学者们对TEC预测模型进行了大量研究^[1-9]。常用的短期预测方法主要包括经典数学统计法^[1-2]和人工智能法^[4-6]。但由于电离层复杂的时空变化特性^[7], 经典数学统计方法难以得到理想的预测效果^[8]。而人工智能法受主观因素的影响，缺乏客观理论依据，稳定性较差^[4]。

灰色预测模型在短期预测中运用较广，但无法精确地预测具有非线性特征的TEC数据^[6]。人工神经网络在电离层非线性预测中具有较高的精度，但其预测参数的选取较为复杂，网络算法优化较为困难^[4]。ARMA预测模型方法较为简单，但其在极值点附近的预测精度较差^[3]。因单一模型难以满足TEC预测所需要的精度要求，本文基于ARMA模型，结合经验小波变换(empirical wavelet transform, EWT), 提出一种短期组合预测模型EWT-ARMA。

1 模型原理 1.1 EWT方法

EWT是一种新型的自适应信号处理方法^[10], 其核心思想是根据信号划分的结果选择合适的滤波器组，提取出具有傅里叶频谱特性的调幅-调频(amplitude modulated frequency modulated, AM-FM)组件。首先对信号频谱进行自适应分割^[11], 然后对分割的信号频谱特征构造合适的正交小波滤波器组，提取出AM-FM组件，最后利用Hilbert变换对不同的AM-FM组件进行处理，获取相应的瞬时频率和瞬时幅值^[12]。具体过程可参考文献[10]。

最终，重构的原始信号f(t)表达式为：

$f(t) = W_f^\varepsilon (0, t)*{\phi _1}(t) + \sum\limits_{n = 1}^N {W_f^\varepsilon } (n, t)*{\psi _n}(t)$

(1)

式中，*为卷积运算符， $W_f^\varepsilon (0, t)$为经验小波变换的近似系数， $W_f^\varepsilon (n, t)$为经验小波变换的细节系数。原始信号f(t)通过经验小波变换分解为N+1个模态分量，其中包含1个代表信号整体变化趋势的经验尺度分量f₀(t), N个代表原序列中不同频域特征的经验小波分量f_k(t)。

1.2 EWT-ARMA模型的电离层TEC预报方法

针对TEC含量的随机特性，在ARMA预测模型的基础上，结合EWT方法，组成电离层短期预测模型。首先对电离层数据进行EWT分解，得到具有不同特征的若干分量，然后对各分量进行ARMA模型预测，预测结果进行重构得到最终的电离层TEC预测值。具体步骤如下^[7]。

1) 利用EWT方法将TEC数据时间序列x(t)进行分解，得到N+1个模态分量，其中包含1个经验尺度分量和N个经验小波分量。

2) 对N+1个模态分量进行ARMA(p, q)模型预测。设x_t(t=1, 2, 3, …)为电离层TEC值组成的时间序列数据，对于任意的t, 满足：

$\begin{array}{l} {x_t} - {\varphi _1}{x_{t - 1}} - {\varphi _2}{x_{t - 2}} - \cdots - {\varphi _p}{x_{t - p}} = \\ {\varepsilon _t} - {\theta _1}{\varepsilon _{t - 1}} - {\theta _2}{\varepsilon _{t - 2}} - \cdots - {\theta _q}{\varepsilon _{t - q}} \end{array}$

(2)

式中，x_t由1个经验尺度分量f₀(t)和N个经验小波分量f_k(t)组成，即x_t={f_k(t), k=0, 1, 2, …, N}, ε={ε_t, t=0, ±1, …}是均值为0、方差为δ²的白噪声序列。x_t表示滑动平均序列ARMA(p, q)过程，其中p为移动模型(AR)的阶数，q为滑动模型(MA)的阶数，当p=0时，它是MA(q)模型，当q=0时，它是AR(p)模型。

引进后移算子B, 式(2)可表达为：

$B{x_t} = {x_{t - 1}}, {B^k}{x_t} = {x_{t - k}}$

(3)

