台风是产生于热带洋面上的一种强烈的热带气旋，能从海洋带来巨大的水汽，由于上升气流的作用，水汽的温度降低会引起暴雨，而长时间的暴雨不仅严重影响人们的生活，还极易引起洪涝、泥石流、山体滑坡等灾害的发生。因此，台风暴雨是近年来关注的焦点，许多气象学者对此进行了大量研究^[1-10]，但这些研究在探讨PWV与降雨量的相关性时大多基于图表相关分析等方法，不能很好地揭示两者的内部特征。

交叉小波和小波相干能够有效地分析两个时间序列之间的相关程度，并能很好地反映两者的位相结构和细部特征^[11]，在气象学区域气候^[12]、水文^[13]、地球物理^[14]等领域已有广泛的应用。本文基于台湾地区“苏迪罗”、“鲇鱼”、“海棠”等3次台风事件，利用地基GPS反演得到的PWV数据，引用交叉小波和小波相干方法，从时频域上分析PWV与降雨量的时空特征，为台风预警及暴雨防范等提供良好的理论基础。

1 PWV

GPS信号穿过对流层时会受到对流层延迟误差的影响。本文通过高精度的Bernese5.0软件解算GPS原始数据，得到天顶对流层总延迟(ZTD)。ZTD分为天顶静力学延迟(ZHD)和天顶湿延迟(ZWD)，其中ZHD可通过Saastamoinen模型精确计算得到，而ZWD主要受信号传播路径上水汽密度的影响，很难高精度模型化，其计算方法为：

$ {\rm{ZWD}} = {\rm{ZTD}} - {\rm{ZHD}} $

(1)

ZWD与空气中的可降雨量PWV存在如下关系^[15]：

$ {\rm{PWV}} = \mathit{\Pi} \times {\rm{ZWD}} $

(2)

式中，Π为转换系数。

2 交叉小波与小波相干 2.1 交叉小波

交叉小波是一种新的信号分析技术，可以对两个时间序列在不同时频域中的相互关系进行分析研究^[16]。设W_X(s)、W_Y(s)分别为给定的两个时间序列X和Y的交叉小波变换，其交叉小波谱为W_n^XY(s)=W_n^X(s)W_n^Y*(s)，其中W_n^Y*(s)为W_n^Y(s)的复共轭，交叉小波功率谱密度为|W_n^XY(s)|，其值越大表示两个时间序列的相关程度越高^[17]。交叉小波谱的显著性检验采用红色噪音标准谱。假设两个时间序列X和Y的期望谱为红噪声谱P_k^x和P_k^y，则交叉小波功率谱为：

$ D\left( {\frac{{\left| {W_n^X\left( s \right)W_n^{Y * }(s)} \right|}}{{{\sigma _x}{\sigma _y}}} ＜ q} \right) = \frac{{{Z_\nu }\left( P \right)}}{\nu }\sqrt {P_k^xP_k^y} $

(3)

式中，σ_x和σ_y分别为时间序列X和Y的标准差；Z_ν(p)为与概率q有关的置信度，ν为自由度，当ν取2，在显著性水平α=0.05时，Z₂(95%)=3.999，通过红噪声检验，认为两者显著相关。

2.2 小波相干

小波相干谱可用来度量时频空间中两个时间序列局部相关的密切程度，即使交叉小波功率谱处于低能量区，两者在小波相干谱中的密切程度也可能很显著^[14]。定义两个时间序列X和Y的小波相干谱为：

$ R_n^2(s) = \frac{{{{\left| {S({s^{ - 1}}W_n^{XY}(s))} \right|}^2}}}{{S({{\left| {{s^{ - 1}}W_n^X(s)} \right|}^2}) \times S({{\left| {{s^{ - 1}}W_n^X(s)} \right|}^2})}} $

(4)

其中，S为平滑器，其定义为：

$ S(W) = {S_{{\rm{scale}}}}\{ {S_{{\rm{time}}}}[{W_n}(s)]\} $

(5)

式中，S_scale为小波坐标尺度平滑，S_time为时间尺度平滑。Morlet小波平滑器表示为：

$ {S_{{\rm{time}}}}(W)\left| {_s} \right. = ({W_n}(s) \times c_1^{\frac{{ - {t^2}}}{{2{s^2}}}})\left| {_s} \right. $

(6)

$ {S_{{\rm{time}}}}(W)\left| {_s} \right. = ({W_n}(s) \times {c_2} \mathit{\Pi} {(0.6s)} )\left| {_n} \right. $

(7)

