在大坝变形预测中，BP神经网络模型等^[1-2]，被广泛应用。但是，BP收敛速度慢，易陷入局部极值，隐层和隐层节点个数选取困难^[3]。PSO标准粒子群算法具有良好的参数寻优能力，可以用来优化BP的权值和阈值，提高网络预测精度^[4]，但算法早熟收敛，可能不能获得最优结果。为此，对粒子群的惯性权重进行改进，使PSO-BP模型更易寻找到最优解，如线性惯性权重策略^[5](LDIW)、随机惯性权重策略^[6](RIW)和模糊惯性策略^[7](FIW)等改变惯性权重的方法，均使精度得到一定程度的提高。赵志刚等^[8]提出自适应惯性权重均值粒子群算法，提高了算法的全局搜索能力。本文基于粒子群和BP神经网络算法，提出一种加入变异操作的自适应粒子群神经网络模型，弥补BP网络和粒子群算法的不足，提高全局搜索能力，实现了大坝形变的精准预测。

1 标准粒子群优化BP网络算法 1.1 粒子群算法原理

粒子群算法是模拟鸟群觅食行为。粒子以一定的速度在D维空间飞行，期间由飞行经验和同伴飞行经验实现对速度的动态调整，更新粒子位移。在搜索过程中，粒子i依据目标函数的适应度评价粒子好坏，确定当前粒子的个体极值p_id和全局极值p_gd。粒子群的速度更新公式为：

$ \begin{align} & v_{id}^{(k+1)}=w\cdot v_{id}^{k}+c\cdot \\ & \text{rand}[({{p}_{id}}-x_{id}^{k})+({{p}_{gd}}-x_{id}^{k})] \\ \end{align} $

(1)

式中第1项是物体的运动惯性项，第2项是粒子对历史位置的记忆认知能力，第3项是粒子的社会认知，实现群体信息的共享。上式表明，粒子有向个体极值和群体极值方向移动的趋势。

粒子群位置更新公式为:

$ x_{id}^{k+1}=x_{id}^{k}+v_{id}^{k+1} $

(2)

1.2 BP算法原理

选用3层BP神经网络，包括输入层$X=\left( {{X}_{1}}, {{X}_{2}}, \ldots {{X}_{n}} \right) $、隐含层和输出层$Y=({{Y}_{1}}, {{Y}_{2}}, \ldots {{Y}_{n}}) $，结构如图 1。神经网络的训练过程实质上就是寻找一组权值，使得网络误差最小^[9]。

1.3 经典粒子群优化BP神经网络(PSO-BP)

为提高粒子群算法性能，Shi等引入惯性权重w，即公式(1)，此即标准粒子群算法。

经典粒子群优化BP网络中，粒子的惯性权重为一定值。在算法设计中，需要先确定BP网络结构和参数，进而确定PSO算法的粒子长度，即维度。在确定BP网络后，设置PSO参数(迭代次数、种群规模等)和目标函数(视问题而定)及前后迭代适应度之差的限值。PSO-BP模型确定后初始化BP网络，提取BP网络权值和阈值，利用PSO算法将其优化，并赋予BP网络，输入样本数据进行BP网络预测，进入迭代过程。当迭代误差小于阈值时，输出预测结果。

2 改进的PSO算法

经典PSO-BP神经网络中，PSO算法早熟收敛且受惯性权重影响较大。算法前期需要较大的权值来提高全局搜索能力，后期需要较小的权值以防止陷入局部极值^[10]。因此，随着迭代步数的增加，需要减小惯性权重。与经典PSO-BP不同，线性粒子群算法采用惯性权重线性递减权值的策略^[11]，自适应粒子群则采用非线性动态惯性权重系数公式^[12]。

2.1 线性粒子群算法

线性粒子群的权值调整公式如下：

$ w={{w}_{\text{max}}}-\frac{R({{w}_{\text{max}}}-{{w}_{\text{min}}})}{{{R}_{\text{max}}}} $

(3)

其中，w_max、w_min为设定的最大、最小惯性权重，R是粒子当前迭代次数，R_max是最大迭代步数。线性粒子群即是在粒子群参数确定的基础上，线性调整权值，更新粒子速度和位置，在搜索范围内得到最佳值。

2.2 改进的自适应粒子群算法

PSO搜索过程是高度复杂且非线性的，线性递减权重策略并不适于这种优化搜索过程，改用非线性权重递减策略可以提高预测精度^[13]：

$ w=\left\{ \begin{align} & {{w}_{\text{min}}}-\frac{({{w}_{\text{max}}}-{{w}_{\text{min}}})(f-{{f}_{\text{min}}})\text{ }}{{{f}_{\text{avg}}}-{{f}_{\text{min}}}}, \ \ \ \ f\le {{f}_{\text{avg}}} \\ & {{w}_{\text{max}}}\text{, }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ }f>{{f}_{\text{avg}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ } \\ \end{align} \right.\text{ } $

(4)

式中, f是粒子当前的适应度值，f_avg和f_min分别是当前所有粒子的平均和最小适应度值。通过判断粒子的离散程度，来动态改变粒子的惯性权重。当粒子的适应度值比较分散时，减小惯性权重; 比较一致时，增加惯性权重。在迭代计算中，粒子速度更新公式中随机项rand大于0.95时，粒子搜索能力降低。为了提高搜索能力，加入自适应变异，初始化这些粒子某个维度的值。改进后的算法非线性调整粒子权重，而且加入自适应变异，其全局搜索能力增强，不易陷入局部最优。