记算子多项式为：

$\begin{array}{l} \varphi B = 1 - {\varphi _1}B - {\varphi _2}{B^2} - \cdots - {\varphi _P}{B^P}\\ \theta B = 1 - {\theta _1}B - {\theta _2}{B^2} - \cdots - {\theta _q}{B^q} \end{array}$

(4)

则式(3)可表示为：

$\varphi(B) x_{t}=\theta(B) \varepsilon_{t}$

(5)

ARMA属于线性模型，根据电离层TEC时间序列数据，采用AIC定阶准则选定p、q, 使其满足：

$\min \mathrm{AIC}=n \ln \hat{\delta}_{\varepsilon}^{2}+2(p+q+1)$

(6)

式中，n为样本数目， $\hat{\delta}_{\varepsilon}^{2}$为δ_ε²的估计， $\ln \hat{\delta}_{\varepsilon}^{2}$为对数似然函数，使函数达到最小的p、q即为模型的阶。为确保模型阶数的准确性，对信号进行误差分析和残差检验，判断ε_t是否为白噪声。最后对模型阶数进行调整，选取最优预测结果。

3) 根据步骤2), 对经验尺度分量和经验小波分量进行预测，重构预测结果，得到最终的TEC预测值。

2 实例计算与分析

本文选用IGS提供的2 h时间分辨率的电离层格网点上的数据对组合模型进行实验分析。参考文献[7], 提取2018年年积日1~30、101~130、201~230、301~330等4个时间段内的低纬(5°N, 120°E)、中纬(45°N, 120°E)和(45°N, 60°W)及高纬(85°N, 120°E)4个不同地理位置共16组电离层数据进行分析。分别利用前25 d的TEC真实值预测后5 d的TEC值，后5 d的TEC真实值作为检测值与预测值进行对比，验证模型的预测效果。利用EWT方法对16组TEC真实数据进行模态分解，每组数据得到5~6个不同的经验小波分量和1个经验尺度分量，然后对各分量进行ARMA模型建模、预测，得到各分量的预测值，最后将各分量的预测值重构得到最终预测结果，并与真实值进行对比。为了验证本文组合模型预测结果的优劣性，采用均方根误差RMSE和平均相对精度P作为评定模型预测结果的指标，并与ARMA模型的预测结果进行对比：

$\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\hat{x}_{i}-x_{i}\right)^{2}}$

(7)

$P=1-\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\left|\hat{x}_{i}-x_{i}\right|}{x_{i}}$

(8)

式中，n为TEC预测数据的个数， $\hat{x}_{i}$为第i个预测数据，x_i为第i个真实数据。

选择2018年年积日1~30(45°N, 60°W)的1组数据进行具体分析。首先提取该组电离层时间序列数据，利用EWT分解前25 d的TEC数据(图 1)。可以看出，TEC原始数据被分解成了1个经验尺度分量f₀和5个经验小波分量f₁~f₅, 分解的分量呈现出从低频到高频变化的特点，且原有数据的能量分解后主要集中在经验尺度分量f₀和经验小波分量f₁、f₂。对各分量25 d的数据进行ARMA建模，预测后5 d的数据，并与真实值对比(图 2)。可以看出，经验尺度分量f₀和经验小波分量f₁、f₂预测效果较好，预测值与真实值偏差很小，分量f₃~f₅预测效果较差，但其所占能量比重小，不会对最终预测效果产生较大影响。将所有分量的预测值重构得到最终的TEC预测值。图 3为组合模型和ARMA模型的预测值与真实值的对比图。可以看出，采用ARMA模型进行预测时，在极值点附近偏差较大，达到2~3 TECu, 而本文组合模型预测值与真实值趋势符合较好，在极值点附近的偏差也减小到1 TECu左右。

为了从整体上检验组合模型的预测效果，引进残差绝对值Δ进行说明，其表达式为：

$\Delta=\left|\hat{x}_{i}-x_{i}\right|$

(9)

式中， $\hat{x}_{i}$为预测值，x_i为真实值。

图 4为2种模型在2018年年积日26~30的TEC预报残差绝对值对比图。可以看出，ARMA模型预测的残差绝对值在1.5 TECu以内比重较大，部分超过2 TECu, 而组合模型预测的残差绝对值大部分在1 TECu以内，极少部分超过1 TECu。从整体来看，组合模型比ARMA模型预测效果更好。

