随着我国航空航天、造船、核能、轨道交通、大科学装置等领域对工件制造及装配的精度要求越来越高，相应地对仪器的测量精度提出了非常高的要求^[1-4]。影响激光跟踪仪自身测量精度的因素为测角误差和测距误差^[5]，现有的提升激光跟踪仪测量精度的方法主要有2种：一种是对测角和测距系统误差进行补偿。由于测角和测距误差主要是由跟踪仪内部部件几何位置不正确造成的，激光跟踪仪厂家都建立有相应的仪器几何误差模型，并在仪器系统软件中开发了专门的仪器误差补偿模块，通过在测量现场对激光跟踪仪进行双面测量、测距零点测量等来进行误差补偿。有学者研究通过正多面棱体和自准直仪相结合的方法对激光跟踪仪的测角误差进行标定^[6]，以及通过激光干涉仪对激光跟踪仪的测距进行标定^[7]。另外一种是改进测量方法，如采用激光跟踪仪测边法。根据激光跟踪仪测角精度低、测距精度高的特点，只采用跟踪仪测量的距离值作为观测值，充分发挥激光跟踪仪测距精度高的优势，彻底消除测角误差大的影响，以提升激光跟踪仪的点位测量精度^[8]。但是，这种方法缺少角度测量值信息，所需测站数成倍增加，同时不同的网形对最终的测量精度影响很大。

在现代仪器制造中，部件的制造和装配精度已经不像以前那么重要，重要的是设法提高仪器的精密性和重复性^[9]。激光跟踪仪的测量重复性一般是测量误差的1/2，因此，针对激光跟踪仪测量重复性高的特点，提出基于长度标准装置对激光跟踪仪的观测值进行标定，然后将标定值用于激光跟踪仪实际测量的误差修正，努力使激光跟踪仪的测量精度超越现有水平。

1 基于长度标准装置对激光跟踪仪进行标定的方法

长度标准装置主要由精密导轨系统、长度测量系统、环境监测系统和自动控制系统4个部分组成。精密导轨系统为直线导轨；长度测量系统利用激光干涉仪作为测量基准；环境监测系统用于采集温度参数，供系统实时补偿^[10]。长度标准装置工作方法：干涉仪的反射球放置在工作台上，工作台由电机驱动沿直线导轨运行，移动的距离由激光干涉系统测量。在中国计量院有80 m长的长度标准装置、在中航工业北京长城计量测试技术研究所有30 m长的长度标准装置以及在中国散裂中子源国家大科学装置建设有20 m长的长度标准装置。参考我国国家质量监督检验检疫总局发布的“JJF1242-2010激光跟踪三维坐标测量系统校准规范”以及美国机械工程师协会发布的“ASME B89.4.19-2006 Performance Evaluation of Laser-Based Spherical Coordinate Measurements Systems”标准规范，这些长度标准装置通常被用来作为激光跟踪仪校准以及现场性能检查的一种手段^[11-12]。本文提出基于长度标准装置对激光跟踪仪进行标定的方法，在对仪器校准提供示值误差的基础上，利用激光跟踪仪测量重复性高的特点，对激光跟踪仪的实际测量误差进行修正，提升激光跟踪仪的测量精度。

基于长度标准装置对激光跟踪仪进行标定的方法如下：将激光干涉仪固定在长度标准装置上，将激光跟踪仪稳固架设，使长度标准装置的运动平台在导轨上运动，在运动路径上选取若干停留点作为标定点。激光干涉仪对标定点的激光干涉仪反射球进行测量获得长度观测值，激光跟踪仪对标定点的激光跟踪仪反射球进行测量，获得水平方向观测值、天顶距观测值、边长观测值。变换激光跟踪仪的架设方位，重复上述测量步骤，使激光跟踪仪的水平方向观测值覆盖0°~360°范围、天顶距观测值覆盖激光跟踪仪俯仰测量范围、边长观测值覆盖激光跟踪仪测量半径(图 1)。

根据激光跟踪仪对观测值标定的要求以及长度标定装置的摆放，具体的标定方法分为如下4种：1)水平测量标定。长度标准装置水平放置，激光跟踪仪距离长度标准装置至少2 m远，并稳固架设在长度标准装置中部位置。2)垂直测量标定。长度标准装置垂直放置，激光跟踪仪距离长度标准装置至少2 m远，并稳固架设在长度标准装置中部位置。3)纵向测量标定。长度标准装置水平放置，激光跟踪仪稳固架设在长度标准装置的端头。4)对角线测量标定。长度标准装置与地面成45°夹角倾斜放置，激光跟踪仪距离长度标准装置至少2 m远，并稳固架设在长度标准装置中部位置。激光跟踪仪和激光干涉仪分别对标定点进行测量获得对标定点的观测值。

