﻿ 改进的小波阈值函数对变形监测数据的去噪研究
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 大地测量与地球动力学  2020, Vol. 40 Issue (1): 17-22  DOI: 10.14075/j.jgg.2020.01.004

引用本文

GAN Ruo, CHEN Tianwei, ZHENG Xudong, et al. Research on Denoising of Deformation Monitoring Data by Improved Wavelet Threshold Function[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2020, 40(1): 17-22.

Foundation support

Guangxi Natural Science Foundation, No. 2017GXNSFAA198308;Director Fund of Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics, No. 15-140-07-09.

Corresponding author

CHEN Tianwei, professor, majors in spatial data modeling, E-mail:675916588@qq.com.

第一作者简介

GAN Ruo, teaching assistant, majors in deformation monitoring and data processing, E-mail:386892263@qq.com.

文章历史

1. 桂林理工大学测绘地理信息学院，桂林市雁山街319号，541006;
2. 广西空间信息与测绘重点实验室，桂林市雁山街319号，541006

1 小波阈值函数和阈值估计 1.1 传统阈值函数

 $\omega_{j, k}=\left\{\begin{array}{ll} {\operatorname{sign}(\omega)(|\omega|-T), } & {|\omega| \geqslant T} \\ {0, |\omega| 硬阈值函数的表达式为： $ \omega_{j, k}=\left\{\begin{array}{l} {\omega, |\omega| \geqslant T} \\ {0, |\omega|

 图 1 阈值函数 Fig. 1 Threshold function
1.2 阈值估计方法

1) 通用阈值：

 $T=\sigma \sqrt{2 \ln (n)}$ (3)

2) 无偏风险原理的自适应阈值：

 $T=\sigma \sqrt{\omega_{O}}$ (4)

3) 启发性原理的阈值估计：

zn个小波系数平方和，令x=(z-n)/ny=(log2n)$\frac{3}{2}$/n，则：

 $T=\left\{\begin{array}{l} {T_{1}, x \leqslant y} \\ {\min \left(T_{1}, T_{2}\right), x>y} \end{array}\right.$ (5)

4) 极大极小原理的阈值估计：

 $T=\left\{\begin{array}{l} {\sigma\left(0.3936+0.1829 \log _{2} n\right), n>32} \\ {0, n \leqslant 32} \end{array}\right.$ (6)

 $T=\frac{\sigma \sqrt{2 \log (N)}}{\log (j+1)}$ (7)

 $\sigma=\frac{1}{0.674} \frac{1}{N} \sum\limits_{K=1}^{N}|\omega|$ (8)
1.3 改进的小波阈值函数

 $\omega_{j, k}=\left\{\begin{array}{l} {\operatorname{sign}(\omega) \sqrt{\omega^{2}-T^{2}}, |\omega| \geqslant T} \\ {0, |\omega| 式中，ωj, k为去噪后输出的小波系数，ω为原始的小波系数，T为阈值向量。 文献[5]提出的改进阈值函数为： $ \omega_{j, k}=\left\{\begin{array}{ll} {\operatorname{sign}(\omega)} {\sqrt[j]{\omega^{j}-T^{j}}, |\omega| \geqslant T} \\ {0, |\omega|

