GRACE时变重力场模型可反演南极冰盖质量变化，用于研究极地气候变化及冰盖消融对海平面的影响^[1]。由于受卫星轨道误差和高频背景模型误差等因素的影响，GRACE时变重力场模型误差随球谐系数阶数的增加而增大，且存在南北条带状噪声^[2-3]。目前，大多数研究者采用高斯滤波等空间平滑方法抑制高阶噪声和条带状误差，但空间平滑使地球物理信号泄露至相邻区域，引起泄露误差。Chen等^[4-5]提出迭代的全球正向建模恢复法，通过“滤波-修正”迭代算法恢复南极质量变化来改正南极地区的泄露误差；Gunter等^[6]将海岸线外扩400 km内的信号当作南极泄露信号，以减小泄露误差的影响；高春春^[7]利用自适应边界选取法确定最佳外扩边界，将范围内海域的质量变化归算至南极。Tang等^[8]和Mu等^[9]采用拟合法确定南极冰盖质量变化，但其将外扩范围内的海洋信号误认为南极泄露信号，影响了南极质量变化的估算。

本文以拟合法为例，利用CSR Mascon为模拟数据讨论边界外扩对泄露误差改正的影响，重点分析边界外扩范围内的海洋信号对恢复结果的影响，以确定顾及海洋信号影响的最佳外扩边界。在此基础上，采用拟合法估算GRACE GSM球谐系数时变重力场模型的南极冰盖质量变化，并利用Mascon模型分析反演结果。

1 拟合法基本原理

若南极内陆存在质量变化Δσ(θ, λ)，经空间平滑去噪处理后，原始质量和滤波质量存在如下线性关系^[8]：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\Delta \bar \sigma ({\theta _j},{\lambda _j}) = \frac{1}{{4\pi }}\sum\limits_{l = 1}^{60} {\;\sum\limits_{m = 0}^l {\;\sum\limits_{i = 1}^I {{\rm{sin}}{\theta _i}\Delta {\theta _i}\Delta {\lambda _i}{{\bar P}_{lm}}({\rm{cos}}{\theta _i})\; \cdot } } } }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;{{\bar P}_{lm}}({\rm{cos}}{\theta _j}){W_l}{\rm{cos}}m({\lambda _i}{\lambda _j})\Delta \sigma ({\theta _i},{\lambda _i})} \end{array} $

(1)

式中，Δσ和Δσ分别为原始质量和滤波质量，θ、λ为地心余纬和经度，l、m为球谐系数的阶次，P_lm为归一化缔合Legendre函数，W_l为高斯滤波平滑函数系数，Δθ_i为格网点的纬度间隔，Δλ_i为同一纬度上相邻格网点的经度间隔。式(1)可改写为：

$ \Delta \overline \sigma = {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{A}}\Delta \sigma $

(2)

其中，

$ \begin{array}{*{20}{l}} {A\left( {j,i} \right) = \frac{1}{{4\pi }}\sum\limits_{l = 1}^{60} {\;\sum\limits_{m = 0}^l {{\rm{sin}}{\theta _i}\Delta {\theta _i}\Delta {\lambda _i}{{\bar P}_{lm}}({\rm{cos}}{\theta _i}) \cdot } } }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\bar P}_{lm}}({\rm{cos}}{\theta _j}){W_l}{\rm{cos}}m({\lambda _i}{\lambda _j})} \end{array} $

(3)

当南极及周边海域(图 1中红色和蓝色格网)的滤波质量已知时，可确定原始质量。由于式(2)的解不稳定，需采用Tikhonov正则化方法提高其稳定性^[9]，使其满足：

$ {\rm{min}}(\left\| {\;\mathit{\boldsymbol{A}}\Delta \sigma - \Delta \bar \sigma \;} \right\|_2^2 + k\left\| {\;\Delta \sigma \;} \right\|_2^2) $

(4)

式中，k为正则化参数，根据L曲线的拐点可确定最佳正则化参数k。此时，式(2)的最优解为：

$ \Delta \widehat \sigma {^R} = {({\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{A}}{^T}\mathit{\boldsymbol{A}}{\rm{ }} + k{\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{I}}{\rm{ }})^{1}}\mathit{\boldsymbol{A}}{^T}\Delta \overline \sigma $

(5)

其中, I为单位矩阵。

2 模拟实验确定最佳外扩边界 2.1 模拟实验基本方法

采用2003~2013年CSR Mascon数据作为模拟数据，将模拟数据球谐展开至60阶，经300 km的高斯滤波后转换为滤波质量$\Delta \widetilde \sigma $，同时施加标准差为10 mm的随机噪声δσ，得到包含误差的滤波质量Δσ。对每月的滤波质量Δσ，采用1 000次随机模拟实验的L曲线确定最佳正则化参数，并利用其恢复月平均质量变化，计算南极质量变化的长期趋势。

2.2 仅考虑南极信号泄露时外扩边界的确定

南极陆地信号泄露至海洋区域较为明显，需对其泄露范围进行确定，故以南极地区的Mascon数据作为模拟数据，研究仅考虑南极信号泄露时外扩边界的选取。以南极海岸线为边界，100 km为步长，逐步外扩至1 000 km，选取扩展边界线内包含误差的滤波质量Δσ，采用拟合法恢复南极质量变化，其长期变化趋势见图 2，南极及各分区质量变化速率统计见表 1(单位Gt/a)。分析可知，高斯平滑会削弱冰盖质量变化信号，当仅采用南极海岸线内的滤波信号进行泄露误差改正时，其恢复信号在数值上与模拟信号较接近，表明利用拟合法能有效减小泄露误差的影响；随着外扩边界的增大，南极及各分区的质量变化恢复效果仅有较小提升。

