2. 有色金属成矿预测与地质环境监测教育部重点实验室,长沙市麓山南路932号,410083
随着测量技术的发展,病态问题始终广泛地存在于大地测量数据处理中,如大地反演、控制网平差、GPS快速定位、重力场向下延拓、精密定轨、地震预报[1]等。由于大地测量中存在大量的附加信息和先验信息[2-3],它们包含参数内在的相关性、精度、几何或物理信息,因此,解决病态问题的有效途径之一就是充分利用参数的附加信息或先验信息,对参数进行约束,从而保证整体解的唯一性和稳定性。许多学者研究了等式约束[4-5]、不等式约束[6-9]、随机线性约束[10]、区间约束[11]以及椭球约束[12]等平差模型及算法,但所涉及的仅是最简单的情形,还不能处理更多的不确定性信息。附加信息对于病态问题的解决仍然不充分,对于一般的约束信息不仅要考虑它的病态性,还要考虑附加信息的有效性,以及降低病态性的效率。针对这些问题,本文将数学理论中参数优化方法[13]转化为实际平差模型,利用先验信息对参数加以球约束,建立了带有球约束的平差模型,基于最优化理论将测量平差问题转化为凸二次规划问题,并提出解算方法。该方法考虑大地测量中的先验信息,提高了参数估计的精度。模拟数值实验和测边网实例应用结果显示,该方法在处理病态问题上具有明显的更优估计,可以广泛应用于大地测量病态数据处理。
1 球约束平差模型与岭估计建立一般的平差模型:
$ \mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{AX}} + \mathit{\boldsymbol{e}}\ $ | (1) |
式中,L为观测向量;A为n×t的观测矩阵,A列满秩(R(A)=t);X是t×1的未知向量;e是随机误差向量,期望为0(e ~(0,σ2Q),Q为协因数矩阵)。
如果参数带有不确定性,我们对式(1)的参数X加以先验约束:
$ \left| {{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right| \le {r_i},i = 1, 2, \cdots , n $ | (2) |
得到参数带先验约束的平差模型:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{AX}} + \mathit{\boldsymbol{e}}}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;\left| {{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right| \le {r_i}} \end{array}} \right. $ | (3) |
将式(3)变形,即得到参数带球约束的平差模型:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{AX}} + \mathit{\boldsymbol{e}}}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{SX}} \le {r^2}} \end{array}} \right. $ | (4) |
式中,L为观测向量;A为n×t观测矩阵,A列满秩(R(A)=t);X是t×1的未知向量;e是随机误差向量,均值为0;协方差为σ2I,I为单位矩阵;S为正定矩阵;r为已知数且r≥0。
根据最小二乘准则,即
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{min}}f\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) = {{\left( {\mathit{\boldsymbol{L}} - \mathit{\boldsymbol{AX}}} \right)}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{L}} - \mathit{\boldsymbol{AX}}} \right)}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{SX}}} \le {r^2}} \end{array}} \right. $ | (5) |
因为
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{min}}f\left(\mathit{\boldsymbol{X}} \right) = \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{NX}} + {\mathit{\boldsymbol{c}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{X}}}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{SX}} \le {r^2}} \end{array}} \right. $ | (6) |
式中,
$ \begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\; \mathit{\boldsymbol{F}}\left( {\mathit{\boldsymbol{X}},\lambda } \right) = \\ \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{NX}} + {\mathit{\boldsymbol{c}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{X}} + \frac{1}{2}\lambda \left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{SX}} - {r^2}} \right) \end{array} $ | (7) |
把式(7)分别对X和λ求偏导,分别令其等于0,得:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\mathit{\boldsymbol{N}} + \lambda \mathit{\boldsymbol{S}}} \right)\mathit{\boldsymbol{X}} = - {\mathit{\boldsymbol{c}}^{\rm{T}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}S\mathit{\boldsymbol{X}} = {r^2}} \end{array}} \right. $ | (8) |
故
$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}_{{\rm{GLS}}}} = - {(\mathit{\boldsymbol{N + }}\lambda S)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{c}}^{\rm{T}}}=\\ \;\;\;\;\;\;{({\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}} + \mathit{\boldsymbol{S}})^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{L}} \end{array} $ | (9) |
注意到,当S = I时,有
$ ({\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}} + \lambda \mathit{\boldsymbol{S}}){{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}_{{\rm{GLS}}}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{L}} $ |
