模糊度固定是提高精密单点定位(precise point positioning, PPP)精度、稳定性和缩短收敛时间的有效手段。由于消电离层组合观测量波长很短，为了实现PPP的模糊度固定，需要将消电离层组合模糊度分解为宽巷和窄巷模糊度的线性组合，然后分别进行卫星端小数周偏差(fractional cycle bias, FCB)修正以恢复出它们的整数性质。与同时提供宽巷和窄巷FCB改正数不同^[1-6]，Collins等^[7-8]和Laurichesse等^[9-10]将窄巷FCB吸收到卫星钟差当中，即提供所谓的整数钟差^[3](包括解耦钟差)。整数钟差解算方法采用的观测模型和数据处理过程都与传统的钟差解算方法有显著差异。Geng等^[3]证明了FCB方法和整数钟差方法的等效性。笔者曾提出一种在解算钟差时进行星间单差整数模糊度固定，从而求得整数卫星钟差的方法^[11]。该方法的特点是所用的观测模型与传统钟差解算方法完全一致，数据处理也只是增加了星间单差模糊度固定过程。其中实现星间单差模糊度固定的关键是模糊度基准的选择和固定，但其基准模糊度选取策略并未考虑卫星跟踪中断的情况。本文将从双差模糊度的整数性质出发，证明星间单差模糊度固定理论的可行性。通过改进模糊度基准的选取策略，进一步完善星间单差模糊度固定方法，并应用于区域网情况下的整数卫星钟差解算。

1 整数卫星钟差解算法和基本过程

为了解算卫星钟差，通常采用消电离层组合伪距和载波观测量作为观测量，观测方程为^[12]：

$ \begin{array}{l} P_{\rm{r}}^{\rm{s}} = \rho _{\rm{r}}^{\rm{s}} + {\theta _{\rm{r}}} - {\theta ^{\rm{s}}} + \xi \\ L_{\rm{r}}^{\rm{s}} = \rho _{\rm{r}}^{\rm{s}} + {\theta _{\rm{r}}} - {\theta ^{\rm{s}}} + b_{\rm{r}}^{\rm{s}} + w_{\rm{r}}^{\rm{s}} + \varepsilon \end{array} $

(1)

式中，P_r^s和L_r^s分别为消电离层组合伪距和载波相位观测量，上标s和下标r表示对应的卫星和接收机；ρ_r^s为信号传播路径延迟，包括对流层延迟和相对论效应；w_r^s为相位缠绕效应；ξ和ε分别为伪距和相位的测量误差及模型化误差；θ_r和θ^s分别为吸收了伪距的设备时延的接收机和卫星钟差；b_r^s为消电离层组合非差模糊度参数，通常表示为^[11]：

$ \begin{array}{l} b_{\rm{r}}^{\rm{s}} = \frac{c}{{{f_i} + {f_j}}}\left( {\frac{{{f_i}}}{{{f_i} - {f_j}}}b_{{\rm{r}},i}^{\rm{s}} - \frac{{{f_j}}}{{{f_i} - {f_j}}}b_{{\rm{r}},j}^{\rm{s}}} \right) = \\ \frac{c}{{{f_i} + {f_j}}}\left( {\frac{{{f_i}}}{{{f_i} - {f_j}}}b_{{\rm{r}},w}^{\rm{s}} + b_{{\rm{r}},j}^{\rm{s}}} \right) \end{array} $

(2)

式中，$b_{{\rm{r}},*}^{\rm{s}} = N_{{\rm{r}},*}^{\rm{s}} + \frac{{{\beta _{\rm{r}}}_* - \beta _*^{\rm{s}} - \left( {{\alpha _{{\rm{r}}, * }} - \alpha _{_*}^{\rm{s}}} \right)}}{{{\lambda _*}}}$；*为频点i或j；α和β分别为伪距和载波的设备时延；N为载波相位整数模糊度；f为信号频率；c为真空中光的速度。通常称b_r, _w^s=b_r, _i^s-b_r, _j^s为宽巷模糊度，b_r, _j^s为窄巷模糊度。

