CG-5重力仪是加拿大Scintrex公司制造的数字重力仪^[1]，其精度可靠、性能稳定、操作简便，广泛用于矿藏勘探、地质填图、地震预报及区域重力研究等^[2]。仪器使用过程中需要定期对倾斜传感器零位补偿和灵敏度进行检验并视情况调整，使倾斜传感器精确反映仪器的真实倾斜状况。解析重力仪倾斜传感器检验调整原理，对于掌握仪器性能、改进检验调整方法、解决仪器使用中的问题乃至仪器二次开发利用等都至关重要。目前国内尚无关于该仪器检验调整原理方面的文献资料，本文从仪器倾斜角度与重力读数的关系入手，推导解析仪器检验调整的原理。

1 倾斜传感器检验调整步骤

倾斜传感器有2个重要参数——零位补偿和灵敏度。零位补偿表示倾斜传感器输出零角度时的实际倾斜角度，灵敏度表示电压信号与倾斜角度的定量缩放关系。

1.1 零位补偿检验调整步骤

先将一个方向的水平轴精确调平，再将另外1个水平轴调整倾斜角度分别为+150"±5"附近和-150"±5"附近，并进行重力测量。测量结束后，仪器界面将显示2种倾斜状态(±150"附近)时对应的相对重力读数值、新的零位补偿值和新旧零位补偿值之差，视情况决定是否采用新的零位补偿值。

1.2 灵敏度检验调整步骤

先将一个方向的水平轴精确调平，再将另外一个水平轴调整倾斜角度分别为0"±5"附近和+150"±5"附近，并进行重力测量。测量结束后，仪器将显示2种倾斜状态(0"附近和150"附近)时对应的相对重力读数值、原灵敏度值和新灵敏度值，视情况决定是否采用新的灵敏度值。

2 倾斜传感器检验调整原理解析

仪器出厂时已经精确调整了倾斜传感器与重力传感器的交叉耦合，也就是说2个水平轴垂直，确保倾斜传感器一个方向的水平轴倾斜角度调整时，不影响另外一个方向水平轴的倾斜状态，使2个水平轴倾斜状态保持相互独立，这样便于独立分析各水平轴的倾斜特点。

2.1 倾斜传感器零位补偿检验调整原理解析

当倾斜传感器处于水平状态时，理论上该传感器的输出电压应为基准(反转)电压，但实际上倾斜传感器输出的电压与基准电压仍然会有一个较小的偏差。将该偏差定义为不依赖于倾角位置的输出电压，转换为角秒单位就是零位补偿^[3]。以X轴检验调整为例，先将Y方向水平轴处于水平状态，X方向水平轴在+150"±5"附近和-150"±5"附近，此时仪器界面显示的倾斜角度值T₁、T₂分别为：

$ {T_1} = \left[ {\left( {{S_1} - {t_0}} \right) \times 0.000\;076\;295 - 2.5} \right] \times L $

(1)

$ {T_2} = \left[ {\left( {{S_2} - {t_0}} \right) \times 0.000\;076\;295 - 2.5} \right] \times L $

(2)

式中，S₁和S₂分别为2种状态下倾斜传感器输出的数字信号，t₀为原零位补偿，L为X轴的灵敏度。

电子元器件本身具有漂移的电气特性，同时，外界影响也会使仪器零位补偿发生变化。经过一段时间后，零位补偿已经发生变化Δt，此时将仪器倾斜状态调整至±150"(分别对应T₁、T₂)附近时，数字水准器倾斜并不是T₁和T₂，而是T₁+Δt和T₂+Δt。零位补偿检验调整相互关系如图 1所示。

2种倾斜状态下，敏感的仪器重力传感器将电压信息转换为重力信息^[3]，进行温度补偿和固体潮改正^[4]后的相对重力读数分别为g₁和g₂。同一位置2个相对重力读数产生差异的原因是仪器倾斜造成的，即

