地球自转参数(ERP)是实现天球坐标框架与地球坐标框架相互转换的必要参数，对高精度航天器定轨具有重要意义^[1]。ERP通常需要利用全球观测数据进行联合处理解算，因此产品具有一定的时延。低轨卫星精密轨道预报通常依赖于ERP，在不能实时上注ERP数据的情况下，需要通过预报来提供较高精度的ERP，因此ERP预报误差将会对低轨卫星自主定轨产生影响。本文借助珞珈一号卫星的轨道数据，分析ERP预报误差对其精密轨道预报的影响，探讨预报时长与定轨误差的关系。

1 ERP对卫星轨道预报的影响

低轨卫星轨道预报计算依赖动力学积分方法，因此必须使用惯性系(如GCRS)进行轨道积分计算。为便于使用，低轨卫星轨道产品通常在地固系(如ITRS)下进行表达。轨道预报需要将ITRS系的轨道转换到GCRS系进行积分，再转回ITRS系。IERS 2010协议中已定义GCRS和ITRS之间的转换模型，计算公式如下^[2-3]：

$ [{\rm{GCRS}}] = {\rm{ }}\boldsymbol{Q}{\rm{ }}(t){\rm{ }}\boldsymbol{R}{\rm{ }}(t){\rm{ }}\boldsymbol{W}{\rm{ }}(t)[{\rm{ITRS}}]{\rm{ }} $

(1)

式中，Q(t)与R(t)分别为岁差-章动矩阵和地球自转矩阵，W(t)为极移矩阵。

地球自转和极移运动不规律，需要定期计算并发布ERP产品。式(1)中t为观测时刻至参考时刻J2000.0间的儒略世纪数，计算公式如下：

$ t = ({\rm{TT — JD2 451 545}}.{\rm{0TT}}){\rm{/36 525}} $

(2)

式中，TT为地球时。

岁差-章动矩阵Q(t)计算模型如下：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \boldsymbol{Q}(t) = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a{X^2}}&{ - aXY}&X\\ { - aXY}&{1 - a{Y^2}}&Y\\ { - X}&{ - Y}&{1 - a\left( {{X^2} + {Y^2}} \right)} \end{array}} \right]{\boldsymbol{R}_3}\left( s \right)} \end{array} $

(3)

式中，X和Y为CIP在GCRS系中球面坐标的两个分量，s为参考历元和指定时刻t之间天球历书原点CEO的累积位移。

地球自转矩阵R(t)的计算模型如下：

$ {\rm{ }}\boldsymbol{R}{\rm{ }}(t) = {\rm{ }}{\boldsymbol{R}_3}( - \rm{ERA}) $

(4)

式中，ERA为地球自转角，即在天球中间极CIP的赤道上指向天球中间原点CIO和地球中间原点TIO之间的旋转角度。

极移矩阵W(t)的计算模型如下：

$ \boldsymbol{W}{\rm{ }}(t) = {\rm{ }}{\boldsymbol{R}_3}( - s'){\boldsymbol{R}_2}\left( {{x_p}} \right){\boldsymbol{R}_1}\left( {{y_p}} \right) $

(5)

式中，x_p、y_p为天球中间极CIP在国际地球参考系ITRS中的坐标，该坐标需要对由IERS直接提供的极移坐标进行潮汐变化项改正和章动项改正，计算公式如下：

$ \begin{array}{l} ({x_p},{y_p}) = {({x_p},{y_p})_{{\rm{IERS}}}} + {(\Delta {x_p},\Delta {y_p})_{{\rm{tidal}}}} + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {(\Delta {x_p},\Delta {y_p})_{{\rm{nutation}}}} \end{array} $

(6)

式中，(Δx_p, Δy_p)_tidal、(Δx_p, Δy_p)_nutation计算公式可参考IERS Conventions 2010^[4]。

2 ERP预报方法

ERP预报方法主要分为线性预报方法和非线性预报方法^[5-8]。目前常用的ERP预报方法为LS+AR方法，该方法利用最小二乘(LS)对线性和周期项进行拟合并外推，采用自回归(AR)模型对拟合残差进行预报，拟合外推值加上残差预报值即为ERP预报值^[2]。

ERP数据拟合模型可表示为^[2]：

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} X(t) = {a_0} + {a_1}t + \\ \sum\limits_{i = 1}^k {({b_i}\cos (\frac{{2\pi t}}{{{p_i}}})} + {c_i}\sin (\frac{{2\pi t}}{{{p_i}}})) \end{array} $

(7)

式中，a₀为常数项，a₁为趋势项系数，b_i、c_i均为周期项拟合系数，p_i为周期项，k为周期项个数。通过对长期的ERP序列进行频谱分析，根据分析结果，对极移序列取k =2，对UT1-UTC序列取k =5。极移序列的两个主要周期项分别为钱德勒摆动项(431.16 d)和周年项(364.09 d)，UT1-UTC序列周期项分别为8 692 d、5 461.33 d、4 096 d、364.09 d和182.04 d。

利用最小二乘算法求出上式中各个系数，表达式为：

$ \boldsymbol{X} = [{a_0},{a_1},{b_1},{c_1},{b_2},{c_2}...] $

(8)

