圆走航定位是控制点单点定位最有效的方法，可有效改善水平方向的定位精度^[1]，但垂直方向的定位精度较差^[2]。影响其定位精度最主要的因素是声速不确定性造成的测距误差^[3-5]，但声速变化的规律复杂，使控制点的定位结果分析成为难点。

声速的不确定性是由声速剖面测量的不准确性、声速在时间和空间上的随机变化引起的^[6]，可认为是由测距误差常数项、长周期项、短周期项及随机误差等4个部分组成^{[5, 7]}。Sun等^[8]研究发现，在背景声速剖面基础上，声速剖面面积的变化量与传播时间呈线性负相关，且测距误差常数项是由背景声速测量的不准确性引起的^[5]。有学者通过实验研究了测距误差长周期项和短周期项的变化规律^[9-10]，认为长周期项与温度日变化有关，短周期项规律复杂，可能是由海洋内波等随机现象造成的，难以参数化建模^[1]。为消除声速测距误差的影响，Zhao等^[11]在控制点坐标的解算模型中将其作为常数，并利用最小二乘法与坐标改正数一起作为待估参数求解，未考虑声速误差长周期项和短周期项的影响；同时发现，对2个连续历元的观测方程作差，既可以消除误差常数项，还可以消除误差长周期项，但误差短周期项依然存在。

本文针对圆走航定位声速测距误差造成控制点坐标解算不准确的问题，从控制点坐标改正数方程入手，分析不同声速测距误差对控制点三维坐标定位结果的影响，并设计相应的仿真实验对其进行验证。

1 声速测距误差对圆走航定位坐标解算的影响

圆走航定位是指测量船在以海底应答器为圆心、水深为半径的圆航线走航过程中不断开展声学测距，通过距离交汇原理确定海底应答器三维绝对坐标的方法。

针对圆走航定位确定单个海底控制点三维坐标的方法，分析声速相关性误差对坐标解算结果的影响，测距误差的数学表达式为^{[5, 8]}：

$ \delta {\rho _v} = - \frac{{{c_b}}}{{S \times {c_h}}} \times \rho \times \Delta S $

(1)

式中，c_b为海底声速值，S为背景声速剖面面积，指背景声速剖面相对于深度轴围成的面积，c_h为整个水层的Harmonic平均声速^[12]，ΔS为瞬时声速剖面与背景声速剖面的面积差。由于采用圆走航定位，斜距值ρ可认为近似相等，因此测距误差仅与ΔS有关。

认为圆走航的过程为等权观测，权矩阵P为单位阵，展开坐标改正数公式分析声速测距误差对坐标解算结果的影响：

$ \begin{array}{l} {\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}} = {({\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}})^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{L}} = {({\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}})^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\delta {\rho _v} = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\sin \gamma \cdot \cos {\beta _1}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\sin \gamma \cdot \cos {\beta _i})}^2}} }}}&{\frac{{\sin \gamma \cdot \cos {\beta _2}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\sin \gamma \cdot \cos {\beta _i})}^2}} }}}& \cdots &{\frac{{\sin \gamma \cdot \cos {\beta _n}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\sin \gamma \cdot \cos {\beta _i})}^2}} }}}\\ {\frac{{\sin \gamma \cdot \sin {\beta _1}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {(\sin \gamma \cdot \sin {\beta _i})} }}}&{\frac{{\sin \gamma \cdot \sin {\beta _2}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {(\sin \gamma \cdot \sin {\beta _i})} }}}& \cdots &{\frac{{\sin \gamma \cdot \sin {\beta _n}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {(\sin \gamma \cdot \sin {\beta _i})} }}}\\ {\frac{{\cos \gamma }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\cos \gamma )}^2}} }}}&{\frac{{\cos \gamma }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\cos \gamma )}^2}} }}}& \cdots &{\frac{{\cos \gamma }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\cos \gamma )}^2}} }}} \end{array}} \right] \cdot \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {\rho _{v1}}}\\ {\delta {\rho _{v2}}}\\ \vdots \\ {\delta {\rho _{vn}}} \end{array}} \right] = \left[ {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\cos {\beta _i} \cdot \delta {\rho _{vi}}} \right)} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\sin \gamma \cdot \cos {\beta _i}} \right)}^2}} }}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\sin {\beta _i} \cdot \delta {\rho _{vi}}} \right)} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\sin \gamma \cdot \sin {\beta _i}} \right)}^2}} }}\frac{{\cos \gamma \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\delta {\rho _{vi}}} \right)} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\cos \gamma )}^2}} }}} \right] \end{array} $