$ {g_1} - {g_2} = \left( {g - g_\Delta ^1} \right) - \left( {g - g_\Delta ^2} \right) $

(3)

一个水平方向的仪器倾斜对重力读数的影响为^[5]：

$ {g_\Delta } = \gamma \times \left( {1 - \cos \left( {T + \Delta t} \right)} \right) $

(4)

式中，γ为地球平均海水面的重力值980 600×10^-5ms^-2。将2种倾斜状态下倾斜角度(式(1)和式(2))代入式(3)，整理后即可得到：

$ \cos \left( {{T_2} + \Delta t} \right) - \cos \left( {{T_1} + \Delta t} \right) = \frac{{{g_1} - {g_2}}}{\gamma } $

(5)

根据三角函数计算公式，可将式(5)简化为：

$ A\cos \Delta t + B\sin \Delta t = \frac{{{g_1} - {g_2}}}{\gamma } $

(6)

式中，A、B分别为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {A = \cos {T_2} - \cos {T_1}}\\ {B = \sin {T_1} - \sin {T_2}} \end{array} $

为了求解Δt，式(5)可以转换为Δt与相对重力差的三角函数关系式，即

$ \sqrt {{A^2} + {B^2}} \sin \left( {\Delta t + \varphi } \right) = \frac{{{g_1} - {g_2}}}{\gamma } $

(7)

其中初相角的计算式为：

$ \varphi = \arcsin \left( {\frac{B}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}} \right) $

因此，根据式(7)即可求得倾斜传感器的零位补偿变化量，即

$ \Delta t = \arcsin \left( {\frac{{\left. {{g_1} - {g_2}} \right)}}{{\gamma \sqrt {{A^2} + {B^2}} }}} \right) - \varphi $

(8)

新的零位补偿值t为：

$ t = {t_0} + \Delta t $

(9)

另一个水平方向的零位补偿解析方法类似，只是根据仪器定义的正负方向，式(1)和(2)多一个负号。

2.2 倾斜传感器灵敏度检验调整原理解析

灵敏度是指输出变化量与输入变化量之间的定量关系，当输出与输入关系为线性时，灵敏度变为输出与输入之比。CG-5重力仪倾斜传感器灵敏度反映的是角度与电压的关系，是非线性的。灵敏度检验在零位补偿检验调整后进行，相当于零位补偿已经精确测定，也就是说式(1)和(2)中已知t₀求L。与零位补偿值的解析方法类似，认为仪器倾斜状态为0"±5"附近和150"±5"附近时未经倾斜改正的相对重力读数之差是仪器倾斜造成的，即

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left[ {{k_1}\left( {{L_0} + \Delta L} \right)} \right] - }\\ {\cos \left[ {{k_2}\left( {{L_0} + \Delta L} \right)} \right] = \frac{{{g_2} - {g_1}}}{\gamma }} \end{array} $

(10)

式中，k₁、k₂分别为0"附近和150"附近的电压信号值，单位为V，即

$ {k_1} = \left[ {\left( {{S_1} - t} \right) \times 0.000\;076\;295 - 2.5} \right] $

(11)

$ {k_2} = \left[ {\left( {{S_2} - t} \right) \times 0.000\;076\;295 - 2.5} \right] $

(12)

式(10)中只有灵敏度变化量ΔL是未知数，解此方程即可得到该未知数，从而得到新的灵敏度。鉴于倾斜角度k(L₀+ΔL)为小值，可将该式左边的余弦函数展开成泰勒级数，并取至一阶项，可直接得到新灵敏度的计算式，即

$ L'' = {L_0} + \Delta L = 206\;265'' \times \sqrt {\frac{{2\left( {{g_2} - {g_2}} \right)}}{{\gamma \left( {k_1^2 - k_2^2} \right)}}} $

(13)