表 1为2018年年积日26~30的4个不同地理位置的预报残差绝对值百分比统计表。表中显示，ETW-ARMA组合模型的残差绝对值均值小于1 TECu的占比为81.8%, 相比ARMA模型提高了20.1%。ETW-ARMA组合模型的残差绝对值均值大于3 TECu的占比为0.6%, 相比ARMA模型降低了5.2%。由此表明，本文组合模型的整体预测效果更优。同时，2种模型的残差绝对值均主要集中在2 TECu以内，符合IGS给出的3 TECu的精度范围^[3]。

以2018年年积日201~230的TEC数据为例进行分析，表 2给出了同一时间段5 d内不同经纬度的均方根误差和平均相对精度的实验结果。从表中可以看出，同一时段相同位置处，组合模型的预测效果普遍比ARMA模型好；同一时段相同经度下，纬度越高，2种模型预测的平均相对精度越大，均方根误差越小；同一时段相同纬度下，不同经度间预测的平均相对精度和均方根误差没有明显变化。2018年为太阳活动低年，为验证EWT-ARMA组合模型在太阳活动高年的预测效果，用相同方法对2014年(太阳活动高年)的数据进行实验。表 3为2种模型在2014年年积日226~230的预测误差对比表。可以看出，2种模型在太阳活动高年的预测效果与太阳活动低年相同，组合模型的预测效果普遍优于ARMA模型的预测效果。

表 4给出了2种模型在太阳活动低年和太阳活动高年的4个时段5 d内的整体预测误差情况对比。结果显示，4个不同时段中，EWT-ARMA组合模型的预测效果均比单一ARMA模型更好。在太阳活动低年和太阳活动高年，ARMA模型预测的平均相对精度分别为83.0%和86.3%, 组合模型的则分别为87.8%和89.1%;ARMA模型预测的均方根误差分别为1.61和3.64, 组合模型预测的则分别为1.22和2.93, 证明组合模型比ARMA模型更优。对比太阳活动低年，2种模型在太阳活动高年预测时相对精度更高、均方根误差更大。

在表 4的基础上，给出4个时段前1 d内整体的预测误差对比(表 5)。结果表明，在前1 d内，太阳活动低年和太阳活动高年EWT-ARMA组合模型的平均相对精度比ARMA单一模型分别提高了7%和6.1%, 均方根误差则分别降低了0.82和1.71。对比组合模型5 d内的平均相对精度87.8%和89.1%, 前1 d内的平均相对精度为92.1%和94.5%, 表明组合模型在前1 d内的整体预测效果更好。

3 结语

针对电离层预测模型中ARMA模型预测精度较低、极值点附近预测效果较差的问题，本文提出利用EWT-ARMA组合模型对电离层TEC数据进行预测分析，并与ARMA模型预测效果进行比较。对太阳活动低年和太阳活动高年的各16组数据进行实验，得出以下结论。

1) 利用ETW方法对电离层数据进行分解，对分解的各分量进行ARMA预测，预测结果重构得到最终的TEC值。与ARMA预测方法对比表明，组合模型整体预测精度更高。

2) 太阳活动低年和太阳活动高年的实验结果表明，相较于ARMA模型的平均相对精度，本文组合模型5 d内的平均相对精度分别提高了4.8%和2.8%, 前1 d内组合模型的平均相对精度分别提高了7%和6.1%, 表明本文预测方法效果更好，在前1 d内的预测精度更优。

本文将EWT方法应用到非线性、非平稳的电离层信号研究当中，给类似特性的信号提供了一种新的研究思路。但ARMA时间序列预测模型本身存在一定的局限性，结合经验小波变换的同时也增加了预测的工作量。此外，电离层复杂的时空变化特性也给预测带来一定的影响，建立一个更加完善的电离层预测模型还有待进一步的研究。

致谢: 感谢IGS中心提供电离层TEC格网数据。