(2)

根据测距误差表达式可知，圆走航定位中背景声速误差可认为是常数项，则：

$ {\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}} = {\left[ {\frac{{\delta {\rho _{vb}} \cdot \sin \gamma \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\cos } {\beta _i}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\sin \gamma \cdot \cos {\beta _i})}^2}} }}\frac{{\delta {\rho _{vb}} \cdot \sin \gamma \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\sin } {\beta _i}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\sin \gamma \cdot \cos {\beta _i})}^2}} }}\quad \frac{{n \cdot \delta {\rho _{vb}} \cdot \cos \gamma }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\cos \gamma )}^2}} }}} \right]^{\rm{T}}} $

(3)

因为$\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\cos {\beta _i}} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\sin {\beta _i}} \right)} = 0$, 则水平方向的坐标改正数为0。由此可得，背景声速剖面误差不会对控制点水平坐标产生影响，只对垂直坐标有影响。

受温度日变化及海洋内波的影响，声速剖面面积差不断变化，如果认为这种变化近似为正弦函数，则周期性测距误差δρ_vp可表示为：

$ {\delta {\rho _{vp}} = {k_p} \cdot \Delta {S_0} \cdot \sin ({\omega _v} \cdot t + {\varphi _v})} $

(4)

$ {{k_p} = \frac{{{c_b} \cdot \rho }}{{S \cdot {c_h}}}} $

(5)

式中，ω_v为声速剖面面积差变化的角速率，φ_v为初始相位角，t为测量过程经过的时间，ΔS₀为声速剖面面积变化的振幅。将式(4)代入式(2)，坐标改正数的向量变为：

$ {\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{k_p} \cdot \sin \gamma \cdot \Delta {S_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {(\cos {\beta _i} \cdot \sin (} {\omega _v} \cdot t + {\varphi _v}))/\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\sin \gamma \cdot \cos {\beta _i})}^2}} }\\ {{k_p} \cdot \sin \gamma \cdot \Delta {S_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {(\sin {\beta _i} \cdot \sin (} {\omega _v} \cdot t + {\varphi _v}))/\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\sin \gamma \cdot \cos {\beta _i})}^2}} }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {k_p} \cdot \sin \gamma \cdot \Delta {S_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {(\cos \gamma \cdot \sin (} {\omega _v} \cdot t + {\varphi _v}))/\sum\limits_{i = 1}^n {{{(\cos \gamma )}^2}} } \end{array}} \right] $

(6)

式中，k_p、ΔS₀和sinγ均为确定的常数。求和符号内的式子与声速剖面面积及测量船位置变化有关，因此研究周期性测距误差对坐标改正数的影响需要了解求和符号内式子的性质，若将离散的观测点看作连续的函数，则求和符号内的式子可写为：

$ f(t) = \int_0^{{T_s}} {\sin } \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_c}}} \cdot t} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_v}}} \cdot t + {\varphi _v}} \right){\rm{d}}t $

(7)

式中，T_c为测量船走航一圈花费的时间，T_s为测量过程花费的总时间，是T_c的整数倍。令

$ g(t) = \sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_c}}} \cdot t} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_v}}} \cdot t + {\varphi _v}} \right) $

(8)

根据积化和差公式，式(8)可写为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {2g(t) = \cos \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }} \cdot t \cdot \left( {\frac{1}{{{T_c}}} + \frac{1}{{{T_v}}}} \right) + {\varphi _v}} \right) - }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \cos \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }} \cdot t \cdot \left( {\frac{1}{{{T_v}}} - \frac{1}{{{T_c}}}} \right) + {\varphi _v}} \right)} \end{array} $

(9)

因为初始相位角不影响积分的结果，将g(t)代入积分公式时可以去掉φ_v。式(7)可改为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {2f(t) = \int_0^{{T_s}} {\cos } \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\left( {\frac{{{T_c} \cdot {T_v}}}{{{T_c} + {T_v}}}} \right)}} \cdot t} \right){\rm{d}}t - }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int_0^{{T_s}} {\cos } \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\left( {\frac{{{T_c} \cdot {T_v}}}{{{T_c} - {T_v}}}} \right)}} \cdot t} \right){\rm{d}}t} \end{array} $

(10)