 $\omega_{j \cdot k}=\left\{\begin{array}{l} {\omega-T \cdot \sin (\omega / T \cdot \pi / 2), |\omega| \geqslant T} \\ {0, |\omega| 式中，ωj, k为去噪后输出的小波系数，ω为原始的小波系数，T为阈值向量。 以上3种改进的小波阈值去噪函数都是在软阈值函数基础上改进而成，在一定程度上解决了恒定偏差问题，而且能保持软阈值函数的连续性，克服硬阈值函数存在的不连续性问题，去噪效果优于传统的阈值函数。但3种改进的阈值函数在|ω| < T处都是直接置零，这样会把部分真实信号也一并消除，去噪效果会产生一定的偏差。本文基于一种曲率函数，提出一种改进的小波阈值函数，这种曲率函数为： $ y=\frac{2}{\pi} \arctan (\beta x), \beta \in R $(12) 该函数的变量xX轴上的任何实数，而变量yY轴上[-1, 1]之间的任何实数。这个曲率函数是关于零对称的，可以通过参数β进行调整，图 1(b)显示了当参数β分别为0.1、0.3、1和5时的曲率函数图像。 基于上述曲率函数，本文提出的小波阈值函数为： $ V=\left\{\begin{array}{l} {\omega-T, \omega \geqslant T} \\ {\omega+T, \omega \leqslant-T} \end{array}\right. $(13) $ \left\{\begin{array}{l} {V+\frac{2}{\pi} \arctan \left(\beta \frac{V}{T}+\operatorname{sign}(\omega) \alpha\right) T, |\omega| \geqslant T} \\ {\lambda \omega, |\omega|0, \lambda \in(0.05, 0.2)} \end{array}\right. $(14) 式中，参数α用于实现不同程度的收缩率对高频系数的影响。在传统的硬阈值函数和软阈值函数当中，对于那些绝对值小于T的小波系数，总会被视为噪声并设置为零，这样将不可避免地会删除掉一些有用的信息，导致重构后的信号出现细节缺陷。在新的阈值函数中，小波的去噪过程通过引入3个参数而变得更加合理。当|ω|＜T时，小波系数里面大部分是噪声，但是还有一小部分是有用的信号，去噪后的小波系数通过选择合适的参数λ来进行调整，而不是像以前的小波函数一样直接置零，但是要保证λ的值足够小，否则无法有效消除噪声。经算例表明，当λ∈(0.05, 0.2)时的效果较好[7]；当|ω|≥T时，通过调整曲率函数中的参数β来改变去噪的过程，β→0时，去噪过程相当于软阈值函数，而β→∞时，去噪过程相当于硬阈值函数。图 1(c)显示了新阈值函数在不同参数的曲率函数下的变化图像，参数β的取值为0.2、1、5和20，阈值T取值为40，参数α取值为0.2。 1.4 去噪流程 本次实验的去噪流程如图 2所示。  图 2 去噪流程 Fig. 2 Denoising flowchart 2 仿真实验 为了验证本文阈值函数去噪的有效性，首先使用Matlab平台进行仿真实验。模拟一组变形监测数据的仿真信号S，信号S由长度为1 000、3个振幅频率不同的周期项和1个趋势项组成，步长设置为0.01，仿真信号S的表达式为[9] $ \begin{array}{c} S = 3\sin (2\pi t/500){e^{ - t/1000}} + 2\sin (2\pi t/200) + \\ 2\sin (2\pi t/50) + t/1000 \end{array} $(15) 变形监测数据中含有的噪声以白噪声为主，实验采用Matlab中自带的awgn函数为仿真信号S添加信噪比为db20的高斯白噪声，仿真信号S和仿真噪声信号S1图 3所示。  图 3 仿真数据 Fig. 3 Simulation data 使用6种小波阈值函数分别对仿真噪声信号S1进行去噪处理，采用分解能力较好的sym8小波基，分解层数选择为3。在本文阈值函数中，当α=0.2、β=5、λ=0.12时，去噪的效果良好(图 4)。  图 4 6种阈值函数的去噪效果 Fig. 4 Denoising effects of six threshold function 从去噪的曲线看，6种去噪方法的区别不大。这是由于添加的高斯白噪声过于单一，容易被去除的缘故，因此需要从评价指标中进一步判断本文阈值函数去噪的有效性和可行性。 小波去噪的评价指标主要有信噪比、均方根误差和平滑度3种[10]，本文用这3种评价指标对去噪效果进行对比分析。 信噪比指的是原始信号和噪声之间能量的比值，记为SNR，表达式为： $ {\rm{SNR}} = {\rm{10}} \times {\rm{l}}{{\rm{g}}_{10}}\left( {\frac{{\sum\limits_i^n {f_i^2} }}{{\sum\limits_i^n {{{({f_i} - {y_i})}^2}} }}} \right) $(16) 式中，fi为去噪后的信号，yi为原始信号，n为信号长度。SNR值越大，去噪效果越好。 均方根误差指的是原始信号与去噪信号方差的平方根，主要体现出它们之间的差异，记为MSE，表达式为： $ {\rm{MSE}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_i^n {{{({f_i} - {y_i})}^2}} } $(17) 式中，fi为去噪后的信号，yi为原始信号，n为信号长度。MSE值越小，去噪效果越好。 平滑度指的是去噪后信号的光滑度，即去噪信号和原始信号差分数的方差根之比，表达式为： $ R = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{{[{f_1}(i + 1) - {f_1}(i)]}^2}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{{[f(i + 1) - f(i)]}^2}} }} \$ (18)

3 实例分析

 图 5 监测点H的沉降监测变化曲线 Fig. 5 Subsidence monitoring curves at point H

 图 6 6种阈值函数的去噪效果 Fig. 6 Denoising effects of six threshold functions

4 结语

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Research on Denoising of Deformation Monitoring Data by Improved Wavelet Threshold Function
GAN Ruo1,2     CHEN Tianwei1,2     ZHENG Xudong1,2     DUAN Qingda1,2     PAN Mei1,2
1. College of Geomatics and Geoinformation, Guilin University of Technology, 319 Yanshan Street, Guilin 541006, China;
2. Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics, 319 Yanshan Street, Guilin 541006, China
Abstract: Based on the traditional threshold function in wavelet analysis, combined with the wavelet threshold function proposed by other scholars, this paper further studies and analyzes the practical application. We propose a new method: denoising the deformation monitoring data with a new wavelet threshold de-noising function. Theoretical analysis and examples show that the new wavelet threshold de-noising function can effectively remove noise and has good denoising effect.
Key words: wavelet threshold function; wavelet de-noising; deformation monitoring; quality assessment