随着全球四大导航卫星系统的逐步建成与完善，多系统间的兼容互操作联合定位成为今后GNSS发展的必然趋势^[1]。由于不同卫星导航系统间存在系统间偏差(inter-system bias，ISB)和频率不一致等问题，通常使用的多系统相对定位模型为每个系统独立选择参考星，形成系统内双差，这种组合方式一般称为松组合。而紧组合是指不同系统间只选择一颗参考星，既形成了系统内双差，又形成了系统间双差^[2-3]。在一些复杂观测环境(如树下、城市峡谷等)，由于卫星数量严重缺失，此时使用单系统解算模式可能出现无法解算的情况，而使用双系统联合定位模式仍可以解算。另外，在卫星数量十分稀少的情况下，松组合模型很难固定模糊度，而紧组合模型能有效增加观测方程数量，提高模糊度固定率及定位精度。

目前，国内外学者对紧组合的研究主要集中在GPS/Galileo组合的重叠频率(L1与E1)上，而对BDS与其他系统间的紧组合及不同系统间非重叠频率紧组合的研究较少^[4-11]。本文对短基线下GPS-L1(1 575.42 MHz)/BDS-B1(1 561.098 MHz) 非重叠频率紧组合相对定位算法进行研究，详细推导了短基线下GPS-L1/BDS-B1非重叠频率紧组合相对定位数学模型，并对事先标定DISB的方法进行详细介绍; 同时，分析GPS-L1/BDS-B1非重叠频率DISB的稳定性，并基于GPS-L1/BDS-B1单历元相对定位实验验证紧组合相较于松组合的优越性。

1 数学模型

由于GPS和BDS使用的坐标系统及时间系统不一致，在进行GPS/BDS精密相对定位时必须进行考虑。在坐标系统方面，尽管GPS和BDS分别采用WGS-84和CGCS2000坐标系，但在进行相对定位时，两者的区别可以忽略不计^[12-13]; 在时间系统方面，GPS时与BDS时相差14 s，因此将BDS时加上14 s，使两者的时间系统统一^[14]。

1.1 非差观测方程

假设一台GNSS接收机同时接收GPS/BDS伪距与载波相位观测值，则卫星s与接收机i之间的非差伪距与载波相位观测方程为：

$ P_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}}+\mathrm{d} t_{\mathrm{i}}-\mathrm{d} t^{\mathrm{s}}+d_{\mathrm{i}}-d^{\mathrm{s}}+T_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}}-I_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}}+e_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}} $

(1)

$ \begin{array}{c} \varphi_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}}+\mathrm{d} t_{\mathrm{i}}-\mathrm{d} t^{\mathrm{s}}+\lambda\left(\varPhi_{\mathrm{i}}-\varPhi^{\mathrm{s}}+\delta_{\mathrm{i}}-\right. \\ \left.\delta^{\mathrm{s}}+N_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}}\right)+T_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}}-I_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}}+\varepsilon_{\mathrm{i}}^{\mathrm{s}} \end{array} $

(2)

式中，P_i^s、φ_i^s分别为卫星s与接收机i之间伪距和载波相位的观测值(单位m); ρ_i^s为卫星s与接收机i之间的几何距离; dt_i为接收机钟差; dt^s为卫星钟差; d_i为接收机端的伪距硬件延迟; d^s为卫星端的伪距硬件延迟; T_i^s为对流层延迟; I_i^s为电离层延迟; e_i^s为伪距测量噪声; λ为波长; Φ_i为接收机端的初始相位; Φ^s为卫星端的初始相位; δ_i为接收机端硬件延迟; δ^s为卫星端硬件延迟; N_i^s为整周模糊度; ε_i^s为相位测量噪声。

1.2 单差观测方程

在测站i、j之间作差可以消除与卫星有关的误差。在短基线情况下，可以忽略电离层和对流层延迟，用单差算子Δ表示观测值之差，则i、j站间的单差观测方程可表示为：

$ \Delta P_{i j}^{\mathrm{s}}=\Delta \rho_{i j}^{\mathrm{s}}+\Delta \mathrm{d} t_{i j}+\Delta d_{i j}+\Delta e $

(3)

