大气延迟是全球导航卫星系统(global navigation satellite system, GNSS)的主要误差源之一，主要包括对流层延迟与电离层延迟，后者可通过无电离层组合进行消除。对流层延迟为非色散性延迟，与信号频率无关，无法通过不同频率信号的线性组合予以消除，一般采用模型进行改正。信号传播路径上的对流层延迟可以模型化为对流层天顶路径延迟(zenith path delay, ZPD)与映射函数(mapping function, MF)的乘积，其中映射函数是关于卫星高度角的函数，可将天顶延迟与任意方向的路径延迟联系起来^[1]。

国际GNSS服务组织(international GNSS service, IGS)自1997年开始提供全球监测站的ZPD产品。1997~2003年，多家分析中心的独立产品组合生成加权平均产品，该产品采用SINEX格式，时间分辨率为2 h，精度约为4 mm^[2]；从2003年起，组合产品被新的ZPD产品替代，该产品由美国喷气实验室(JPL)分析中心采用精密单点定位模式获取，其对流层映射函数选用NMF模型，提供时间分辨率为5 min的ZPD估计值文件，官方精度为1.5~5 mm，由于存在系统误差，实际误差略微偏大^[3-4]。2011年起美国海军天文台负责生产IGS最终对流层估计产品，精度约为4~7 mm^[5]。自2017-01 IGS使用ITRF2014参考框架后，IGS最终对流层估计产品由Bernese GNSS software 5.2使用IGS最终卫星轨道、卫星钟差产品以及地球自转参数作为输入，采用精密单点定位模式，由GMF对流层映射函数估计得到^[6-7]。

为研究对流层延迟时空差异性引起的单点定位偏差的不确定性，本文首先采用全球近似均匀分布的约100个监测站在2019年春分、夏至、秋分和冬至各1周的ZPD产品，分析其统计量(最大值、最小值、均值和STD值)与测站空间分布的相关性，归纳对流层延迟的全球时空变化规律；然后统计并评估这些站点上对流层延迟引起的单点定位偏差，为相关用户提供可靠的数据参考。

1 对流层天顶延迟的全球时空变化规律 1.1 数据来源

为分析对流层天顶延迟的全球时空变化规律，选取ITRF14核心监测站中约100个测站在2019年春分、夏至、秋分和冬至4个时间段内各1周的ZPD产品，所选取的测站数及年积日见表 1。由于ZPD与测站高程强相关，根据文献[8]中式(3)得到高度归算系数，采用指数函数进行高度归算，将各个测站不同高度处的ZPD归算至海平面，其中高程异常数据由国际重力场模型提供^[9]。

1.2 统计特性

按测站统计其ZPD在春分、夏至、秋分、冬至4个时间段内的均值(图 1)。由图可见，ZPD总体上与测站所处的地理位置和气候条件有关。ZPD与纬度相关性高于经度，赤道附近地区的ZPD总体大于中高纬度地区；在北纬地区，夏季和秋季期间的ZPD略大于冬季和春季。

为分析1周内ZPD的变化程度，分别统计4个时期内所有测站的ZPD最大值、最小值、极差(最大值—最小值)和STD的均值和浮动范围，结果见表 2(单位mm)。由表可知，1周内各测站ZPD最大值、最小值的浮动范围在2.2~2.7 m之间，均值约为2.4 m；极差均值约为0.05 m；STD均值约为0.01 m。相对而言，春季ZPD在1周内的极差最大值不足0.1 m，小于其他季节；STD均值也呈现出春季较小的特征。

为进一步分析各测站1周内ZPD极差的分布特性，按测站显示极差随纬度的分布情况(图 2(a))，并绘制4个时期的极差频数分布直方图(图 2(b))。从图 2(a)可以看出，1周内ZPD的极差大部分在0.1 m以内，相对而言，秋分和冬至期间极差值大于0.1 m的测站数略多于春分和夏至期间。根据图 2(b)进一步统计4个时期极差小于0.1 m的测站比例，春分、夏至、秋分、冬至时期分别为100%、97.32%、98.10%和94.55%。

进一步绘制各测站ZPD均值随纬度的变化情况(图 3)。由图可见，4个季节的变化趋势基本一致。在全球范围内ZPD的空间分布主要与纬度相关，总体上看，ZPD随纬度增加而减小，但其沿赤道不完全对称，在北半球的离散度较大。这可能是由于北半球海陆分布造成对流层延迟的空间变化较复杂，尤其是海陆交界处对流层延迟的变化比海洋和大陆更剧烈，而南半球以海洋为主，ZPD分布较为规律^[10]。

