随着星载GPS观测技术在TOPEX/Poseidon卫星上的成功应用，SST(satellite-to-satellite tracking)观测方式展现出巨大的潜力，逐步成为低轨卫星轨道确定的重要手段之一。特别是近年来各种观测任务的低轨卫星相继发射，如CHAMP、GRACE和SWARM等，其精密定轨精度均达到cm级^[1-3]。在低轨卫星精密定轨中，地球重力变化、电离层延迟等可以通过精确的物理模型或观测值组合来消除或削弱，剩下的误差主要包括天线相位缠绕、天线相位中心误差和观测噪声等^[4]。其中，天线相位中心误差虽然在卫星发射前会在地面进行标定，但由于低轨卫星在200~2 000 km高度高速飞行，所处的空间环境与地面差异较大，接收机天线易受到近场多路径、环境多路径等因素的影响，因此地面标定值与实际数值差异较大，无法满足精密定轨的要求^[5]。

目前，LEO卫星接收机相位中心在轨改正主要使用直接法和残差法。直接法最早被用于改善JASON-1卫星的天线定轨精度^[6]，随后Jäggi等^[2]对GRACE卫星使用直接法估计PCV模型，结果表明，虽然直接法不易受接收机钟差、模糊度等参数的影响，但其直接将PCV视为未知数，计算量大，对计算机性能要求较高。残差法最早由Haines等^[7]提出，并被成功应用于JASON-1卫星，其主要思想就是对简化动力学定轨后的载波相位残差进行迭代计算，估计相应的PCV模型，由于此方法易于实现，被广泛应用于GOCE、GRACE、COMSMIC等LEO卫星的天线相位中心在轨标定^[8-10]。

SWARM是ESA(European Space Agency)首个用于地球区域磁场信息探测的低轨卫星星座，该星座包含3颗卫星，其中SWARM-A和SWARM-C在高度为450 km的轨道面飞行(类似于GRACE卫星)，而SWARM-B则在高度为530 km的轨道面飞行，由于其接收机相同且空间分布特殊，对其天线相位中心误差进行研究具有重要意义。

本文使用SWARM卫星星载双频GPS数据进行简化动力学定轨，估计接收机天线PCO，并基于所得到的载波相位残差对PCV误差进行建模，通过载波相位残差分析、与精密轨道比较和SLR检核3种手段来分析天线相位中心误差对轨道精度的影响，最后通过比较不同PCV格网模型的定轨精度，给出有益结论。

1 天线相位中心校正 1.1 载波相位残差表达式

对于双频GPS载波相位观测值来说，其消电离层组合表达式为^[2]：

$ \begin{matrix} L_{\text{IF}}^{j}({{t}_{i}})=\frac{f_{1}^{2}}{f_{1}^{2}-f_{2}^{2}}L_{1}^{j}({{t}_{i}})-\frac{f_{2}^{2}}{f_{1}^{2}-f_{2}^{2}}L_{2}^{j}({{t}_{i}})= \\ {{\rho }^{j}}({{t}_{i}}, {{\tau }^{j}})+c\delta {{t}_{r}}({{t}_{i}})+{{\lambda }_{\text{IF}}}A_{\text{IF}}^{j}-c\delta \rho _{\text{clk}}^{j}({{t}_{i}}, {{\tau }^{j}})+ \\ \delta {{\rho }_{\text{rel}}}({{t}_{i}})+\delta \rho _{\text{GPS}}^{j}({{t}_{i}})+\delta {{\rho }_{\text{PCO, IF}}}({{\mathrm{e}}^{j}})+ \\ \delta {{\rho }_{\text{PCV, IF}}}({{\mathrm{e}}^{j}})+{{\varepsilon }^{j}}({{t}_{i}}) \\ \end{matrix} $

(1)