那么,
$ \lambda \mathit{\boldsymbol{S}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}_{{\rm{GLS}}}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{L}} - \mathit{\boldsymbol{A}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}_{{\rm{GLS}}}}} \right) $ |
在约束边界上
$ \lambda = \frac{1}{{{r^2}}}\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_{{\rm{GLS}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat e}}}_{{\rm{GLS}}}} $ | (10) |
其中,
$ \begin{array}{l} \lambda = \frac{1}{{{r^2}}}\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_{{\rm{LS}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{L}} - \mathit{\boldsymbol{A}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}_{{\rm{LS}}}}} \right) = \\ \frac{1}{{{r^2}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_{{\rm{LS}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{L}} - \mathit{\boldsymbol{\hat X}}_{{\rm{LS}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}_{{\rm{LS}}}}} \right) = 0 \end{array} $ |
故在设计阵A病态时,使用这种类似于两步估计的方法时应该格外小心,理论上已经表明,此时不宜采用广义最小二乘估计。
2 球约束平差的迭代算法为便于解算,可将式(6)缩为一个更为简单的二次规划问题[14]。记λ1、λ2分别为N的最小特征值和最大特征值,μ为S的最小特征根。对于任意的
$ \begin{array}{l} \frac{1}{2}{\left( {\mathit{\boldsymbol{X}} - {\mathit{\boldsymbol{X}}_k}} \right)^{\rm{T}}}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right)\left( {\mathit{\boldsymbol{X}} - {\mathit{\boldsymbol{X}}_k}} \right) = \\ \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right)\mathit{\boldsymbol{X}} - {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{X}}_k^{\rm{T}}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} \ge 0 \end{array} $ |
所以,
$ \begin{array}{l} - \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right)\mathit{\boldsymbol{X}} \le - {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} + \\ \;\;\;\;\;\frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{X}}_k^{\rm{T}}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} \end{array} $ |
故
$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) = \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{N}}\mathit{\boldsymbol{X}} + {\mathit{\boldsymbol{c}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{X}} = \\ \;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\theta {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{S}}\mathit{\boldsymbol{X}} - {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right)\mathit{\boldsymbol{X}} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right] \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\theta {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{SX}} - {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\left[ {\left( \theta {\mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right] + \\ \frac{1}{2} \mathit{\boldsymbol{X}}_k^{\rm{T}}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} = \mathit{g}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) + \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{X}}_k^{\rm{T}}\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} \end{array} $ |
其中,
因为若Xk给定后,
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{min}}\;\;g\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) = \frac{1}{2}\theta {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{SX}}} - {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right]}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{SX}} \le {r^2}} \end{array}} \right. $ | (11) |
