北斗卫星导航系统(BDS)作为我国自主研发的导航系统，按照“三步走”指导方针已于2020年提供全球定位、导航、授时服务^[1]，是首个全星座播发三频的卫星导航系统，提供B1、B2和B3三频信号。传统精密单点定位(PPP)通常采用双频消电离层模型(IF-PPP)。前期BDS PPP多采用GPS模型，并未考虑BDS异构星座和星内多路径等特性^[2]。近年来部分学者对三频信号组合及三频PPP进行了大量研究^[3-6]，但前期BDS PPP研究主要集中于静态或仿动态条件，缺乏对实际动态条件的验证。

本文首先分析BDS PPP三频消电离层模型(IF-BDS)原理，利用空间几何原理推导三频消电离层参数，并给出最小噪声直线的空间表达式，同时采用5组静态BDS三频观测量和1组实测跑车数据，对比分析三频与双频(IF-BDS)的定位精度和收敛速度。

1 北斗三频IF-PPP模型 1.1 观测模型

单台接收机观测北斗卫星时可获取伪距观测值P和载波相位观测值L，观测方程可表示为：

$ \left\{ \begin{array}{l} P_j^s = {\rho ^{\rm{s}}} + c{\rm{d}}{t_{\rm{r}}} - c{\rm{d}}{t^{\rm{s}}} + {T^{\rm{s}}} + {\gamma _j}{I^{\rm{s}}} + \\ {B_{{\rm{r}}, {P_j}}} - B_{{P_j}}^{\rm{s}} + \varepsilon _{{P_j}}^{\rm{s}}\\ L_j^{\rm{s}} = {\lambda _j}\Phi _j^{\rm{s}} = {\rho ^{\rm{s}}} + c{\rm{d}}{t_{\rm{r}}} - c{\rm{d}}{t^{\rm{s}}} + {T^{\rm{s}}} - \\ {\gamma _j}{I^{\rm{s}}} + {\lambda _j}N_j^{\rm{s}} + {B_{{\rm{r}}, {L_j}}} - B_{{L_j}}^{\rm{s}} + \varepsilon _{{L_j}}^{\rm{s}} \end{array} \right. $

(1)

式中，下标r和上标s分别为接收机和卫星；下标j为卫星载波频率(j=1, 2, 3)；λ_j为j频率的波长(单位m)；Φ为载波相位观测值(单位周)；ρ^s为站星几何距离(单位m)；c为光速(单位m/s); dt_r和dt^s分别为卫星接收机钟差和卫星钟差；T^s为对流层延迟(单位m)；γ_j=f₁²/f_j²；I^s为B1频率上的电离层延迟；N为整周模糊度浮点解(cycle)；B_{r, Pj}和B^s_Pj分别为接收机和卫星伪距硬件延迟(单位m)；B_{r, Lj}和B^s_Lj分别为接收机和卫星载波相位硬件延迟(单位m)；ε^s_Pj和ε^s_Lj分别为伪距观测噪声和载波相位观测噪声(单位m)。

北斗三频IF-PPP模型可表示为^[7]：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {P_{{\rm{IF}}}^{\rm{s}} = \alpha P_1^{\rm{s}} + \beta P_2^{\rm{s}} + \gamma P_3^{\rm{s}}}\\ {L_{{\rm{IF}}}^{\rm{s}} = \alpha L_1^{\rm{s}} + \beta L_2^{\rm{s}} + \gamma L_3^{\rm{s}}} \end{array}} \right. $

(2)

式中，Ps_IF和L_IF^s分别为消电离层伪距和载波相位(单位m)；α、β、γ为消电离层系数。

为保持站星距离及钟差参数不变，须满足条件式(3)，构成组合系数和为1的几何平面：

$ \alpha + \beta + \gamma = 1 $

(3)

消电离层具体表达式为：

$ \alpha + 1.672\;4\beta + 1.514\;5\gamma = 1 $

(4)

式(3)、(4)构成的平面在空间相交可得到一条直线，空间结构如图 1所示，即直线上的点满足无电离层及系数和为1。由于IF组合会扩大噪声作用，影响滤波稳定性，故本文选取最小噪声作为约束条件^[8]。

伪距和载波相位观测噪声可分别表示为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _{{P_{{\rm{IF}}}}}} = {\sigma _P}\;\;\;{\kern 1pt} \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2}} }\\ {{\sigma _{{L_{{\rm{IF}}}}}} = {\sigma _L}\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2}} } \end{array}} \right. $

(5)