$ \begin{array}{c} \Delta \varphi_{i j}^{\mathrm{s}}=\Delta \rho_{i j}^{\mathrm{s}}+\Delta \mathrm{d} t_{i j}+ \\ \lambda\left(\Delta \varPhi_{i j}+\Delta \delta_{i j}+\Delta N_{i j}^{\mathrm{s}}\right)+\Delta \varepsilon \end{array} $

(4)

1.3 松组合相对定位模型

GPS/BDS松组合联合相对定位解算时，假设GPS/BDS系统分别选择G1、B1作为参考星，系统内双差可以进一步消除与接收机相关的误差，用双差算子Δ$\nabla$表示观测值之间的双差，则GPS/BDS松组合双差观测方程可表示为：

$ \Delta \nabla P_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{G} i}=\Delta \nabla \rho_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{G} i}+\Delta \nabla e $

(5)

$ \Delta \nabla \varphi_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{G} i}=\Delta \nabla \rho_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{G} i}+\lambda_{\mathrm{L} 1} \Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{G} i}+\Delta \nabla \varepsilon $

(6)

$ \Delta \nabla P_{i j}^{\mathrm{C1C} i}=\Delta \nabla \rho_{i j}^{\mathrm{C1C} i}+\Delta \nabla e $

(7)

$ \Delta \nabla \varphi_{i j}^{\mathrm{C} 1 \mathrm{C} i}=\Delta \nabla \rho_{i j}^{\mathrm{C} 1 \mathrm{C} i}+\lambda_{\mathrm{B} 1} \Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{C1C} i}+\Delta \nabla \varepsilon $

(8)

式中，G代表GPS系统，C代表北斗系统; Δ$\nabla$P_ij^G1Gi为GPS系统双差伪距观测值; Δ$\nabla$ρ_ij^G1Gi为GPS系统双差几何距离; Δ$\nabla$e为GPS系统双差伪距观测噪声; Δ$\nabla$φ_ij^G1Gi为GPS系统双差载波相位观测值; Δ$\nabla$N_ij^G1Gi为GPS系统双差模糊度; Δ$\nabla$ε为GPS系统双差相位观测噪声。式(7)和式(8)中BDS系统同理。

1.4 紧组合相对定位模型

在松组合模型中，每个系统选择各自的参考星进行系统内双差; 而在紧组合模型中，多个系统选择一个共同的参考星，除系统内双差外，还需进行系统间双差。假设GPS/BDS紧组合定位时，选择G1作为双系统的共同参考星，则双差方程可表示为：

$ \Delta \nabla P_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}=\Delta \nabla \rho_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}+\Delta d_{i j}^{\mathrm{C}}-\Delta d_{i j}^{\mathrm{G}}+\Delta \nabla e $

(9)

$ \begin{array}{c} \Delta \nabla \varphi_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}=\Delta \nabla \rho_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}+\left(\lambda_{\mathrm{B} 1} \Delta \varPhi_{i j}-\lambda_{\mathrm{L} 1} \Delta \varPhi_{i j}\right)+ \\ \left(\lambda_{\mathrm{B} 1} \Delta \delta_{i j}^{\mathrm{C}}-\lambda_{\mathrm{L} 1} \Delta \delta_{i j}^{\mathrm{G}}\right)+\lambda_{\mathrm{B} 1} \Delta N_{i j}^{\mathrm{C}}-\lambda_{\mathrm{L} 1} \Delta N_{i j}^{\mathrm{G}}+\Delta \nabla \varepsilon \end{array} $

(10)

由于GPS-L1和BDS-B1的频率不一致，进行系统间双差时接收机端初始相位无法消除，单差硬件延迟无法形成双差硬件延迟，单差模糊度也无法形成双差模糊度，此时进行参数重组，令

$ \Delta d_{i j}^{\mathrm{C}}-\Delta d_{i j}^{\mathrm{G}}=\mathrm{PDISB} $

(11)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{\lambda _{{\rm{B}}1}}\Delta {\mathit{\Phi }_{ij}} - {\lambda _{{\rm{L}}1}}\Delta {\mathit{\Phi }_{ij}}} \right) + \left( {{\lambda _{{\rm{B}}1}}\Delta \delta _{ij}^{\rm{C}} - {\lambda _{{\rm{L}}1}}\Delta \delta _{ij}^{\rm{G}}} \right) = }\\ {{\lambda _{{\rm{B}}1}}{\rm{DISB}}} \end{array} $