文献[11]借鉴S基准^[13]以及整数钟差^[9]或解耦钟差^[7-8]解算的思想，通过选择和固定星间单差基准模糊度，恢复星间单差模糊度的整数性质。完成星间单差模糊度序贯固定后，可获得整数卫星钟差。

2 星间单差模糊度整数性质的恢复

显然，前文公式中b_r^s、b_r^s, w和b_r^s, j都不具有整数特性。但2台接收机对2颗卫星的双差消电离层组合模糊度(组合)可以表示为^[14]：

$ \begin{array}{c} b_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}} = \frac{c}{{{f_i} + {f_j}}}\left( {\frac{{{f_i}}}{{{f_i} - {f_j}}}b_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}w}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}} + b_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{{\rm{,}}_{\rm{j}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right){\rm{ = }}\\ \frac{c}{{{f_i} + {f_j}}}\left( {\frac{{{f_i}}}{{{f_i} - {f_j}}}N_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{{\rm{,}}_w}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}} + N_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}j}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right) \end{array} $

(3)

式中，$ \left( \cdot \right)_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}} = \left( \cdot \right)_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}} - \left( \cdot \right)_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}} = \left[ {\left( \cdot \right)_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}} - \left( \cdot \right)_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right] - \left[ {\left( \cdot \right)_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}} - \left( \cdot \right)_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right]$表示双差算子。可见，消电离层组合双差模糊度是2个整数参数的线性组合。因此在获得$N_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}w}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}$和$ N_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}j}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}$的整数解之后，可以得到双差模糊度$b_{r1 - r2}^{s1 - s2} $的固定解。按照文献[11]的定义，如果1个参数或若干个参数的线性组合可以表示为若干个整数的线性组合，则称其具有整数性质，因此$b_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}$具有整数性质。

由此可知，星间单差模糊度本不具有整数性质，但如果选取构成双差模糊度$b_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}$的2个星间单差模糊度的其中之一作为基准进行固定，即

$ \tilde b_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}} = \frac{c}{{{f_i} + {f_j}}}\left( {\frac{{{f_i}}}{{{f_i} - {f_j}}}\left[ {\hat b_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}w}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right] + \left[ {\hat b_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{{\rm{,}}_j}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right]} \right) $

(4)

式中，$ \hat b_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}w}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}$和$\hat b_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{{\rm{,}}_j}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}$分别为宽巷和窄巷星间单差模糊度的估值; [·]表示取最近的整数，则另一个星间单差模糊度$b_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}$可表示为：

$ \begin{array}{c} b_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}} = \frac{c}{{{f_i} + {f_j}}}\frac{{{f_i}}}{{{f_i} - {f_j}}}\left( {\left[ {\hat b_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{{\rm{,}}_w}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right] + N_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{{\rm{,}}_w}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right)\\ + \frac{c}{{{f_i} + {f_j}}}\left( {\left[ {\hat b_{{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{{\rm{,}}_j}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right] + N_{{{\rm{r}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}{{\rm{,}}_j}}^{{{\rm{s}}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}{{\rm{s}}_{\rm{2}}}}} \right) \end{array} $

(5)

显然，$ b_{{r_1}}^{{s_1} - {s_2}}$也是2个整数参数的线性组合，也具有整数性质。可见，只要2个星间单差模糊度可以构成双差，则它们的(非)整数性质就可互相传递，那个被选作基准的星间单差模糊度就是基准模糊度，而如何选取基准模糊度是整个星间单差模糊度固定过程的关键。

对于被地面观测网连续观测的2颗卫星，只要任意选择1个星间单差模糊度作为基准，获得固定解，则所有可与其构成双差的星间单差模糊度理论上就都具有了整数性质，而这些模糊度又成为新的基准。依此类推，涉及这2颗卫星的所有星间单差模糊度都将具有整数性质。与S基准类似，每颗卫星只能唯一地被1个基准模糊度所代表^[13]。例如对于包含m颗卫星的星座，如果所有卫星都被观测网连续跟踪，只要任意选出1组独立的卫星对，共m-1对，然后分别从这些卫星对中各选出1个星间单差模糊度作为基准模糊度进行固定，则全网所有的星间单差模糊度都将恢复整数性质。如果1组基准模糊度能够使全网的星间单差模糊度都恢复整数性质，则认为该模糊度基准是完备的。