式中，L_IF为消电离层组合相位观测值，t_i为信号接收时间，上标j表示第j颗卫星，f₁、f₂为频率，L₁、L₂为不同频率的载波相位观测值，ρ^j(t_i，τ^j)为LEO卫星与GPS卫星间的几何距离，c为光速，δt_r为LEO卫星接收机钟差改正，λ_IF、A_IF^j为消电离层组合波长和模糊度，τ^j为信号路径延迟，cδρ_clk^j为GPS卫星钟差改正，δρ_rel为相对论改正，δρ_GPS^j为GPS卫星天线相位中心改正，δρ_{LEO, IF}为接收机天线消电离层组合PCO改正，δρ_{PCV, IF}为接收机天线消电离层组合PCV改正，ε^j为测量噪声。

如式(1)所示，在历元t_i时刻加入各种误差改正(不考虑天线相位中心变化改正)的距离计算值为Z_IF^j(t_i)，则载波相位残差φ(e ^j)表达式为：

$ \begin{matrix} \varphi ({{\mathrm{e}}^{j}})=L_{\text{IF}}^{j}({{t}_{i}})-Z_{\text{IF}}^{j}({{t}_{i}})= \\ \delta {{\rho }_{\text{PCV, IF}}}({{\mathrm{e}}^{j}})+{{\varepsilon }^{j}}({{t}_{i}}) \\ \end{matrix} $

(2)

1.2 PCO和PCV模型计算

SWARM卫星接收机天线相位中心改正所引起的等效距离误差Δρ(α, z)可表示为^[5]：

$ \Delta \rho (\alpha , z)=\Delta r\cdot \mathrm{e}+\text{PCV}(\alpha , z) $

(3)

式中，Δρ(α, z)为卫星与接收机间几何距离总的天线相位中心误差，α、z分别为星固坐标系下GPS卫星的方位角与天顶距，Δr (即PCO)定义为接收机天线参考点与平均天线相位中心(MAPC)之间的误差改正，e为GPS卫星与接收机间的单位方向向量，PCV(α, z)为MAPC与瞬时天线相位中心间的误差改正。

计算天线相位中心误差时，首先要求得天线相位中心偏差改正，将PCO作为未知参数引入观测方程中，与轨道等参数同时求解。根据最小二乘原理，求得多天PCO数值，取平均值作为PCO改正值：

$ \int_{\alpha =0}^{2\pi }{\int_{z=0}^{{{z}_{\text{max}}}}{\Delta }}\rho (\alpha , z)\text{sin}z\partial z\partial \alpha =\text{min} $

(4)

式中，z_max为经验值^[11]。

由于在不同观测历元下GPS卫星和LEO卫星间的方位角和天顶距是不相同的，所以载波相位残差φ(e ^j)与方位角和天顶距存在一一对应关系，可以表示为φ(α, z)。假设格网空间间隔为5°，以格网节点为中心，计算±2.5°矩形范围内所有相位残差的平均值作为该点的PCV模型值：

$ \text{PCV} (\alpha ,z)=\frac{\sum\limits_{\alpha =2.5°}^{\alpha +2.5°}{\sum\limits_{z-2.5°}^{z+2.5°}{\varphi (\alpha ,z)}}}{n} $

(5)

式中，n为矩形范围内所有残差点的个数。

虽然PCV模型值并不完全等于真实的PCV值，如式(2)所示，差分后的载波相位残差φ(α, z)主要由接收机天线消电离层PCV改正和测量噪声组成，但实验证明，大部分的测量噪声会在长时间(如1个月)的PCV模型统计值中被平滑掉^[9]。

2 定轨模型及策略 2.1 数据准备及定轨方案

高精度的GPS卫星精密星历和卫星钟差是低轨卫星精密定轨的关键，本文采用CODE(Center for Orbit Determination in Europe)中心提供的精密星历、钟差和地球自转参数文件。GPS观测数据和卫星姿态由ESA(https://earth.esa.int)提供，时间为2017-04-25~08-12。由于SWARM卫星轨道高度在500 km左右，受电离层延迟和大气阻力影响较大，本文对双频星载GPS观测数据进行线性组合，消除电离层延迟的影响，并通过设置伪随机参数，削弱大气阻力和其他非保守力的影响。其余动力模型参数设置与其他LEO卫星相似，具体信息见表 1^[12]。