通过上述对标定点的测量，可以得到激光跟踪仪的水平方向观测值、天顶距观测值、边长观测值以及相对应的激光干涉仪的长度观测值, 建立激光跟踪仪和激光干涉仪标定观测的数学模型，计算得到标定点观测值的改正数以及标定点观测值平差值的精度。

2 基于长度标准装置对激光跟踪仪进行标定的数学模型

首先建立激光跟踪仪仪器坐标系、装置测站坐标系、激光干涉仪坐标系，在这3个坐标系下对激光跟踪仪及激光干涉仪的各个观测值进行数学模型建立及分析。

激光跟踪仪仪器坐标系：以激光跟踪仪仪器中心点为原点，以竖轴为第一轴Z轴，以激光跟踪仪的零方向为第二轴X轴(激光跟踪仪的零方向是指水平方向观测值为零的方向，一般特定指向跟踪仪的基点)。在仪器坐标系下目标的三维坐标为(X_T, Y_T, Z_T)：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{X_T} = S\sin \beta \cos \alpha }\\ {{Y_T} = S\sin \beta \sin \alpha }\\ {{Z_T} = S\cos \beta } \end{array}} \right. $

(1)

式中，α为水平方向观测值，β为天顶距观测值，S为斜距。

装置测站坐标系：以激光跟踪仪仪器中心点为原点，以竖轴为第一轴Z轴，以激光干涉仪的激光束方向为第二轴X轴。以装置测站坐标系为全局坐标系，在装置测站坐标系下目标的三维坐标为(X, Y, Z)：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {X = S\sin \beta \cos (\alpha + W)}\\ {Y = S\sin \beta \sin (\alpha + W)}\\ {Z = S\cos \beta } \end{array}} \right. $

(2)

式中，W为激光跟踪仪的零方向在装置测站坐标系下的方位角。

激光干涉仪坐标系：以激光干涉仪的测距零点为原点，以激光干涉仪的激光束方向为第一轴X轴，以装置测站坐标系的Y轴为第二轴Y轴。激光干涉仪坐标系与装置测站坐标系的转化关系为：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_I}}\\ {{Y_I}}\\ {{Z_I}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_\Delta }}\\ {{Y_\Delta }}\\ {{Z_\Delta }} \end{array}} \right] + {\mathit{\boldsymbol{R}}_y}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} X\\ Y\\ Z \end{array}} \right] $

(3)

其中，$\begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_y} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos R}&0&{ - \sin R}\\ 0&1&0\\ {\sin R}&0&{\cos R} \end{array}} \right]\\ {X_I} = {X_\Delta } + X\cos R - Z\sin R \end{array}$

式中，R为激光干涉仪坐标系与装置测站坐标系转化的旋转角，在激光干涉仪坐标系下目标的三维坐标为(X_I, Y_I, Z_I)。

2.1 激光跟踪仪水平方向函数模型与误差方程

对于标定点在激光跟踪仪下的水平方向观测值，有观测方程${\hat \alpha _i} = \arctan \frac{{{{\hat Y}_i}}}{{{{\hat X}_i}}} - \hat W$。平差方程为：

$ \begin{array}{l} {\alpha _i} + {v_{\alpha i}} = \arctan \frac{{Y_i^0}}{{X_i^0}} - \frac{{Y_i^0}}{{{{(D_i^0)}^2}}}{{\hat x}_i} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{X_i^0}}{{{{(D_i^0)}^2}}}{{\hat y}_i} - ({W^0} + \hat w) \end{array} $

其中，$D_i^0 = \sqrt {{{(X_i^0)}^2} + {{(Y_i^0)}^2}} $。令${l_{\alpha i}} = {\alpha _i} - (\arctan \frac{{Y_i^0}}{{X_i^0}} - {W^0})$，则水平方向的误差方程为：

$ {v_{\alpha i}} = - \frac{{\rho ''Y_i^0}}{{{{(D_i^0)}^2}}}{\hat x_i}{\rm{ + }}\frac{{\rho ''X_i^0}}{{{{(D_i^0)}^2}}}{\hat y_i} - \hat w - {l_{\alpha i}} $