令g(X)关于X的导数等于0,有:
$ \theta \mathit{\boldsymbol{SX}} - \left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right] = 0 $ |
可以得到g(X)的最小点为
$ {\mathit{\boldsymbol{X}}_{k + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{S}}^{ - 1}}\left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right]}}{\theta },}\\ {\left\| {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{S}}^{ - 1}}\left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right]}}{\theta }} \right\| \le r}\\ {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{S}}^{ - 1}}\left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right]}}{{\left\| {{S^{ - 1}}\left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right]} \right\|}}r,}\\ {\frac{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{S}}^{ - 1}}\left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right]} \right\|}}{\theta } > r} \end{array}} \right. $ | (12) |
因为Xk+1是式(11)的一个解,所以Xk+1满足式(11)的KT条件:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \theta \mathit{\boldsymbol{S}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_{k + 1}} - \left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right] + \\ {\lambda _{k + 1}}\mathit{\boldsymbol{S}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_{k + 1}} = 0 \end{array}\\ {{\lambda _{k + 1}}\left( {\mathit{\boldsymbol{X}}_{k + 1}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{S}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_{k + 1}} - {r^2}} \right) = 0} \end{array}} \right. $ | (13) |
式中,λk+1为Lagrange乘子。显然,
$ \theta {r^2} - \mathit{\boldsymbol{X}}_{k + 1}^{\rm{T}}\left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right] + {\lambda _{k + 1}}{r^2} = 0 $ |
所以有:
$ {\lambda _{k + 1}} = \frac{{{{\left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right]}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_{k + 1}} - \theta {r^2}}}{{{r^2}}} $ |
因此,
$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;{\lambda ^{\rm{*}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\lambda _{k + 1}} = \\ \frac{{{{\left[ {\left( {\theta \mathit{\boldsymbol{S}} - \mathit{\boldsymbol{N}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_k} - \mathit{\boldsymbol{c}}} \right]}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_{k + 1}} - \theta {r^2}}}{{{r^2}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{ - {{({\mathit{\boldsymbol{X}}^*})}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{N}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^*} - {\mathit{\boldsymbol{c}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^*}}}{{{r^2}}} \end{array} $ |
即有:
$ {\lambda ^{\rm{*}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda ^{\rm{*}}},{{({\mathit{\boldsymbol{X}}^*})}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{S}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^*} = {r^2}}\\ {0,{{({\mathit{\boldsymbol{X}}^*})}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{S}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^*} < {r^2}} \end{array}} \right. $ |
对式(13)两边取极限,得:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{N}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^*} + \mathit{\boldsymbol{c}} + {\lambda ^{\rm{*}}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^*} = 0}\\ {\frac{1}{2}{\lambda ^{\rm{*}}}\left( {{{({\mathit{\boldsymbol{X}}^*})}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{S}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^*} - {r^2}} \right) = 0} \end{array}} \right. $ | (14) |