本文所使用的定轨平台为基于BERNESE 5.2的二次开发版本，针对天线相位中心误差研究设计3种定轨方案：1)方案1，不使用PCO和PCV改正，直接对星载GPS数据进行解算；2)方案2，仅使用天线PCO信息进行简化动力学定轨；3)方案3，同时使用载波相位残差解算得到的PCV模型和PCO信息进行轨道计算。最后，使用载波相位残差分析、事后科学轨道比较和SLR检核3种手段来比较3种方案对轨道精度的影响。

2.2 PCV模型

将多天(本文取30 d)的PCO平均值作为SWARM卫星的PCO改正信息，然后将其引入到简化动力学定轨中，得到100 d的载波相位残差，最后利用残差法通过迭代得到5°×5°和1°×1°PCV格网模型，PCO和PCV均定义在天线固定参考系(AFS)。如图 1和2所示，3颗卫星的PCV模型差异很小，这是因为3颗卫星采用的是相同类型的GPS接收机，卫星构造也大致相同。并且数值较大的PCV主要集中在高度角较低的区域，因为高度角越低，观测数据质量越差，解算的载波相位残差也随之增大。随着分辨率的增加，估计的模型更加精细，计算效率也有所降低。

3 定轨结果分析 3.1 载波相位残差分析

载波相位残差包含模型化的误差和未被模型化的误差，因此计算相位残差RMS是内符合精度评估的主要手段之一，所采用的力学模型与实际情况越符合，观测值残差RMS也就越小，载波相位残差就越接近噪声水平。对3种方案定轨后的载波相位残差进行分析，如图 3所示，当不进行天线相位中心误差改正时，SWARM三颗卫星平均载波相位残差RMS值为10.1 mm；当仅进行PCO改正时，残差RMS值为5.58 mm，减少了44.7%；当使用PCO信息和PCV模型时，残差RMS值为4.38 mm。对比3种方案可以看出，PCO改正对LEO精密定轨载波相位残差影响比较大，PCV改正影响略小，仅为1.2 mm。这一结论同样可以从后续的事后科学轨道和SLR检核中得到验证。

3.2 事后科学轨道检核

使用ESA提供的简化动力学轨道(定轨精度优于2 cm)作为参考轨道^[3]，将3种方案解算得到的100 d简化动力学轨道与其进行比较，以SWARM-A卫星为例，径向、切向和法向残差RMS如图 4所示，表 2(单位cm)列出SWARM三颗卫的星定轨结果统计值。

从图 4和表 2可以看出：

1) PCO改正后，SWARM卫星3个方向平均RMS值分别提升47%、48%和66%，其中径向和切向的精度提升幅度较小，仅为8~12 mm，而法向精度改善最大，在27 mm左右。这是因为，法向的改正和太阳方向向量与卫星轨道面之间的夹角有关。Ijssel等^[3]研究表明，在SWARM卫星精密定轨中，存在非重力模型误差，如果不进行天线相位中心改正，会对法向精度造成cm级的影响。

2) PCV改正后，SWARM三颗卫星各个方向的精度提升幅度明显减小，只有3~4 mm的改进。这是因为，大部分的天线相位改正误差都被PCO信息所吸收，可见PCO改正对SWARM卫星精密定轨影响更大。

3) 从整体上来看，3种方案中径向轨道残差RMS序列比较平滑，无较大的波动，而切向轨道RMS波动略微明显，这可能是因为切向上的大气阻力未能很好地模型化^[4]。

3.3 SLR轨道检核

SLR检核是目前国际上轨道验证最精确的手段，其核心思想就是利用星载GPS观测数据计算得到的轨道数据反算站心距，然后与激光测得的站心距进行对比，测距精度可达1 cm^[13-14]，相关数据可从CDDIS上下载(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/pub/slr/data/npt_crd/)。本文利用SWARM卫星100 d的SLR观测数据进行轨道检核，其中SWARM-A卫星共有17个测站10 096个NP(normal point)数据，SWARM-C有18个测站11 483个NP数据，而SWARM-B卫星则有19个测站25 916个NP数据。因为SWARM-A和SWARM-C在同一轨道面上飞行，而在瞬时观测历元同一SLR测站不能同时观测两颗卫星，所以在相同观测弧段内，SWARM-A和SWARM-C观测数据有明显差别。对于SWARM-B卫星来说，可能观测优先级比其他两颗卫星要高，所以观测数据个数是另外两颗卫星的2倍左右，相应的SLR测站坐标归算到ITRF2008框架下。