2 对流层延迟对GNSS单点定位的影响公式

为分析对流层延迟引起的定位偏差，基于单点定位的观测方程，针对是否考虑对流层延迟影响，根据最小二乘参数估计原则推导对流层延迟对GNSS单点定位的影响公式。

2.1 GNSS基本观测方程

GNSS伪距和载波相位观测方程通常如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} P_{r, f}^s = \rho _{r, f}^s + {t_r} - {t^s} + \alpha _r^s{T_z} + {\beta _f}\boldsymbol{I}_r^s + b_{r, f}^s + {\varepsilon _P}\\ \mathit{\Phi} _{r, f}^s = \rho _{r, f}^s + {t_r} - {t^s} + \alpha _r^s{T_z} - {\beta _f}\boldsymbol{I}_r^s + b_{r, f}^sN_{r, f}^s + {\varepsilon _\mathit{\Phi} } \end{array} \right. $

(1)

式中，P_{r, f}^s和Φ_{r, f}^s为接收机r在f(f = 1, …, k)频率接收到的卫星s(s= 1, …, j)的伪距和载波相位；ρ为卫星到接收机的几何距离；t_r和t^s为接收机钟差和卫星钟差引起的距离延迟；T_z为天顶对流层延迟，可通过映射函数α投影到信号传播路径上获得；I为视距总电子含量；频率相关系数β_f =40.3/f²；b_{r, f}^s和d_{r, f}^s分别为伪距和载波相位观测值与频率相关的信号延迟；N为长度单位的整周模糊度；ε_P和ε_Φ分别为伪距和载波相位的观测残差。

2.2 对流层延迟对单点定位模型参数估计的影响

对于单历元的单点定位，仅采用伪距观测值，其线性化的观测模型如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{l} = \boldsymbol{Ax} + \boldsymbol{e}\\ {\mathop{\rm var}} \left( \boldsymbol{e} \right) = {\boldsymbol{D_{ee}}} \end{array} \right. $

(2)

式中，l=〈P_{r, f}^s-ρ_{r, 0}^s〉为观测残余向量，‘〈*〉’代表元素‘*’形成的列向量；A =〈-u_{r, 0}^s 1〉为设计矩阵，u_{r, 0}^s为用户到卫星之间的视线单位向量；e为残差向量，D_ee为其协方差。传统单点定位模型中的未知参数通常包含4个要素，x=[δx δy δz t_r]^T，δx、δy和δz为3个坐标分量的改正值，t_r为接收机钟差。

由于参数之间具有相关性，实际无法估算T_z、I等大气延迟参数，因此在单点定位中一般根据对定位结果的精度需求采用经验模型修正对流层延迟的影响，当定位精度远低于对流层延迟的影响时，可忽略其影响。

对流层延迟通常可模型化为天顶路径延迟与映射函数的乘积。因此，在单点定位观测模型中，针对是否考虑对流层延迟，式(2)中观测残余向量可表示为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\boldsymbol{l}_0} = \left\langle {P_{r, f}^s - \rho _{r, 0}^s} \right\rangle \\ {\boldsymbol{l}_1} = \left\langle {P_{r, f}^s - \rho _{r, 0}^s - T_r^s} \right\rangle \end{array} \right. $

(3)

式中，T_r^s为视距范围内的对流层延迟改正。根据最小二乘参数估计原则，相应的未知参数估计可表示为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\boldsymbol{\hat x}}_i} = {\boldsymbol{D}_{{{\boldsymbol{\hat x}}_i}{{\boldsymbol{\hat x}}_i}}}{\boldsymbol{A}^{\rm{T}}}\boldsymbol{D_{ee}}^{ - 1}{\boldsymbol{l}_i}\\ {\mathop{\rm var}} \left( {{{\boldsymbol{\hat x}}_i}} \right) = {\boldsymbol{D}_{{{\boldsymbol{\hat x}}_i}{{\boldsymbol{\hat x}}_i}}} = {\left( {{\boldsymbol{A}^{\rm{T}}}\boldsymbol{D_{ee}}^{ - 1}\boldsymbol{A}} \right)^{ - 1}}, i = 0, 1 \end{array} \right. $

(4)

观测值的残余向量估计可表示为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\boldsymbol{\hat e}}_i} = \boldsymbol{R}{\boldsymbol{l}_i}\\ \boldsymbol{R} = \boldsymbol{l} - \boldsymbol{A}{\boldsymbol{D}_{{{\boldsymbol{\hat x}}_i}{{\boldsymbol{\hat x}}_i}}}{\boldsymbol{A}^{\rm{T}}}\boldsymbol{D_{ee}}^{ - 1}\\ {\mathop{\rm var}} \left( {{{\boldsymbol{\hat e}}_i}} \right) = {\boldsymbol{D}_{{{\boldsymbol{\hat e}}_i}{{\boldsymbol{\hat e}}_i}}} - {\boldsymbol{D_{ee}}} - \boldsymbol{A}{\boldsymbol{D}_{{{\boldsymbol{\hat x}}_i}{{\boldsymbol{\hat x}}_i}}}{\boldsymbol{A}^{\rm{T}}}, i = 0, 1 \end{array} \right. $