(4)

2.2 激光跟踪仪天顶距测角函数模型与误差方程

对于标定点在激光跟踪仪下的天顶距观测值，有观测方程${\hat \beta _i} = \arccos \frac{{{{\hat Z}_i}}}{{\sqrt {{{\hat X}_i}^2 + {{\hat Y}_i}^2 + {{\hat Z}_i}^2} }}$。平差方程为：

$ {\beta _i} + {v_{\beta i}} = \arccos \frac{{Z_i^0}}{{S_i^0}} + \frac{{X_i^0Z_i^0}}{{{{(S_i^0)}^2}D_i^0}}{\hat x_i} + \frac{{Y_i^0Z_i^0}}{{{{(S_i^0)}^2}D_i^0}}{\hat y_i} - \frac{{D_i^0}}{{{{(S_i^0)}^2}}}{\hat z_i} $

其中，$S_i^0 = \sqrt {{{(X_i^0)}^2} + {{(Y_i^0)}^2} + {{(Z_i^0)}^2}} $。令${l_{\beta i}} = {\beta _i} - \arccos \frac{{Z_i^0}}{{S_i^0}}$，则天顶距的误差方程为：

$ {v_{\beta i}} = \frac{{\rho ''X_i^0Z_i^0}}{{{{(S_i^0)}^2}D_i^0}}{\hat x_i} + \frac{{\rho ''Y_i^0Z_i^0}}{{{{(S_i^0)}^2}D_i^0}}{\hat y_i} - \frac{{\rho ''D_i^0}}{{{{(S_i^0)}^2}}}{\hat z_i} - {l_{\beta i}} $

(5)

2.3 激光跟踪仪边长测量函数模型与误差方程

对于标定点在激光跟踪仪下的边长观测值，有观测方程为${\hat S_i} = \sqrt {{{\hat X}_i}^2 + {{\hat Y}_i}^2 + {{\hat Z}_i}^2} $，平差方程为：${S_i} + {v_{Si}} = S_i^0 + \frac{{X_i^0}}{{S_i^0}}{\hat x_i} + \frac{{Y_i^0}}{{S_i^0}}{\hat y_i} + \frac{{Z_i^0}}{{S_i^0}}{\hat z_i}$。令${l_{Si}} = {S_i} - S_{_i}^0$，则边长的误差方程为：

$ {v_{Si}} = \frac{{X_i^0}}{{S_i^0}}{\hat x_i} + \frac{{Y_i^0}}{{S_i^0}}{\hat y_i} + \frac{{Z_i^0}}{{S_i^0}}{\hat z_i} - {l_{Si}} $

(6)

2.4 激光干涉仪长度测量函数模型与误差方程

对于标定点在激光干涉仪下的长度观测值，有观测方程为：${\hat L_i} = {\hat X_\Delta } + \hat X\cos \hat R - \hat Z\sin \hat R$，平差方程为：${L_i} + {v_{Li}} = {({X_\Delta })^0} + X_i^0\cos {R^0} - Z_i^0\sin {R^0} + \cos {R^0}{\hat x_i} - $$\sin {R^0}{\hat z_i} - (X_i^0\sin {R^0} + Z_i^0\cos {R^0})\hat r + {\hat x_\Delta }$。令${l_{Li}} = {L_i} - {({X_\Delta })^0} - X_i^0\cos {R^0} + Z_i^0\sin {R^0}$，则长度的误差方程为：

$ \begin{array}{l} {v_{Li}} = \cos {R^0}{{\hat x}_i} - \sin {R^0}{{\hat z}_i} - \\ (X_i^0\sin {R^0} + Z_i^0\cos {R^0})\hat r + {{\hat x}_\Delta } - {l_{Li}} \end{array} $

(7)

2.5 间接平差的函数模型及误差方程的矩阵形式

假设激光跟踪仪测量有n个标定点，则根据式(4)~(7)，可得到误差方程的矩阵形式^[13]：

$ \mathop {\mathit{\boldsymbol{V}}}\limits_{4n \times 1} = \mathop {\mathit{\boldsymbol{B}}}\limits_{4n \times (3n + 3)} \mathop {\hat {\mathit{\boldsymbol{x}}}}\limits_{(3n + 3) \times 1} - \mathop {\mathit{\boldsymbol{l}}}\limits_{4n \times 1} $

(8)