(12)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _{{\rm{B}}1}}\Delta N_{ij}^{\rm{C}} - {\lambda _{{\rm{L}}1}}\Delta N_{ij}^{\rm{G}} = {\lambda _{{\rm{B}}1}}\Delta N_{ij}^{\rm{C}} - {\lambda _{{\rm{B}}1}}\Delta N_{ij}^{\rm{G}} + }\\ {{\lambda _{{\rm{B}}1}}\Delta N_{ij}^{\rm{G}} - {\lambda _{{\rm{L}}1}}\Delta N_{ij}^{\rm{G}} = {\lambda _{{\rm{B}}1}}\Delta \nabla N_{ij}^{{\rm{GC}}} + \left( {{\lambda _{{\rm{BIL}}1}}} \right)\Delta N_{ij}^{\rm{G}}} \end{array} $

(13)

与重叠频率紧组合的DISB相比，式(12)将单差初始相位之差与单差硬件延迟之差整合为DISB参数，非重叠频率的DISB增加了单差初始相位之差; 式(13)将单差模糊度之差转换为双差模糊度与单差模糊度之和，其中ΔN_ij^G可由GPS的单差伪距近似计算得到，一般可精确到3周，因(λ_B1－λ_L1)约为0.001 7 m，故(λ_B1L1)ΔN_ij^G的精度约为3 mm，满足精度要求，不会对双差模糊度的固定产生影响^[15]。

由于紧组合模型多估计了一个DISB参数，导致法方程秩亏，并且单频时秩亏数为1，此时要对参数进行重组，令

$ \begin{array}{c} \Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{G1C}i}=\Delta N_{i j}^{\mathrm{G} 1}-\Delta N_{i j}^{\mathrm{C} 1}+\Delta N_{i j}^{\mathrm{C1}}-\Delta N_{i j}^{\mathrm{C} i}= \\ \Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} 1}+\Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{C1C} i} \end{array} $

(14)

$ \widetilde{\mathrm{DISB}}=\mathrm{DISB}+\Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{G1C1}} $

(15)

式(14)将BDS卫星Ci与GPS参考星G1的双差模糊度转换为C1、G1的双差模糊度与C1、Ci的双差模糊度之和，其中C1卫星为BDS系统内部参考星。式(15)将DISB参数与C1、G1的双差模糊度参数整合为$\widetilde {{\rm{DISB}}}$参数，此时由于少估计了一个双差模糊度，整个法方程不再秩亏。需要注意的是，虽然选取了内部参考星，但观测方程的双差观测量仍是系统间双差形成的，与系统内部参考星无关。综上可知，GPS-L1/BDS-B1非重叠频率紧组合的相对定位模型为：

$ \Delta \nabla P_{i j}^{\mathrm{G1C} i}=\Delta \nabla \rho_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}+\mathrm{PDISB}+\Delta \nabla e $

(16)

$ \begin{array}{c} \Delta \nabla \widetilde{\varphi}_{i j}^{\mathrm{G1C} i}=\Delta \nabla \varphi_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}-\lambda_{\mathrm{B} 1 \mathrm{L} 1} \Delta N_{i j}^{\mathrm{G}}= \\ \Delta \nabla \rho_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}+\lambda_{\mathrm{B} 1} \widetilde{\mathrm{~DISB}}+\lambda_{\mathrm{B} 1} \Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{C1C} i}+\Delta \nabla \varepsilon \end{array} $

(17)

虽然紧组合模型增加了观测方程数量，但同时也增加了待估参数，方程的冗余度不变，所以理论上模型强度不变，并不会增加定位的精度和模糊度固定的成功率^[6-8]。

1.5 事先标定DISB

通过式(16)和式(17)计算出$\widetilde {{\rm{DISB}}}$和PDISB，稳定后可将其当作一个常数，事先对其进行标定，将标定结果代入后续计算可以增加冗余观测量，有效提高模糊度的解算效率。事先标定DISB的GPS-L1/BDS-B1紧组合观测方程为：

$ \widetilde{P}_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}=P_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{Ci}}-\mathrm{PDISB}=\rho_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}+e_{i j}^{\mathrm{G1C} i} $

(18)