3 BP网络设计 3.1 BP参数确定

本文采用3层BP神经网络，隐含层节点个数为^[14]：

$ H_{m} <N_{I}-1 $

(5)

$ {{H}_{m}} <\sqrt{{{O}_{m}}+{{N}_{I}}}+a $

(6)

$ {{H}_{m}}=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}{{N}_{I}}~ $

(7)

式中，H_m为隐含层节点数，N_I为输入层节点数，O_m是输出层个数，a是0~10之间的常数。本文中输入层节点有8个，输出层节点1个，采用试凑法确定隐含层节点为6个，网络结构为8-6-1型。

3.2 BP算法流程

1) 初始化神经网络参数，设置输入层节点数8个、隐含层节点数6个和输出层节点1个，并随机初始化网络的权阈值。

2) 选取tan-sigmoid函数为隐含层传递函数，pureline函数为输出层传递函数，以实现任意非线性函数的映射。设置训练函数为traing-dx(自适应学习速率动量梯度下降反向传播算法)，最大训练步数1 000，训练目标0.000 01，学习速率0.01，附加动量因子0.9，训练截止次数20次。

3) 归一化训练数据和目标数据并输入BP网络，计算输出值与期望值之差并反向传播，更新权值和阈值，判断输出目标是否达到终止条件，否则重复步骤3)。

4) 输入测试数据，输出预测值，并与期望值比较，对此次预测结果进行精度评价。

4 改进自适应PSO-BP优化神经网络

改进自适应粒子群中加入了变异算子，权重非线性递减。设置粒子群种群规模为100，速度区间[-1, 1]，位置区间[-5, 5]，最大迭代次数100，学习率c₁=c₂=1.5。根据适应度函数不断迭代，评选出个体最佳和群体最佳位置，更新粒子的速度和位置。

改进粒子群算法和神经网络算法确定后，通过BP算法中权值和阈值将两种模型连接，即为ADPPSO-BP组合模型。为此，必须对粒子进行编码，计算出粒子的长度。在寻找最优值时，粒子群的评价函数直接影响最佳最优粒子，从而影响BP网络预测的精度。为使结果更接近真实值，本文选用与BP网络相适应的均方根误差作为适应度函数。

改进自适应PSO-BP网络算法步骤如下：

1) 确定粒子的编码长度：M=inputnum×hiddennum+hiddennum×2+1=61，粒子位置参数为神经网络的权值或阈值，编码长度是粒子维度。

2) 确定适应度函数。采用均方根误差作为粒子的适应度函数，评价粒子的“优劣”。

3) 为了加快数据处理速度和提高预测精度，对建模数据进行归一化处理。调用MATLAB神经网络命令newff建立网络，train函数进行网络训练，将训练结果反归一化处理并调整权阈值，完成模型训练。提取BP网络权阈值作为粒子群初始位置参数，开始寻优迭代。经过优化后的权值阈值赋给BP网络，进行网络预测，进一步调整权阈值，使得均方根误差小于设定的目标期望值，建立改进自适应PSO-BP模型。

模型确定后，算法实现程序如图 2所示。

5 工程实例

实验数据为丰满大坝30#坝段监测成果^[15]，包括水平变形、同期观测水位值、温度以及时间效应量。选取1985-03-22~1987-04-24共120组数据作为原始数据进行预测分析。

5.1 BP网络训练及结果输出

选取前100个数据作为训练数据，采用传统的粒子群优化BP神经网络模型、线性递减惯性权重优化神经网络模型、改进的自适应权重粒子群优化BP算法训练数据，结果如图 3~5所示。由图可见，ADPPSO-BP的拟合程度最高，LPSO-BP次之，PSO-BP误差较大。

将3种模型的拟合误差进行对比，如图 6、图 7。由图 6可知，PSO-BP较LPSO-BP波动大，在值域区间[-0.4，0.5]更加离散，LPSO-BP预测值更集中在0值附近，表明LPSO-BP预测优于传统的PSO-BP预测。ADPPSO-BP在值域范围比LPSO-BP算法表现得更加平稳且更集中在0值附近。可见，ADPPSO-BP模型预测精度最高、预测最准确，LPSO-BP次之，PSO-BP最差。

5.2 预测仿真

输入后20组样本数据，用标准PSO-BP、LPSO-BP和改进ADPPSO-BP模型进行预测模拟，结果见表 1。可以看出，PSO-BP预测相对误差绝对值集中在7%~8%，个别达到9%、11%、12%;20号样本预测误差最大，达到-15.38%，中误差为0.25 mm。LPSO-BP相对误差绝对值集中在5%~6%，个别误差在7%和8%左右; 20号样本误差为10.26%，略小于第一种，中误差为0.21 mm，说明PSO-BP和LPSO-BP对小值数据预测精度较差。ADPPSO-BP相对误差绝对值大部分在5%以内，少数样本误差集中在5%~6%，其中20号样本预测的相对误差为5.31%，中误差0.15 mm。相较于前两种模型，预测精度有很大提高，小值数据也可以精确预测。

6 结语

本文改进自适应惯性权重粒子群，并通过实例建模与PSO-BP、LPSO-BP进行比较。实验表明，线性惯性权重的预测精度比PSO-BP有所提高，但对于小值数据预测不太理想。自适应粒子群加入变异算子优化后的BP网络克服了小值数据的预测误差，大大提高了预测精度。