3 改进的模糊度基准选取方法

如果某一时刻所有接收机对某一卫星的观测都发生中断(包括周跳)，中断后涉及该星的星间单差模糊度就无法与中断前的构成双差，因此中断前(或后)的星间单差模糊度的整数性质无法传递到中断后(或前)的星间单差模糊度。对于该卫星，必须在中断前后分别确定1个星间单差模糊度作为基准。在区域观测网条件下，对卫星的跟踪总是不可避免地会发生中断，如果仅以卫星作为考察对象来选择基准模糊度，获得的基准是不完备的，即无法保证全网所有的星间单差模糊度都能恢复整数性质。显然，这必将大大降低模糊度固定的成功率，对应的卫星钟差也不能支持用户进行单台接收机的模糊度固定。

为此，我们定义：对于某一卫星的任意2个观测历元，如果至少共同对应1个非差模糊度参数，则称这2个历元是模糊度连续的；否则称这2个历元之间存在模糊度中断，没有发生模糊度中断的观测弧段称为模糊度连续弧段。对任意1颗卫星，发生模糊度中断前后应该被视为独立的2颗卫星。对于包含m颗卫星的观测网，如果每颗卫星发生1次模糊度中断，每1个模糊度连续弧段都应该唯一地被基准模糊度所代表，则全网需要有2m-1个独立的基准模糊度。为了便于理解，图 1示意了3个测站跟踪2颗卫星的情况。可以看出，整个弧段中，卫星1被测站1连续跟踪，仅有1个模糊度连续弧段；而卫星2存在2次模糊度中断，因此有3个模糊度连续弧段。对于这样的观测网，必须选出3个独立的星间单差模糊度作为基准，才能恢复出所有星间单差模糊度的整数性质。

在实际应用中，可以采用最小生成树方法进行基准模糊度的选取。具体过程为：在完成星间单差宽巷模糊度固定之后，将所有固定了宽巷的消电离层组合单差模糊度按照其标准差的升序排列，并标出每个星间单差模糊度对应的卫星和模糊度连续弧段。将每颗卫星的每个模糊度连续弧段视为图的顶点，星间单差模糊度视为图的边，其标准差视为边长，用Kruskal算法选出1组独立的包含最小标准差的星间单差模糊度作为基准。将这些基准模糊度进行固定之后，就可以按照文献[11]的方法进行独立星间单差模糊度的选取和序贯固定，并最终恢复出整数卫星钟差。

4 实验分析

为了验证以上方法，收集2017-01-01~21中国大陆构造环境监测网络(简称陆态网)观测站的GPS数据进行整数卫星钟差解算实验。测站分布如图 2所示，其中红色三角形表示用于解算卫星钟差的测站，共15个；其余测站用于快速静态PPP实验，共13个。钟差解算的处理弧长为1 d，将GPS卫星轨道固定到IGS最终解，站坐标固定于已知值，EOP参数采用IERS提供的最终产品；卫星和接收机的天线相位中心改正信息来自igs08.atx；测站的潮汐形变采用IERS2003协议；日月及行星历表采用JPL的DE405；对流层天顶延迟采用分段常数模型模拟，每2 h解算1个参数，每24 h估计1组水平梯度参数，先验值采用Saastamoinen模型计算，映射函数采用GMF模型计算^[15]；GPS卫星姿态模型采用Kouba^[16]提出的简化模型。消电离组合伪距和相位的先验精度分别设为2 m和2 cm，并根据高度角e按照函数sin²e进行降权。在模糊度固定时，仅对固定成功概率大于99.9%且小数部分绝对值小于0.15周的单差模糊度进行固定。分别采用文献[11](旧方法)和本文的方法(新方法)进行基准模糊度的选取。