$ \begin{aligned} \Delta \nabla \tilde{\varphi}_{i j}^{\mathrm{G1C} i} &=\Delta \nabla \varphi_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}-\lambda_{\mathrm{B} 1 \mathrm{L} 1} \Delta N_{i j}^{\mathrm{G}}-\lambda_{\mathrm{B} 1} \widetilde{\mathrm{~DISB}}=\\ & \Delta \nabla \rho_{i j}^{\mathrm{G} 1 \mathrm{C} i}+\lambda_{\mathrm{B} 1} \Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{C1C} i}+\Delta \nabla \varepsilon \end{aligned} $

(19)

由式(15)可知，采用紧组合相对定位模型估计出的DISB参数实际上吸收了参考星之间的双差模糊度，即使采用单历元模式进行解算，仍需考虑参考星的变换。在对最开始参考星不变的几个历元进行DISB标定后，如果参考星发生变化，可以采用式(20)对标定的DISB进行转换：

$ \begin{array}{l} \widetilde{\mathrm{DISB}}_{i}=\mathrm{DISB}_{i}+\Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{G}m\mathrm{C}n}= \\ \widetilde{\mathrm{DISB}}_{i-1}-\Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{G1G} m}+\Delta \nabla N_{i j}^{\mathrm{C1} \mathrm{C} n} \end{array} $

(20)

式中，$\widetilde {{\rm{DISB}}}$_i为第i个历元包含了双差模糊度的DISB参数，Δ$\nabla$N_ij^G1Gm、Δ$\nabla$N_ij^C1Cn为上一历元解算得到的双差模糊度，Δ$\nabla$N_ij^GmCn为这一历元参考星Gm与BDS系统内部参考星Cn之间的双差模糊度。

2 实验分析 2.1 实验数据与处理策略

本文选取科廷大学短基线实验数据(CUTB0~CUTC0)，其中2台接收机类型相同，均选用Trimble NetR9接收机，天线类型为TRM 59800.00 SCIS，数据采集时间为2018-01-08，采样间隔为30 s。数据处理策略为GPS-L1/BDS-B1单历元短基线相对定位，利用高度角定权方法，选取高度角最大的卫星作为参考星，固定模糊度采用最小二乘模糊度降相关平差法(LAMBDA)，并根据ratio值是否达到阈值3或5对模糊度是否固定成功进行判断^[10]。

分别采用松组合与事先标定DISB的紧组合模型对实验数据进行处理，并对处理结果进行比较分析。首先使用紧组合相对定位模型对DISB的稳定性进行分析，并对事先标定DISB的方法进行详细介绍，分别对截止高度角为10°、20°、30°、40°时2种数据处理模式的模糊度固定率及误差分布进行统计与分析。

2.2 DISB稳定性分析

采用式(16)和式(17)的紧组合相对定位模型对实验数据进行解算，得到伪距DISB及相位DISB的估值时间序列，结果如图 1(a)和1(b)所示。从图 1(a)可以看出，解算得到的伪距DISB值十分稳定，平均值为－0.54 m，标准差为0.28 m，由式(15)可知，采用紧组合相对定位模型估计出的DISB参数实际上吸收了参考星之间的双差模糊度。从图 1(b)可以看出，每次参考星变换都会引起DISB估值的变化，而在参考星稳定不变的时间域内，所估得的DISB值也十分稳定。由于参考星之间的双差模糊度参数与相位DISB参数系数相同，无法将实际的相位DISB单独分离出来，故在分析相位DISB稳定性时，通常只分析所估计出的DISB参数的小数部分，整数部分被参考星间双差模糊度吸收。图 1(c)为采用式(16)和式(17)估计出的DISB参数的小数部分，从图中可以看出，其在时间域内十分稳定，平均值为0.44周，标准差为0.02周。由此可知，可以采用事先标定DISB的紧组合模型对实验数据进行解算。

2.3 模糊度固定率分析

对截止高度角为10°、20°、30°、40°时GPS/BDS的可观测卫星数量进行统计，结果见图 2。从图中可以看出，当截止高度角为10°和20°时，GPS/BDS每个历元的卫星数量都在4颗以上; 当截止高度角为30°时，BDS系统卫星数量都还在4颗以上，而GPS系统则出现少量卫星数为3颗的历元，此时使用GPS单系统解算模式将无法解算; 当卫星高度角为40°时，BDS系统的卫星数量仍然保持在4颗以上，GPS系统则出现了大量卫星数量在4颗以下的历元，此时使用GPS单系统解算模式将出现大量无法解算的历元，使用双系统联合定位模式仍可以解算。

