} \right|/{I_{{\rm{IGS, }}i}} $ | (9) |
$ {\rm{RMSE = }}\sqrt {\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{I_{{\rm{IGS, }}i}}_{{\rm{IGS, }}i} - {I_{{\rm{pre, }}i}}} \right)}^2}} } $ | (10) |
式中,IIGS, i为第i个历元IGS中心的TEC真实值,Ipre, i为第i个历元预测的TEC值,i为历元数,以2 h为1个历元,n为历元的时段长度。
2 实验结果与分析利用IGS国际服务中心提供的2010年TEC格网数据进行精度分析。选取低纬度(15°N, 125°E)、中纬度(45°N, 125°E; 45°N, 60°W)和高纬度(75°N, 125°E)4个不同的地理位置进行实验,以2010年年积日1~30、101~130、201~230、301~330等4个不同时段的数据为例进行预报说明。以每个时段前24 d的数据作为训练输入,第25天的数据作为训练输出,建立Elman模型,以第2~25天的数据作为预报输入,第26天的数据作为预报输出,整体构建Elman神经网络单步预测模型。以此类推,预报每个时段后5 d的TEC数据,并与真实TEC值进行对比。
以年积日101~130、位置(45°N,125°E)的数据为例进行具体分析。图 2为原始TEC值与Prophet拟合后的TEC值对比。从图中可以看出,原始TEC数据呈现出较强的离散性和非平稳性,而经过Prophet拟合后的TEC数据更平稳,周期性变化更强,有利于模型的建立。图 3为Prophet拟合后预报的TEC值与拟合值以及TEC真实值的对比。从图中可以看出,拟合后模型预报的结果与根据真实值所拟合的结果非常贴近,与TEC真实值吻合度也较高。结果表明,Prophet拟合后模型预报的结果与真实值TEC数据之间存在的差异主要由拟合残差组成。对此,采用残差修正来提高拟合预报后的精度。图 4为Elman模型、Prophet-Elman模型、本文模型预报的TEC值与真实TEC值的对比。从图中可以看出,直接对TEC时间序列建立Elman模型预报效果最差; Prophet-Elman模型能够有效地提高神经网络的预报精度,且稳定性更强; 而残差改正后的Prophet-Elman模型可以提高离散程度高的数据点的预报精度,预报的TEC值与真实值最为接近,预报效果最好。
表 1为不同模型整体预报残差绝对值分布情况统计。从表中可以看出,Elman模型预报5 d内的残差绝对值均值在1 TECu以内的占65.4%,大于3 TECu的占6.8%;Prophet-Elman模型预报5 d内的残差绝对值均值在1 TECu以内的占70.3%,大于3 TECu的占4.8%;而本文模型预报5 d内的残差绝对值在1 TECu以内的占79.3%,大于3 TECu的占3.1%。说明Prophet-Elman模型的预报效果普遍高于Elman模型。然而也存在特殊情况,如Prophet-Elman模型在第5天时残差绝对值大于3 TECu的占比高于Elman模型,这主要是由于Prophet拟合预报后与真实数据在个别预报点相差较大所导致的。对此,通过对残差数据进行模型预报来提高预报精度。结果表明,本文模型整体预报效果均优于Elman模型,与图 4结果相吻合。
表 2为3种模型不同地理位置的整体预报误差结果统计。表中显示,同一时段、同一地理位置,Prophet-Elman模型的预报效果普遍优于Elman模型,但也存在个别预报点相反的情况。对此,引进残差修正模型提高个别数据点的预报精度。整体结果显示,本文模型的平均相对精度普遍高于其他2种预报模型,均方根误差普遍小于其他2种预报模型。显然,本文模型的预报效果最优,从另一个角度验证了表 1的结论。从地理位置来看,同一经度均方根误差随着纬度提升而减小,低纬度地区几种模型预报的均方根误差都最大,高纬度地区则都最小,这主要是由于电离层TEC含量在不同纬度地区不同造成的。几种模型预报的平均相对精度在中纬度地区最高,在低纬度和高纬度地区相差不大。同一纬度不同经度间,几种模型预报精度没有呈现明显的变化特征。2010年为太阳活动低年,为验证本文模型在太阳活动高年的预测效果,参照2010年的实验方式对2014年(太阳活动高年)的数据进行实验。表 3为2014年3种模型在不同地理位置的整体预报误差结果统计。可以看出,3种模型在太阳活动高年的预测效果与太阳活动低年相同,改正模型的预测效果普遍优于其他2种模型。
表 4给出了太阳活动低年和太阳活动高年4个时段的预报精度对比。结果显示,本文模型的预报效果在4个不同时段均优于Prophet-Elman模型及单一Elman模型。在太阳活动低年和太阳活动高年,Elman模型预报的均方根误差均值分别为1.39 TECu和3.00 TECu,平均相对精度分别为89.9%和88.3%;Prophet-Elman模型预报的均方根误差均值分别为1.15 TECu和2.21 TECu,平均相对精度分别为90.6%和89.9%;本文模型预报的均方根误差均值分别为0.94 TECu和1.77 TECu,平均相对精度分别为92.9%和92.2%。显然, 本文模型的预报效果最好。对比太阳活动低年,3种模型在太阳活动高年预报时平均相对精度更低,均方根误差更大。
针对电离层TEC数据离散性和无序性的特点,本文引入Prophet算法对TEC时间序列进行拟合预处理,对拟合数据建立Elman模型进行预报,同时对拟合后的残差数据进行预报修正。利用IGS提供的太阳活动低年和太阳活动高年的电离层数据进行实验,得出以下结论。
1) 对比3种模型的预报精度可知,相较于Elman模型和Prophet-Elman模型,本文模型的预报精度最高、效果最好。电离层TEC信号经过Prophet拟合处理后能够有效提高模型的预报精度,对预报效果进行残差修正,能够增加模型对极值点的预报精度,提升模型的整体预报效果。
2) 本文模型能够较好地反映电离层TEC的变化特征,太阳活动低年和太阳活动高年的预报平均相对精度分别为92.9%和92.2%,均方根误差分别为0.94 TECu和1.77 TECu,活跃期的电离层的不稳定性及高电子含量导致电离层在太阳活动低年的预报效果优于太阳活动高年。
本文将Prophet算法引进到Elman神经网络的电离层TEC预报当中,给类似问题提供了一个新的解决思路。但在预报的过程中仍然存在个别数据点预报效果较差的情况,如何建立一个预测精度更高、稳定性更强的预报模型还需进一步的研究。
致谢: 感谢IGS提供的电离层GIM数据。
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