式(14)恰好是式(6)的KT条件,X*为式(6)的一个KT点,λ*为Lagrange乘子。因此,设X0∈Rn为任意给定的一点,迭代公式(11)产生的点列{Xk}的每一个聚点都是式(6)的KT点。
下面给出带球约束的平差算法的步骤。
1) 利用先验信息确定球约束半径r;
2)
3)
4) 若
为了验证球约束在测量平差中的实用性,采用文献[15]的数据进行计算:
$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{4}}\\ {\frac{1}{2}}&{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{4}}&{\frac{1}{5}}\\ {\frac{1}{3}}&{\frac{1}{4}}&{\frac{1}{5}}&{\frac{1}{6}}\\ {\frac{1}{4}}&{\frac{1}{5}}&{\frac{1}{6}}&{\frac{1}{7}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}} \end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{25}}{{12}}}\\ {\frac{{77}}{{60}}}\\ {\frac{{19}}{{20}}}\\ {\frac{{319}}{{420}}} \end{array}} \right] $ |
该矩阵cond(N)=1.55×104,方程组病态性严重。其真值
此法方程系数矩阵N的条件数过大,导致函数模型病态,最小二乘解偏离真值较大,严重失真,而加入一些先验信息可以显著改善其病态性。从表 1结果可以看出,在椭球约束和球约束的条件下,解向量与真值之间的二范数的差值相对较小,且都优于岭估计和最小二乘平差。在球约束下解向量与真值之间的二范数仅为0.135 4,在上述估计中属于最优估计。因此,在建立平差模型时充分利用参数的先验信息可以弥补观测不充分导致的病态问题。
3.2 病态测边网实验 3.2.1 算例1如图 1所示的测边网,P1、P2为已知点,其坐标分别为(48 580.285, 600 500.496)和(47 943.013, 66 225.845)。为了便于分析比较,算例中的点P3、P4、P5、P6的真实坐标假设已知(表 2),边长的观测值是利用真实坐标计算,再通过Matlab加上σ2=0.05的随机误差得到的,其中边1是已知边,观测边长视为同精度(表 3)。为便于分析,假设前期观测得到P3、P4、P5、P6的近似坐标(表 2)。
目标函数为:
$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{A}}_1} = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.7434}&{ - 0.6689}&0&0&0&0&0&0\\ {0.9952}&{0.0975}&0&0&0&0&0&0\\ {0.6457}&{0.7636}&{ - 0.6457}&{ - 0.7636}&0&0&0&0\\ 0&0&{0.0183}&{ - 0.9998}&0&0&0&0\\ 0&0&{0.8575}&{ - 0.5145}&{ - 0.8575}&{0.5145}&0&0\\ 0&0&0&0&{ - 0.8848}&{ - 0.4660}&0&0\\ 0&0&0&0&{0.3904}&{ - 0.9206}&{ - 0.3904}&{0.9206}\\ 0&0&0&0&0&0&{ - 0.8708}&{0.4917}\\ 0&0&0&0&0&0&{ - 0.9823}&{ - 0.1874} \end{array}} \right]\\ ,{\mathit{\boldsymbol{L}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.4955}\\ { - 0.7877}\\ { - 2.5966}\\ {0.5178}\\ {3.7201}\\ {0.2180}\\ { - 6.2599}\\ { - 3.3892}\\ { - 1.7623} \end{array}} \right] \end{array} $ |
进行最小二乘计算,取最小二乘解的模,使
算例1显示,在系数矩阵列满秩的情况下,由于目标函数是凸函数,故存在唯一的最优解。从表 4可以看出,最小二乘解和本文算法解是一致的,真值与最优解基本相同,说明对于非病态的法方程矩阵,因为观测信息充分,不需要补充先验信息。
修改算例1中已知点P2的坐标为(48 570.013, 60 555.845),使它非常靠近P1点,导致系数矩阵病态,用来分析病态问题中算法的性能。此时相应的边长观测也会发生变化(表 5),相应的平差模型的系数矩阵和观测向量为:
$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{A}}_1} = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.9958}&{0.0920}&0&0&0&0&0&0\\ {0.9952}&{0.0975}&0&0&0&0&0&0\\ {0.6457}&{0.7636}&{ - 0.6457}&{ - 0.7636}&0&0&0&0\\ 0&0&{0.0183}&{ - 0.9998}&0&0&0&0\\ 0&0&{0.8575}&{ - 0.5145}&{ - 0.8575}&{0.5145}&0&0\\ 0&0&0&0&{ - 0.8848}&{ - 0.4660}&0&0\\ 0&0&0&0&{0.3904}&{ - 0.9206}&{ - 0.3904}&{0.9206}\\ 0&0&0&0&0&0&{ - 0.8708}&{0.4917}\\ 0&0&0&0&0&0&{ - 0.8710}&{0.4913} \end{array}} \right]\\ ,{\mathit{\boldsymbol{L}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.7351}\\ { - 0.7877}\\ { - 2.5966}\\ {0.5178}\\ {3.7201}\\ {0.2180}\\ { - 6.2599}\\ { - 3.3892}\\ { - 3.3113} \end{array}} \right] \end{array} $ |
在实际应用中,由于误差的随机性和参数真值的未知性,这里取
算例2中,
从计算结果来看(表 6),虽然最小二乘解的目标函数最小值最小,仅为0.003 3,但其误差平方和却达到147以上,严重偏离真值。在使用通常针对病态问题的解法(截断奇异值、岭估计)计算时,结果有明显的改善,其误差平方和得到极大降低,分别降低到1.312 0和1.181 8。但利用先验信息对其加以球约束后,从本文的算法解可以看出,本文解已经极其逼近真值,且残差平方和为1.064 4。此算例说明,利用参数的先验约束信息建立球约束平差模型,可以改善平差模型的病态性。因此,在建立平差模型时充分利用参数的先验信息,可以弥补观测不充分导致的病态问题。
大地测量中,参数的先验信息往往反映了被观测目标的几何物理特征、测量精度以及参数相关性等。数据处理时,利用这些先验信息在一般的平差模型中对参数加以约束,可以改善模型的不适定性,以提高解的精确性和可靠性。本文两个实例均为病态实验,由于法方程的病态性导致了最小二乘解严重失真,但是在加入球约束后,解的精度有明显提高,说明本文所阐述的带球约束的平差算法是可行的。在大地测量中,通常会因为观测限制和观测成本高而造成数据不充分,所以本文算法对提高参数估计的效率有非常大的实际意义。其次,可以对近代测量平差的研究范围进行扩充,也有重要的理论意义。
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