令${T_m} = \frac{{{T_c} \cdot {T_v}}}{{{T_c} + {T_v}}}, {T_n} = \frac{{{T_c} \cdot {T_v}}}{{{T_c} - {T_v}}}$。若T_v为测距误差周期项的周期，为使f(t)的积分为0，T_s应为T_m和T_n的整数倍。设T_s=k_c·T_c，T_c=k_v·T_v，T_s与T_m和T_n的比值分别为η_m和η_n，则：

$ {\eta _m} = \frac{{{T_s}}}{{{T_m}}} = \frac{{{k_c} \cdot {k_s} \cdot {T_v}}}{{\frac{{{k_v}}}{{{k_v} + 1}} \cdot {T_v}}} = {k_c}{k_v} + {k_c} $

(11)

$ {\eta _n} = \frac{{{T_s}}}{{{T_s}}} = \frac{{{k_c} \cdot {k_v} \cdot {T_v}}}{{\frac{{{k_v}}}{{{k_v} - 1}} \cdot {T_v}}} = {k_c}{k_v} - {k_c} $

(12)

由k_c的定义可知，其必为整数，因此η_m和η_n为整数的条件是k_ck_v为整数。当η_m和η_n同时为整数时，函数f(t)为0，即水平坐标y不受周期性误差的影响。但当k_c=k_v=1时，f(t)函数前一项积分为0，后一项不为0，此时水平坐标y的解算结果不为0。

水平方向坐标x的推导过程与y方向相同，结论也相同。对于垂直方向，被积函数为：

$ g(t) = \sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_v}}} \cdot t + {\varphi _v}} \right) $

(13)

通过相同的推导过程可知，要使垂直方向坐标z的改正数为0，需要T_v和T_s满足：

$ {{T_s} = {\eta _s} \cdot {T_v}} $

(14)

$ {{\eta _s} = {k_c} \cdot {k_v}} $

(15)

式中，η_s必须为整数。

2 仿真实验分析

通过2个仿真实验来验证本文的结论。设计水深为500 m，测量船以海底应答器为圆心进行圆走航，走航半径等于水深，航速为3 m/s。测量船每5 s获得1个采样点，测距随机误差的精度为5 cm，测量船水平定位精度为5 cm，垂直定位精度为10 cm。

在仿真实验1中，测距误差只包含0.2 m的误差常数项和随机误差。假设测量船分别走航1圈和2圈，控制点坐标的解算结果见表 1(单位m)。

表 1与理论推导的结果一致，因此测距误差常数项不会对水平方向的计算结果产生影响，只影响垂直方向的结果，且增加观测量对坐标解算结果的改善不明显。

在仿真实验2中，测距误差包含周期项和随机项，周期项用正弦函数表示，振幅为0.2 m，初始相位为π/6，周期分别为走航一圈花费时间的1倍、1.2倍及1.5倍。同样假设测量船分别走航1圈和2圈，控制点坐标的解算结果见表 2(单位m)。

由表 2可知，当k_c=k_v=1时，测距误差周期项对水平方向坐标有影响，但垂直方向满足式(14)、(15)，不会产生影响；当k_c=1，k_v=1.5时，η_m、η_n和η_s分别为2.5、0.5和1.5，测距误差周期项对水平方向和垂直方向坐标均有影响；而当k_c=2时，η_m、η_n和η_s分别为5、1和3，测距误差周期项不会影响水平方向和垂直方向坐标；k_v=1.2时，无论k_c=1或2，η_m、η_n和η_s均不为整数，测距误差周期项对水平方向和垂直方向坐标均有影响；当k_v=2时，无论k_c=1或2，η_m、η_n和η_s均为整数，测距误差周期项不会对水平方向和垂直方向坐标产生影响。该结果充分验证了理论推导的正确性。

基于以上的研究分析可以发现，海水的状态信息，尤其是声速剖面在观测时间段内的变化信息，对圆走航定位方法精确确定海底控制点坐标至关重要。因此，在声速剖面测量上建议采用连续观测的方式，尽可能捕获声速信息在时间上的变化。

3 结语

本文研究了声速相关性测距误差对圆走航确定水下控制点三维坐标的影响，通过理论推导和仿真实验分析得出以下结论：

1) 圆走航单点定位中测距误差常数项不会对水平方向的解算结果产生影响，但会影响垂直方向坐标；

2) 当满足式(11)、(12)和式(14)、(15)时，测距误差周期项不会对定位计算结果的水平方向和垂直方向坐标产生影响，但当k_c=k_v=1时，测距误差周期项会对水平方向坐标产生影响。