式中，c₁、c₂为标准化常数，Π为矩形函数。小波相干谱的显著性检验采用Monte Carlo方法，本文对小波相干谱只标出了R_n²(s)≥0.5的位相变化。

3 实验结果及分析 3.1 台风简介

台风大多经过菲律宾以东的太平洋，该处属于暖海区，气象学上称之为“暖池”，最适合台风生成。自建国以来，西北太平洋和南海共生成385个超强台风，有3/4的超强台风经过台湾地区，给台湾地区带来了强风大雨、泥石流、洪涝等灾害，造成严重破坏。本文选取2015~2017年台湾地区“苏迪罗”、“鲇鱼”、“海棠”等3次台风事件作为研究对象。

3.2 台风期间降雨量与PWV的初步分析

为探究台风期间PWV与降雨量的变化，基于2015~2017年台湾地区3次台风事件，选取TUNM站2015-08-07 00:00~08-10 00:00、HUWE站2016-09-27 00:00~09-30 00:00、NJOU站2017-07-29 00:00~08-01 00:00的PWV(利用地基GPS解算得到)和降雨量数据(采样频率为1 h)展开分析(图 1~3)。

由图 1可知，对于TUNM站，台风发生期间PWV总体呈先上升后下降的趋势，2015-08-07 22:00、2015-08-08 07:13的PWV曲线震荡性较为强烈，在2015-08-07 22:00最大增幅为9.39 mm/h，最大降幅为10.97 mm/h；降雨量在2017-08-08 07:00达到最大值35.5 mm，而台风“苏迪罗”在2018-08-08 05:00经过TUNM站。由此可见，台风“苏迪罗”发生期间，PWV先剧烈变化达到峰值，随后发生强降雨，进而继续影响PWV的变化。

由图 2可知，对于HUWE站，台风发生期间PWV总体呈先上升后下降的趋势，2016-09-27 13:00、2016-09-28 00:00和12:00的PWV曲线震荡性较为强烈，在2016-09-28 12:00达到峰值69.95 mm，最大增幅为5.77 mm/h，最大降幅为5.63 mm/h；降雨量在2016-09-28 15:00达到最大值32 mm。由此可见，台风“鲇鱼”发生期间，PWV先剧烈变化，进而发生强降雨，继续影响PWV的变化。

由图 3可知，对于NJOU站，台风发生期间PWV总体呈先上升后下降的趋势，2017-07-29 13:00和2017-07-31 01:00的PWV曲线震荡性较为强烈，在2017-07-29 14:00达到峰值74.60 mm，最大增幅为5.63 mm/h，最大降幅为4.24 mm/h；降雨量在2017-07-29 15:00达到最大值166 mm。由此可见，台风“海棠”发生期间，PWV剧烈变化后的1~2 h出现强暴雨。

综上所述，台湾地区2015~2017年的3次台风发生期间，各站点的PWV值迅速上升并伴随着降雨的发生，PWV总体呈震荡性变化，波动性剧烈，PWV与降雨量呈现一定的相关性，PWV波动性随着台风的路径逐渐减弱，降雨发生时，PWV一定发生剧烈变化。

3.3 台风期间降雨量与PWV的时空变化分析

为更好地分析PWV与降雨量在时频域上的相关性、细部特征及变化规律，利用交叉小波和小波相干谱绘制降雨量-PWV频谱图(图 4~9)。图中，实线区域表示通过显著性水平α=0.05条件下的红噪声标准谱的检验，细弧线区域表示小波影响椎内区域的有效谱值，箭头表示两者之间的位相关系，箭头向右表示PWV与降雨量同位相，说明两者为正相关关系；向左表示ZTD与降雨量反位相，说明两者为负相关关系；向上表示PWV变化超前降雨量变化90°(对应时间为0.25 h)；向下表示PWV变化落后降雨量变化90°。交叉小波可从多时间尺度来研究两个时间序列在时频域中的相互关系，而小波相干谱不仅可以揭示两个时间序列共同的高能量区及位相关系，还可以度量时频空间中两个时间序列局部相关的密切程度。

图 4为TUNM站降雨量与PWV的交叉小波谱，由图可知，2~10 h周期区间，两个信号序列在2015-08-07 20:00~08-08 13:00表现出通过95%置信度检验的显著共振关系，相关系数达到0.8，箭头基本指向右上方，PWV位相超前降雨量变化。图 5显示，3~10 h周期区间，两个信号序列在2015-08-07 23:00~08-08 17:00呈现出很强的相关性，相关系数达到0.9，通过95%置信度的检验，箭头基本指向右上方，PWV与降雨量同相位，两者具有很强的正相关关系，且PWV超前降雨量的变化。台风“苏迪罗”在2015-08-08 05:00登陆TUNM站，由此可知，台风“苏迪罗”发生期间PWV与降雨量呈现很强的正相关，置信区间内箭头的指向基本在0°~60°，PWV剧烈变化后的0~1.5 h发生强降雨。