$ \boldsymbol{X} = {({\boldsymbol{B}^{\rm{T}}}\boldsymbol{B})^{ - 1}}{\boldsymbol{B}^{\rm{T}}}\boldsymbol{L} $

(9)

式中，L为ERP数据观测值矩阵。

利用AR模型进行拟合残差预报。AR模型表示平稳随机序列Z_t(t=1, 2, …, N)在t时刻之前的规律性变化与t时刻的白噪声的关系，其数学模型表达式如下：

$ {Z_t} = \sum\limits_{i = 1}^p {({\varphi _i}{Z_{t - i}} + {a_t})} $

(10)

式中，φ_i为模型参数，a_t为t时刻的白噪声，p为AR模型阶数。

AR模型预报的精度主要由阶数p确定，可采用AIC准则来确定阶数^[5]。

3 ERP预报误差对珞珈一号卫星轨道预报的影响

为研究ERP预报误差对低轨卫星轨道预报的影响，在珞珈一号卫星研究基础上^[9-10]，结合珞珈一号卫星的轨道数据进行数值计算。本次实验选取珞珈一号2018-11-01~11-30的轨道数据。为进一步探讨预报时长与定轨误差的关系，采用2015年IERS EOP08C04序列作为地球自转参数的拟合数据，预报2018-11-01~11-30的ERP，并将每天的ERP预报数据生成单独文件。利用Bernese软件分别计算由精密ERP产品和预报ERP产品得到的珞珈一号轨道结果。将精密ERP产品对应的轨道结果作为参考值，计算由ERP预报误差引起的轨道误差，分析ERP预报误差变化对珞珈一号轨道的影响。由于极移和日长变化对轨道的影响不同，为对比分析两者预报误差对低轨卫星轨道定轨误差的影响，设计以下方案：

方案1，使用预报的极移产品和精密的UT1-UTC产品，分析极移预报误差对轨道的影响。

方案2，使用预报的极移与UT1-UTC产品，分析ERP预报误差对轨道的影响，结合方案1对比分析UT1-UTC预报误差对轨道的影响。

ERP预报根据预报时长可分为超短期、短期和长期3种，通常将1~10 d预报称为超短期预报，将30 d预报称为短期预报，1 a及以上时长预报称为中长期预报^[11]。本文主要分析ERP超短期和短期预报对低轨卫星轨道的影响。

3.1 超短期ERP预报误差对低轨卫星定轨的影响

图 1为单天预报数据对轨道的影响，由图可见，方案1和方案2对轨道产生的误差趋势和误差大小几乎相同，切向和法向的最大误差达到cm级；径向误差较小，保持在mm级。低轨卫星绕地周期较短，因此单天的解算结果各方向误差都存在周期性波动(表 1)。

3.2 短期ERP预报误差对低轨卫星定轨的影响

利用LS+AR模型对ERP进行预报，图 2为30 d预报误差趋势。由图可见，X_p和Y_p预报误差随时间增大而显著增大；UT1-UTC预报误差在10 d内变化很小，之后显著增大。

图 3为30 d预报误差对低轨卫星轨道的影响，由图可见，各方向轨道误差存在规律性波动，且波动幅度随时间增长而增大，预报30 d时径向误差最大约为0.05 m，切向误差最大约为0.5 m，法向误差最大约为0.2 m(表 2)。

3.3 UT1-UTC预报误差对轨道预报的影响

图 4为方案1和方案2对低轨卫星轨道影响的对比分析，从图中可以看出，引入UT1-UTC的预报误差对珞珈一号卫星定轨结果影响较小。UT1-UTC的预报误差在径向上影响非常小，在切向和法向上在一定程度上降低了低轨卫星的轨道精度。珞珈一号卫星的定轨结果受ERP预报误差的影响，在3个不同方向上的轨道误差均随时间的增加而增大。切向方向受影响最大，其次为法向，径向误差最小，因此应该重点考虑ERP预报误差对珞珈一号卫星切向和法向的影响。在预报时长为10 d时，切向误差为dm级，这对cm级定轨影响较大。

由表 3可知，只改变极移数据时，预报10 d的切向误差为0.118 0 m，而引入UT1-UTC预报误差时，切向误差为0.122 1 m。对于珞珈一号卫星，ERP预报10 d的误差对其自主定轨的影响达到dm级，ERP预报30 d的误差对轨道切向方向影响最大可达到0.18 m。

4 结语

本文主要研究ERP预报误差对低轨卫星自主定轨的影响。结果表明，ERP预报误差主要对低轨卫星轨道的切向和法向影响较大，对径向影响较小，低轨卫星的切向误差最为明显。由于低轨卫星绕地运行周期短，单天预报的轨道误差具有周期性。随着预报时间的增加，轨道各方向误差均呈现波动性增大，预报30 d时径向误差最大约为0.05 m，切向误差最大约为0.5 m，法向误差最大约为0.2 m。只引入极移预报误差与引入极移和UT1-UTC预报误差的对比分析表明，UT1-UTC预报误差对低轨卫星定轨影响较小，且主要影响切向和法向的精度。ERP预报10 d时，低轨卫星自主定轨的切向误差达到dm级；ERP预报30 d时，预报误差对轨道切向影响最大，误差可达到0.18 m，这对cm级定位有较大影响。