(5)

式(4)和(5)表明，对流层延迟的经验模型改正只修正参数估计的偏差，而不影响参数估计的协方差。因此，在单点定位中是否预先修正对流层延迟，所引起的未知参数和残余向量的估计偏差为：

$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta {{\boldsymbol{\hat x}}_1} = {{\boldsymbol{\hat x}}_0} - {{\boldsymbol{\hat x}}_1} = {\boldsymbol{D}_{{{\boldsymbol{\hat x}}_i}{{\boldsymbol{\hat x}}_i}}}{\boldsymbol{A}^{\rm{T}}}\boldsymbol{D_{ee}}^{ - 1}\boldsymbol{T}\\ \Delta {{\boldsymbol{\hat e}}_1} = {{\boldsymbol{\hat e}}_0} - {{\boldsymbol{\hat e}}_1} = \boldsymbol{RT} \end{array} \right. $

(6)

式(6)表明，若已知测站处的对流层天顶延迟，则无需GNSS实时观测量即可预测此时对流层延迟将引起的定位参数的估计偏差。

3 实验分析

为在全球范围内分析对流层延迟引起的单点定位偏差的时空差异性，将IGS提供的ZPD产品作为对流层天顶延迟已知量，采用GMF映射函数^[11]，将卫星截止高度角设为7°，根据式(6)计算春分、夏至、秋分、冬至4 d内各测站对流层延迟引起的定位偏差在N、E、U三个方向上的分量，并统计各测站1 d内定位偏差的均值和STD值，其频率分布和随纬度的变化曲线如图 4~7所示。

总体而言，对流层延迟引起的定位偏差在不同季节趋于一致。对流层延迟对N方向的影响在南北半球呈现反对称现象，在低纬度地区0~13°之间随纬度增大而增大，13°~30°之间随纬度增大而减小，30°~60°之间随纬度增大而增大，高于60°地区随纬度增大先减小后反向增大。对流层延迟对E方向的影响随纬度增加而降低，在南北半球大致对称。对流层延迟对U方向的影响在南北半球也大致对称，在0~30°区域随纬度增加而减小，在高于30°地区随纬度增加而增大，且北半球离散度略高。就STD值而言，N、E、U三个方向的分量在南北半球基本对称。在N方向上，赤道、低纬度和两极地区的STD值较小，在0~60°区域随纬度增加而增大，在高于60°区域趋势相反；在E方向上，从赤道向两极逐渐递减；U方向上的趋势与N方向相反，随纬度增加先减小后增大，在南北纬30°附近达到最小。

进一步统计4 d内所有测站对流层延迟引起的定位偏差在N、E、U三个方向上的均值及STD值的均值和浮动范围，结果见表 3(单位m)。从表中可以看出，1 d内对流层延迟引起的N方向定位偏差在±0.6 m以内，均值约为6 cm；E方向的定位偏差在-0.3~0.2 m之间，均值约为-4 mm；U方向的定位偏差在-14~-7 m之间，均值约为-11 m。就STD值而言，N方向浮动范围在0.6~1.7 m之间，均值约为1 m；E方向浮动范围为0.6~1.3 m，均值约为0.85 m；U方向浮动范围为1.9~3.6 m，均值约为2.8 m。总体而言，对流层延迟引起的定位偏差在U方向最为显著，均在10 m级，最大可达14.59 m，且均为负值；N方向的定位偏差为m级，最大为0.6 m；对流层延迟对E方向影响最小，最大为0.2 m。因此，对流层延迟引起的定位偏差在垂直方向明显大于水平方向。

4 结语

利用全球近似均匀分布的约100个IGS监测站在2019年春分、夏至、秋分和冬至各1周的ZPD产品分析全球对流层天顶延迟的时空变化特征，推导对流层延迟对单点定位偏差的影响公式，统计分析对流层延迟对GNSS单点定位的影响。研究结果如下：

1) 全球ZPD统计结果。在全球范围内ZPD的空间分布特征主要与纬度相关，其大小随纬度增加而减小，浮动范围为2.2~2.7 m，均值约为2.4 m；ZPD空间分布沿赤道不完全对称，在北半球的离散度略大；在北纬地区，夏季和秋季的ZPD大于冬季和春季。

2) 对流层延迟引起的定位偏差的统计结果。对流层延迟引起的单点定位偏差在U方向最大，达7~15 m；E方向最小，在±0.2 m以内；N方向的影响居中，在±0.6 m以内。

本文通过分析对流层延迟的时空变化规律和对流层延迟引起的单点定位偏差的全球时空特性，可为单点定位用户提供数据参考。受限于解算测站数和时间跨度，更精确的对流层延迟引起的单点定位偏差的时空特性仍有待继续研究。同时，进一步评估模型改正后残余对流层延迟引起的定位偏差的时空特性也值得关注。