图 3为不同方法得到的基准模糊度的数量和独立星间单差模糊度成功固定的比例。可以看出，在新方法中，每个处理弧段的基准模糊度约有60个，而在旧方法中，只选出和固定了30个左右，仅约为总数的一半。采用新方法后，独立星间单差模糊度成功固定的比例从约60%提高到约90%。

图 4为基准模糊度固定之后，独立单差模糊度小数周的分布。可以看出，在采用新方法时，窄巷星间单差模糊度小数周更集中地聚集于0周围，小数周小于0.1的比例从67.78%提高到90.55%。

利用新方法解算得到的卫星钟差和宽巷FCB产品对年积日7~13期间13个测站进行30 min的快速静态PPP解算。将天观测文件切分为48个30 min弧长的观测文件分别进行解算，如果数据完整，每天每个测站有48个解。由于观测时间较短，单差模糊度之间存在较大的相关性，在固定了宽巷单差模糊度之后，选出具有最大固定成功概率的窄巷单差模糊度集合，然后采用LAMBDA算法进行搜索，以ratio>3作为判定是否进行窄巷模糊度固定的依据。如果候选的独立单差模糊度集合无法全部被固定，则剔除成功概率最小的一个，重新进行搜索，直到ratio值满足条件为止。在这一过程中，如果可固定的单差模糊度数量小于4个，则直接采用模糊度浮点解。本次实验中，成功实现固定解的比例为96.00%，其中有91.48%的解成功固定了所有单差模糊度。

将模糊度固定解及对应实数解的PPP结果分别与已知坐标进行比较，按测站统计N、E、U方向的RMS(仅统计偏差绝对值小于0.2 m的结果)，如图 5所示。可以看出，在N方向，浮点解时，各测站的RMS都大于0.01 m；而固定解时，多数测站的RMS值小于0.01 m，提高幅度在48.7%~84.0%。在E方向，浮点解的RMS为0.03~0.07 m；固定解中，除了3个测站之外都小于0.01 m，改善幅度在64.0%~93.8%。在U方向，浮点解的RMS为0.035~0.08 m；固定解的RMS都小于0.04 m，改善幅度为40%~68%。图中结果已剔除了绝对偏差大于0.2 m的结果。其中N方向的剔除率为0；E方向浮点解的最大剔除率为3.1%，固定解小于2%；U方向浮点解的最大剔除率为6.5%，固定解为3%。

图 6给出模糊度浮点解和固定解情况下PPP定位偏差的分布。可以看出，模糊度固定之后，3个方向的定位偏差明显更加集中于0附近，N和E方向尤为显著。对偏差小于0.2 m的定位结果进行统计表明，N、E、U方向的RMS从0.018 4 m、0.049 5 m、0.054 6 m分别提高到0.007 3 m、0.009 8 m、0.023 3 m，改进幅度分别为60.33%、80.20%、57.33%。图中的数值表示各分量的定位偏差小于0.2 m的比例。可以看出，与浮点解相比，固定解中，E和U方向偏差小于0.2 m的比例分别增加了0.62%和1.00%。

5 结语

本文基于双差模糊度的整数性质，证明通过固定基准模糊度可以恢复出星间单差模糊度的整数性质，同时提出模糊度连续弧段的概念和基于最小生成树算法的基准模糊度选取策略。利用本文的方法，即使在卫星跟踪发生中断的情况下，也可以选出完备的星间单差模糊度基准，从而提高星间模糊度固定的成功率。

采用陆态网的GPS观测数据进行钟差解算实验。结果表明，与旧方法相比，新方法获得的基准模糊度的数量增加近1倍。基准模糊度固定之后，窄巷模糊度成功固定的比例从60%左右提高到90%左右。将整数卫星钟差用于30 min弧长的快速静态PPP解算，获得固定解的比例为96.00%。模糊度固定之后，定位结果N、E、U方向的RMS分别达到0.007 3 m、0.009 8 m、0.023 3 m，与浮点解结果相比，分别提高60.33%、80.20%、57.33%。