另一个水平方向，也就是Y轴的灵敏度解析方法类似。

3 倾斜传感器检验调整过程解析 3.1 倾斜传感器零位补偿检验调整流程解析

倾斜传感器零位补偿检验调整过程中，通过旋转脚螺旋，参照仪器界面显示情况，调整倾斜状态至约±150"(分别对应T₁、T₂)时，倾斜角度并不是T₁和T₂，比较准确的倾斜角度是T₁+Δt和T₂+Δt。因为T₁和T₂是参考t₀这个初始零位补偿调整后得到，如式(1)和式(2)所示，真实情况是t₀已经发生变化。为了求得准确的零位补偿，需要以更加准确的t₀+Δt为初始零位补偿再次检验调整，这样的检验调整过程需要重复多次。倾斜传感器零位补偿反复检验调整，实际上是一个零位补偿迭代的过程，零位补偿收敛到一定程度后，满足一定限差，便可停止迭代，即终止检验调整过程，达到T+Δt充分接近检验时界面显示的倾斜角度的目的。

3.2 倾斜传感器灵敏度检验调整流程解析

倾斜传感器零位补偿检验调整后，灵敏度检验调整也是通过旋转脚螺旋参照仪器界面显示情况, 调整仪器倾斜状态分别至0"和150"附近。若灵敏度发生变化，原灵敏度L₀变为L₀+ΔL，仪器实际的倾斜角度并不真正是仪器界面显示的0"和150"附近，发生变化的原因是ΔL发生了变化。式(10)中ΔL求解过程除了需要L₀作为初始值外，如式(11)和式(12)所示，还需要L₀作为将以角秒为单位的零位补偿值转化为数字信号的转换系数，即

$ t = \frac{{t''}}{{{L_0} \times 0.000\;076\;295}} $

(14)

由于灵敏度L₀发生变化，以L₀为初始基准计算的ΔL势必存在误差，这就需要以比较精确的L₀+ΔL为初始基准，再次检验调整。实际上，灵敏度的检验调整也是一个迭代的过程。灵敏度收敛到一定程度后，满足一定限差便可停止迭代，即终止检验调整，达到k₁L和k₂L分别充分接近检验中界面显示的倾斜角度值的目的。

4 倾斜传感器检验调整解析参数结果比对

为了验证倾斜传感器检验调整解析模型的正确性，选取4台仪器进行倾斜传感器零位补偿的检验调整，选取另外4台仪器进行灵敏度的检验调整。X方向零位补偿检验调整时仪器计算值和解析计算值比对情况如表 1所示，Y方向零位补偿检验调整时仪器计算值和解析计算值比对情况如表 2所示；X方向灵敏度检验调整时仪器计算值和解析计算值比对情况如表 3(单位"/V)所示，Y方向灵敏度检验调整时仪器计算值和解析计算值比对情况如表 4(单位"/V)所示。

通过对比4个表的结果可以证明，本文解析的计算模型正确，产生微小差异的原因是仪器内部运算时采用的数据经过剔除，而解析计算值未进行任何数据剔除。

5 倾斜传感器检验调整限差设置

由倾斜传感器的检验调整原理和过程解析可知，倾斜传感器检验调整需要通过迭代方法使其收敛在一定范围内，以实现传感器零位补偿和灵敏度的精确调整。迭代次数与初始值设置有很大关系，零位补偿和灵敏度初始值越精确，迭代次数越少，因此检验调整时可以根据出厂值或上一次的检验结果设置初始值。此外，迭代次数还与迭代的终止条件有关，即与检验调整的限差设置有关。

5.1 零位补偿偏差和灵敏度偏差对重力倾斜改正的影响 5.1.1 零位补偿偏差对重力倾斜改正的影响

倾斜传感器的零位补偿偏差反映了倾斜传感器倾斜状态的误差，直接影响仪器对相对重力读数进行倾斜改正的准确性。从前面检验调整的原理和流程解析可知，检验调整前后2次的零位补偿值差异越小，测站上仪器显示的倾斜角度值越准确，相对重力读数的倾斜改正精度越高。为了分析零位补偿偏差对相对重力读数倾斜改正的影响，将式(4)微分可得:

$ {\rm{d}}\left( {{g_\Delta }} \right) = \frac{{980\;600\sin T \times {\rm{d}}\left( {\Delta t} \right)}}{{206\;265}} $

(15)

此时，T为仪器界面显示的倾斜角度，也就是倾斜状态，Δt为零位补偿值的偏差。不同的零位补偿偏差对应不同的倾斜状态，对改正数的影响是有差异的。一般来说，在三脚架上安置仪器，可在±10"倾斜范围内进行相对重力读数。但对于一些特殊测量，如将仪器安置在车辆上进行测量时，车载平台无法严格水平，只能稳定在一定范围内，这时仪器的倾斜量很大，有可能在±150"附近读数。根据式(15)就可以得到±10"和±150"倾斜状态时补偿偏差大小对重力读数倾斜改正数的影响，计算结果如表 5所示。

5.1.2 灵敏度偏差对重力倾斜改正的影响

灵敏度检验调整限差应与零位补偿限差相适应，灵敏度设置与重力值相关，准确的灵敏度结合零位补偿能够消除仪器倾斜对读数的影响。先将式(14)代入式(1)或式(2)得到:

$ T = \left[ {\left( {S - \frac{t}{{CL}}} \right) \times C - 2.5} \right] \times L $

(16)

式中，C=0.000 076 295。再将式(16)代入式(4)，并对L微分，得：

$ {\rm{d}}\left( {{g_\Delta }} \right) = \frac{{980\;600 \times \left( {SC - 2.5} \right) \times \sin T \times {\rm{d}}\left( {\Delta L} \right)}}{{206\;265}} $

(17)

式中，T=CLS-2.5L-Ct，即为仪器的倾斜状态，SC-2.5为不含零位补偿的电压值。该仪器的零位补偿值一般在±100"以内，灵敏度在500~800"/V之间。根据补偿值与灵敏度关系可以计算得到不同倾斜状态时的SC-2.5最大值，例如倾斜状态为10"，则SC-2.5为0.22 V，这样就可以得到倾斜状态±10"和±150"时不同偏差的影响，结果如表 6所示。

5.2 零位补偿和灵敏度限差设置要求

由表 5和表 6可知，倾斜传感器零位补偿偏差和灵敏度偏差直接影响相对重力读数，也就是说，相对重力读数的精度决定于倾斜传感器零位补偿偏差和灵敏度偏差的大小，这2个限差设置后，对相对重力读数的影响应该一致。例如，设置零位补偿偏差为20"时，对相对重力读数的影响是0.004 6×10^-5ms^-2，此时兼顾灵敏度对相对重力读数的影响，应与设置灵敏度偏差为30"/V时是一致的。

此外，CG-5重力仪倾斜传感器灵敏度检验调整过程结束后，弹出的界面仅显示±0"和±150"附近的倾斜角度及对应的相对重力读数，该读数已经过倾斜改正。2种倾斜状态下的相对重力读数之差直接反映灵敏度检验调整的效果，因此，规定相对重力读数之差的限差就等同于设置了灵敏度检验调整的限差。

6 结语

本文提出2个基于物理原理的解析式，确定了倾斜传感器零位补偿和灵敏度分别与倾斜角度的定量关系，通过与仪器内部计算结果的比较，证明该解析方法完全正确。对照仪器检验调整过程，解析了倾斜传感器零位补偿和灵敏度检验调整的迭代机理，在此基础上分析检验调整对重力观测的影响，并提出倾斜传感器零位补偿和灵敏度检验调整限差的设置依据，为解决应用中的问题和精化仪器运用提供理论基础。后期将主要针对零位补偿和灵敏度初始值设置对迭代次数的影响及零位补偿和灵敏度的耦合关系等进行深入研究，以期得到有益结论。