图 3为不同截止高度角下GPS-L1/BDS-B1松组合与事先标定紧组合的模糊度固定ratio值，从图中可以看出，当截止高度角为10°时，紧组合与松组合的模糊度固定ratio值整体相差不大，这是因为卫星数量充足，紧组合相对松组合对ratio值的提高还不是十分明显，此时松组合的平均ratio值为10.0，紧组合的平均ratio值为12.5。当截止高度角为20°和30°时，紧组合的ratio值已经明显高于松组合，这是因为随着卫星数量的减少，紧组合模型增加的多余观测量产生的效果越来越明显。高度角为20°时松组合的平均ratio值为13.7，紧组合的平均ratio值为25.9;高度角为30°时松组合的平均ratio值为10.5，紧组合的平均ratio值为29.1。当高度角为40°时，紧组合的一部分历元远远高于松组合，主要因为此时卫星数量十分稀少，GPS系统大部分历元卫星数在4颗以下，使用松组合很难固定模糊度，而紧组合在这种场景下具有巨大优势，此时松组合的平均ratio值为5.1，紧组合的平均ratio值为19.1。

表 1(单位%)为以ratio值为3和5作为成功固定模糊度的阈值时，不同截止高度角下松组合与紧组合的模糊度固定成功率。从表中可以看出，当以ratio＝3作为模糊度成功固定的阈值时，随着卫星截止高度角的增大，紧组合相对松组合的模糊度固定成功率有了明显提高。其中，当卫星截止高度角为10°和20°时，紧组合相对松组合的模糊度固定成功率没有明显提高; 而当截止高度角为30°和40°时，模糊度固定成功率分别提高了14.72%和36.04%，提升较为明显。当选择ratio＝5作为检验模糊度成功固定的阈值时，截止卫星高度角在10°、20°、30°和40°时，GPS系统平均卫星数量分别为9颗、7颗、5颗和4颗，BDS系统平均卫星数量分别为11颗、9颗、8颗和6颗，紧组合相对松组合的模糊度固定成功率分别提高10.04%、17.26%、31.74%和42.85%。因此，随着检验模糊度成功固定标准的严格，紧组合相对松组合提升模糊度固定成功率的效果更加明显。

图 4为不同截止高度角下GPS/BDS单频松组合与紧组合的模糊度精度衰减因子(ADOP)，由图可知，相比于松组合模型，使用紧组合模型后ADOP值有了显著降低，并且随着截止高度角的增大，ADOP值的降低效果越明显。不同截止高度角下ADOP的平均值统计见表 2。

2.4 定位精度分析

表 3(单位%)为松组合与紧组合在E、N、U三方向定位误差小于1 cm的历元占全部历元的百分比，从表中可以看出，当截止高度角为10°和20°时，松组合与紧组合的定位精度差别不大，绝大多数历元的定位误差都在1 cm之内; 当截止高度角为30°时，紧组合1 cm以内的误差相对松组合在E、N方向所占比例提升约4%，U方向提升约14%;当截止高度角为40°时，紧组合的定位效果明显优于松组合，1 cm以内误差在E、N方向所占比例提升23%以上，U方向提升14%以上。

3 结语

本文详细推导了短基线下GPS-L1/BDS-B1非重叠频率紧组合相对定位的模型与算法，论述了非重叠频率紧组合与重叠频率紧组合的处理区别，并对GPS-L1/BDS-B1非重叠频率的DISB稳定性进行分析。在DISB稳定的情况下可事先对其进行标定，将标定结果代入后续计算可以增加冗余观测量，有效提高模糊度解算的效率。利用短基线数据进行实验验证后发现，GPS-L1/BDS-B1间伪距与相位DISB均具有很好的时域稳定性，在使用单频单历元处理模式下，随着截止高度角的增加，使用事先标定DISB的紧组合相对定位模型比使用传统松组合模型的模糊度固定率提高3%~42%，平均ratio值提升25%~275%。在定位精度方面，当截止高度角为10°和20°时，卫星数量充足，紧组合与松组合的定位效果无太大区别; 当截止高度角为30°和40°时，卫星数量稀少，紧组合的定位效果优于松组合。

致谢: 感谢澳大利亚科廷大学(Curtin University)提供GNSS实验数据。