最小噪声可表示为：

$ \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2}} \to \min $

(6)

求得相交直线空间表达式为：

$ \frac{x}{{ - 0.1579}} = \frac{{y + 9.5915}}{{ - 0.5145}} = \frac{{z - 10.5915}}{{0.6724}} $

(7)

则最小噪声的几何意义为所求空间直线上某坐标点到空间原点(0, 0, 0)的最短距离，表 1为三频消电离层系数。

1.2 观测量随机模型

本文采用高度角模型进行量化^[9]。顾及到北斗星座由GEO/IGSO/MEO不同轨道卫星组成，3种轨道卫星的伪距和载波相位观测精度不同，本文采用表 2中基准噪声进行研究。

2 参数处理策略

采用扩展卡尔曼滤波进行参数估计，PPP计算过程中对流层改正、潮汐改正、相对论效应、潮汐改正等与GPS模型相同，具体处理策略见表 3。

3 实验分析 3.1 静态实验

本文选取科廷大学5个静态观测站CUT0、CUT2、CUTA、CUTB、CUTC的BDS三频观测数据，时间为2019-12-01(doy335)，采样间隔为30 s，数据预处理时使用无几何组合和MW组合进行周跳探测与标记。位置误差由计算坐标与官方公布的参考坐标作差得到。

3.1.1 定位精度分析

图 2为5个测站BDS双频PPP和三频PPP的3D位置误差平均值、中位数和标准差，表 4为统计结果。

从图 2和表 4可以看出，三频PPP定位精度和稳定性优于双频PPP，三频PPP位置误差平均值为3.75 cm，标准差为2.06 cm，比双频PPP减小22.3%和19.8%。其中CUTB站三频PPP的误差标准差高于双频，其原因可能为B3频率发生小周跳或钟跳。

限于篇幅，本文仅给出CUTC站的位置误差序列图(图 3)。可以看出，三频PPP定位精度和收敛速度优于双频，但在4 h处三频PPP位置误差出现小幅增大，其原因为B3频点观测数据缺失或小周跳导致天向误差增大。

3.1.2 收敛时间分析

进一步分析三频观测量对收敛速度的影响，将收敛条件设置为三维位置误差连续5 min均小于10 cm。图 4为5个测站首次满足该条件的收敛时间，表 6为具体时间数值及统计结果。

从表 5可以看出，三频PPP平均收敛时间为109.6 min，较双频PPP缩短22.1%。其中CUTA站双频PPP收敛时间为274.5 min，明显高于平均时间，其原因为某一频率伪距出现异常，导致双频误差较大，收敛速度较慢，而三频模型可减少该频率粗差造成的影响，缩短收敛时间，体现出三频PPP具有一定优势。

3.2 动态实验

前期BDS PPP均基于静态数据进行仿动态研究，本文将采用1组实测跑车数据验证三频PPP在动态条件下的定位性能。实验GNSS接收机为司南M300 Pro，内置板卡可接收处理三系统八频(含BDS三频)信号，实验时长约75 min，采样间隔1 s，以三系统RTK解算坐标作为参考值。图 5、6为跑车轨迹以及卫星工作状态。

图 7为位置误差序列图，表 6为统计结果。分析可知，三频PPP位置误差为15.21 cm，标准差为12.89 cm，较双频PPP分别减小42.4%和26.8%，且收敛速度也优于双频PPP。

4 结语

基于空间几何原理计算得到三频消电离层模型参数，采用科廷大学5个静态观测站数据和1组实测动态跑车数据对比分析三频BDS PPP和双频BDS PPP的定位精度和收敛时间，得到以下结论：

1) 三频PPP的定位精度和收敛速度均明显优于双频PPP。静态条件下，三频PPP的位置误差为3.75 cm，标准差为2.06 cm，平均收敛时间为109.6 min，较双频PPP分别提升22.3%、19.8%、22.1%；动态条件下，三频PPP的位置误差为15.21 cm，标准差为12.89 cm，较双频PPP分别提升42.4%、26.8%，且收敛速度也更优。

2) 频率观测粗差会严重影响双频PPP的定位精度和收敛速度，三频PPP可有效减弱单频率粗差的影响，提高定位可靠性和稳定性。

3) 对比静态和动态实验可以看出，BDS PPP的位置误差较大，收敛速度慢而导致收敛时间较长，其原因为BDS卫星以GEO/IGSO为主，卫星几何结构变化较慢，伪距观测精度低，且GEO卫星精密星历精度比MEO卫星低。