图 6为HUWE站降雨量与PWV的交叉小波谱，由图可知，3~6 h周期区间，两个信号序列在2016-09-27 13:00~09-28 03:00呈现很强的相关性，相关系数达到0.7，通过95%置信度的检验，箭头基本指向右上方，PWV与降雨量同相位且PWV超前降雨量的变化；0~6 h周期区间，两个信号序列在2016-09-28 13:00~19:00表现出通过95%置信度检验的显著共振关系，箭头基本指向右下方，PWV与降雨量同相位，且PWV滞后降雨量变化；10~16 h周期区间，两个信号序列在2016-09-28 05:00~09-29 00:00呈现很强的相关性，相关系数达到0.9，通过95%置信度的检验，箭头基本指向右上方，PWV与降雨量同相位且PWV超前降雨量的变化。图 7显示，0~4 h周期区间，两个信号序列在2016-09-29 05:00~12:00呈现很强的相关性，相关系数达到0.9，通过95%置信度的检验，箭头基本指向左下方，PWV与降雨量反相位且PWV位相滞后降雨量的变化；4~9 h周期区间，两个信号序列在2016-09-27 08:00~09-28 06:00呈现很强的相关性，相关系数达到0.9，通过95%置信度的检验，箭头基本指向右上方，PWV与降雨量同相位且PWV超前降雨量的变化；14~18 h周期区间，两个信号序列在2016-09-28 19:00~09-29 06:00呈现很强的相关性，相关系数达到0.9，通过95%置信度的检验，箭头基本指向右上方，PWV与降雨量同相位且PWV超前降雨量的变化。台风“鲇鱼”在2016-09-27 21:00登陆HUWE站，由此可知，台风“鲇鱼”发生期间PWV与降雨量基本呈现正相关，置信区间内箭头的指向基本在0°~60°，PWV剧烈变化进而影响降雨量的发生，PWV剧烈变化后的0~3 h发生强降雨。

图 8为NJOU站降雨量与PWV的交叉小波谱，由图可知，0~4 h周期区间，两个信号序列在2017-07-29 11:00~18:00表现出通过95%置信度检验的显著共振关系，箭头的指向基本由左向右，PWV与降雨量同相位；7~9 h周期区间，两个信号序列在2017-07-30 22:00~07-31 04:00呈现很强的相关性，相关系数达到0.8，通过95%置信度的检验，箭头基本指向右上方，PWV与降雨量同相位且PWV超前降雨量的变化。图 9显示，2~4 h周期区间，两个信号序列在2017-07-29 11:00~07-30 03:00呈现很强的相关性，相关系数达到0.9，通过95%置信度的检验，箭头基本指向右上方，PWV与降雨量同相位，两者具有很强的正相关关系，且PWV位相超前降雨量的变化；8~14 h周期区间，两个信号序列在2017-07-30 23:00~07-31 04:00呈现很强的相关性，相关系数达到0.9，通过95%置信度的检验，箭头基本指向右上方，PWV与降雨量同相位且PWV超前降雨量的变化。台风“海棠”在2017-07-30 19:00登陆NJOU站，由此可知，台风“海棠”发生期间PWV与降雨量呈现很强的正相关，置信区间内箭头指向基本在0°~60°，PWV变化剧烈后0~2 h发生强降雨。

综合分析，台风发生期间的交叉小波谱和小波相干谱均显示，PWV与降雨量基本同相位，箭头基本指向右上方，PWV与降雨量存在很强的正相关关系且相关系数达到0.7，PWV超前降雨量变化。分析降雨前后PWV的时空变化特征与实际降雨之间的关系，为短时预报暴雨的降雨时间、强度提供参考，若短时间内PWV剧烈变化，可对重点发生台风的地区重点监控，做好台风来袭的准备，尽可能地减轻台风对人民生命财产的损害。

4 结语

本文针对2015~2017年台湾地区“苏迪罗”、“鲇鱼”、“海棠”等3次台风事件，基于地基GPS反演的PWV数据，利用交叉小波和小波相干方法，分析台风期间PWV与降雨量的相关性及时空变化规律，为台风预警、降雨预报提供参考。结论如下：

1) 交叉小波和小波相干方法可作为分析PWV与降雨量时空变化规律的一种新方法，交叉小波和小波相干谱能够在时频域上清晰地显示两个信号的相关性、变化细节、局部特征及位相差异，且通过95%置信度检验，结果可靠。

2) 台风发生期间，PWV总体呈震荡性变化，波动性剧烈，PWV与降雨量呈现一定的相关性，降雨量越大PWV的波动性越大，降雨发生时PWV一定会发生剧烈变化。

3) 在研究时域内，台风发生前后PWV与降雨量存在较强的正相关关系，相关系数达到0.7，PWV超前降雨量变化，PWV剧烈变化后的0~3 h发生强降雨。