为评价恢复信号的空间分布，将恢复信号与模拟信号相减得到残差的空间分布，取面积加权的残差绝对值之和作为评价恢复信号空间分布准确性的指标。图 3为加权残差绝对值之和与外扩范围的关系，可以看出，外扩边界的不同会影响恢复信号的空间分布，当外扩半径在300 km以内时，随着外扩半径的增大，恢复信号与模拟信号的一致性增强；当外扩半径大于300 km时，两者的一致性趋于稳定。同时，由于60阶的球谐系数不能有效表达高空间分辨率的Mascon数据，故拟合法的恢复信号与Mascon模拟信号在空间分布上存在差异。综上所述，为恢复质量变化的同时确保恢复信号空间分布的准确性，拟合法改正南极泄露误差的外扩半径应大于等于300 km。

2.3 兼顾海洋信号影响时最佳外扩边界的确定

仅考虑南极信号泄露时的外扩边界为理想情况，实际上南极周边海洋信号也会影响反演结果。本节以全球CSR Mascon模型作为模拟数据，综合研究南极信号泄露和周边海洋信号对最佳外扩边界选取的影响。图 4为不同外扩半径下拟合恢复的南极质量变化的空间分布，由图可知，随着外扩半径的增大，海洋信号对拟合法的影响逐渐增强，恢复信号与模拟信号在空间分布上差异明显，尤其是东南极的Queen Maud Land、Enderby Land及Wilkes Land区域，主要原因为该区域边界外海洋信号较为明显。邹芳等^[10]利用全球正向建模恢复法恢复南极地区质量变化，其结果在东南极地区明显受海洋信号的影响。图 5为顾及海洋信号影响时恢复信号空间分布一致性指标与外扩范围的关系，由图可知，当边界外扩在100 km以内时，拟合法恢复结果与模拟数据较一致，之后随着外扩范围的增大，其空间一致性反而降低。

表 2(单位Gt/a)为顾及海洋信号影响时不同外扩半径下拟合法恢复的南极及各分区质量变化，可以看出，海洋信号对南极整体质量变化的影响存在规律性，对南极半岛和西南极质量变化影响较小，但对东南极影响显著，且随着外扩半径的增加，该影响逐渐增强，其原因在于东南极外海洋区域存在明显的质量增加信号，在拟合恢复过程中被约束至相邻的南极陆地区域。此外，拟合法恢复结果均大于模拟信号，主要是由于Mascon模型仍存在100~120 km的信号泄露^[11]。

综上所述，外扩范围内的海洋信号对东南极质量变化恢复的影响显著，造成恢复信号空间分布与模拟信号不一致，对拟合法恢复结果的影响不可忽略。因此，为准确估计南极质量变化，使用拟合法恢复前须扣除海洋信号的影响，但现阶段南极附近海洋区域缺少实测的质量变化数据，无法消除其影响。在无法利用外部数据消除海洋信号影响的情况下选择外扩边界，必须考虑海洋信号对恢复结果的影响。结合图 3和图 5分析可知，拟合法改正南极泄露误差的最佳外扩边界为南极海岸线外扩100 km，在消除泄露误差的同时还能有效减小海洋信号对拟合法恢复结果的影响。

3 GRACE估算南极冰盖质量变化

选取2003~2013年CSR RL05球谐系数时变重力场模型(最大阶次为60)估算南极质量变化，加入一阶项系数^[12]，利用激光测卫的C₂₀代替原始值^[13]，采用300 km的高斯滤波削弱高频及条带噪声，利用GW13模型消除冰后回弹^[14]。采用模拟实验确定的最佳外扩边界线100 km，利用拟合法恢复南极冰盖质量变化，同时与外扩300 km和800 km的恢复结果进行对比。图 6为Mascon、300 km高斯滤波和拟合法恢复的南极质量变化长期趋势，相应的质量变化速率统计见表 3(单位Gt/a)。在空间分布上，采用外扩100 km拟合恢复的长期趋势与Mascon结果符合较好；当采用更大外扩范围时，恢复结果在东南极的Queen Maud Land、Enderby Land及Wilkes Land地区与Mascon差异较大，其原因可能是相应区域相邻海域存在明显的质量增加信号，随着外扩边界的增大误将海洋信号约束至该区域，使得东南极质量持续增加。以上结论与模拟实验吻合，表明采用南极海岸线外扩100 km作为拟合法的最佳外扩范围是恰当的。

选取最佳外扩范围内的滤波信号拟合恢复南极质量变化，恢复结果与Mascon模型结果在空间分布上具有较高的一致性；在质量变化量级上，拟合恢复的南极质量变化长期趋势为-178.61 Gt/a，较滤波结果有明显提升，与Mascon模型南极整体长期变化趋势仅差2.56 Gt/a，且各分区的质量变化与Mascon模型结果差异均小于2 Gt/a。

4 结语

通常情况下，采用外扩边界来减小南极陆地的泄露误差，忽略了外扩范围内海洋信号的影响。本文以CSR Mascon模型为例，分析了外扩范围内海洋信号对拟合法恢复南极质量变化及空间分布的影响，发现其对东南极Queen Maud Land、Enderby Land及Wilkes Land等地区的影响尤为突出。为平衡南极信号泄露误差和外扩范围内海洋信号的影响，确定拟合法改正南极泄露误差的最佳外扩边界为南极海岸线外扩100 km。

采用最佳外扩边界范围内的滤波信号，利用拟合法通过CSR RL05时变重力场模型估算南极质量变化，其结果与Mascon模型差异较小，且空间分布一致性较好。模拟实验及真实数据结果均表明，拟合法恢复南极质量变化时考虑外扩范围内海洋信号的影响，才能保证在减小南极泄露误差的同时尽量削弱其对南极质量变化估算的影响。