从表 3(单位cm)可以看出，当使用方案1时，SLR检核RMS平均值为4.97 cm，方案2较方案1精度提升49.9%，说明是否使用PCO信息对SWARM卫星精密定轨精度的影响很大。当使用方案3时，SWARM三颗卫星SLR检核RMS值精度提升2 mm左右。结合§3.2分析结果进一步说明，PCO信息在天线相位中心误差改正中占很大的权重。图 5~7展示了考虑PCO和PCV改正时各个SLR观测站的RMS值，其中7090站和7810站的观测数据最多。可以发现，对于SWARM三颗卫星，这两个SLR站检核结果稳定在20~30 mm。7119站虽然在100 d的观测时段内仅有不到70个数据，但综合分析各SLR测站结果，其检核精度最高，RMS值仅为13 mm。考虑PCO和PCV模型后SWARM简化动力学轨道定轨精度符合预期要求，且所有SLR测站RMS平均值(2.29 cm)与ESA发布的事后科学轨道精度(SLR检核优于2 cm)十分接近。

3.4 不同PCV模型的比较

ESA发布的事后科学轨道是Delft大学利用GHOST软件计算得到，在考虑PCV模型的情况下，简化动力学轨道精度优于2 cm^[3]。SWARM卫星接收机的改动从卫星发射算起，大约历时2 a才最终完成^[15]，而在卫星飞行期间其轨道高度是不断降低的，且SWARM-A和SWARM-C轨道高度下降速率较快，SWARM-B下降速率较慢，这就导致卫星所处的空间环境随时间发生改变，所以重新进行在轨PCV模型研究是必要的。

表 4(单位cm)列出了分别使用Delft大学发布的和本文估计的PCV模型下SWARM卫星简化动力学轨道的检核结果，可以发现，相对于Delft大学发布的PCV模型，本文使用的在轨PCV模型精度更高，但仅有1.1~1.5 mm提升，所以在实际轨道解算中，可以根据定轨精度的需要选择合适的PCV模型。对比1°×1°和5°×5°格网模型精度可以发现，随着模型的更加细化，轨道精度并没有明显提高，且更精细的模型意味着需要耗费更多的时间，这将降低星载GPS数据的解算效率，袁俊军等^[16]通过对资源三号卫星进行研究给出了相同的结论。所以在SWARM卫星数据解算中，5°×5°PCV格网模型已能满足定轨工作需要，这也给后续的低轨卫星(如GRACE Follow-On)精密定轨研究提供了参考。

4 结语

本文基于SWARM卫星星载GPS数据，首先对低轨卫星GPS接收机天线相位模型和PCV估计方法进行了详细说明，并利用最小二乘原理计算PCO改正信息，使用载波相位残差估计在轨PCV模型；然后对天线相位中心误差进行简化动力学精密定轨实验；最后通过观测值残差分析、与事后科学轨道作差和SLR检核分析定轨结果，得到以下结论：

1) 通过观测值残差RMS可以看出，不进行天线相位中心误差改正时，SWARM三颗卫星的平均载波相位残差RMS值最大；仅进行PCO改正时，残差RMS减少了44.7%，对LEO精密定轨精度影响比较大；使用PCO信息和PCV模型时，定轨精度同样有小幅度的改善。

2) 通过与事后科学轨道进行对比可以看出，PCO信息在天线相位中心误差改正中占很大的权重，PCO改正后平均RMS值在3个方向分别提升47%、48%和66%，其中法向改正最大，因为非重力模型误差对法向影响最大；而PCV模型的应用对轨道精度的提升只在mm级，远小于PCO改正对轨道精度的影响。

3) 通过对不同PCV模型进行SLR检核结果表明，应根据实际工作需要选择合适的PCV模型，且5°×5°格网模型已经能满足高精度精密定轨需求，更高分辨率并不会带来明显的精度提升。