$ \mathop {\mathit{\boldsymbol{V}}}\limits_{4n \times 1} = \\\;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{\alpha 1}}}&{{v_{\beta 1}}}&{{v_{S1}}}&{{v_{L1}}}& \cdots &{{v_{\alpha i}}}&{{v_{\beta i}}}&{{v_{Si}}}&{{v_{Li}}}& \cdots &{{v_{\alpha n}}}&{{v_{\beta n}}}&{{v_{Sn}}}&{{v_{Ln}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

$ \mathop {\hat {\mathit{\boldsymbol{x}}}}\limits_{(3n + 3) \times 1} = \\\;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat x}_1}}&{{{\hat y}_1}}&{{{\hat z}_1}}& \cdots &{{{\hat x}_i}}&{{{\hat y}_i}}&{{{\hat z}_i}}& \cdots &{{{\hat x}_n}}&{{{\hat y}_n}}&{{{\hat z}_n}}&{\hat w}&{\hat r}&{{{\hat x}_\Delta }} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

$ \mathop {\mathit{\boldsymbol{l}}}\limits_{4n \times 1} = \\\;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{\alpha 1}}}&{{l_{\beta 1}}}&{{l_{S1}}}&{{l_{L1}}}& \cdots &{{l_{\alpha i}}}&{{l_{\beta i}}}&{{l_{Si}}}&{{l_{Li}}}& \cdots &{{l_{\alpha n}}}&{{l_{\beta n}}}&{{l_{Sn}}}&{{l_{Ln}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

2.6 随机模型

由于带有误差的观测值是一种随机变量, 因此，在对误差方程进行平差求解时需要考虑其随机模型。随机模型是描述平差问题中的随机量及其相互间统计相关性质的模型。在上述平差函数模型中，观测值α_i、β_i、S_i、L_i为随机量，模型中的参数$\mathop {\hat {\mathit{\boldsymbol{x}}}}\limits_{(3n + 3) \times 1} $是非随机量，因此，随机模型是指观测值的方差阵：$\mathop {\mathit{\boldsymbol{D}}}\limits_{4n \times 4n} = \sigma _0^2\mathop {\mathit{\boldsymbol{Q}}}\limits_{4n \times 4n} = \sigma _0^2{\mathop {{{\mathit{\boldsymbol{P}}}^{ - 1}}}\limits_{4n \times 4n} }$。式中，Q为观测值的协因数阵，P为观测值的权阵，P与Q互为逆阵，σ₀²为单位权方差。

在平差前，一般根据仪器的标称精度来定权。以Leica AT960激光跟踪仪^[14]为例，其角度精度为15 μm+6 μm/m，因此，其水平方向精度为${\sigma _{{\alpha _i}}} = (\frac{{15}}{{{S_i}}} + 6) \times {10^{ - 6}} \times \rho ''$，天顶距测角精度为${\sigma _{{\beta _i}}} = (\frac{{15}}{{{S_i}}} + 6) \times {10^{ - 6}} \times \rho ''$，绝对测距精度为σ_Si=10 μm；以API激光干涉仪XD标准型^[15]为例，其长度测量精度为σ_Li=0.5×10^－6L_i(S_i和L_i单位为m)。上述观测值相互之间都是独立的，所以权阵P为对角阵，其中${P_{\alpha i}} = \sigma _0^2{\rm{ /}}{\sigma _{\alpha i}}^2,{P_{\beta i}} = \sigma _0^2{\rm{ /}}{\sigma _{\beta i}}^2,{P_{Si}} = \sigma _0^2/{\sigma _{Si}}^2,{P_{Li}} = \sigma _0^2/{\sigma _{Li}}^2$。

2.7 平差解算及精度

由于激光跟踪仪测量有n个标定点，那么，总共有4n个观测方程，有3n+3个未知参数，观测方程的个数应不小于未知参数个数，即n≥3。根据最小二乘原理，式(8)中的$\mathit{\boldsymbol{\hat x}}$必须满足V^TPV =min的要求，则得到：

$ \mathit{\boldsymbol{\hat x}} = {({\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}})^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Pl}} $

(9)

将式(9)代入式(8)，可以得到每个观测值的改正数：

$ \mathit{\boldsymbol{V}} = \mathit{\boldsymbol{B}}{({\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}})^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Pl}} - \mathit{\boldsymbol{l}} $

(10)

单位权方差σ₀²的估值$\hat \sigma _0^2$为：${\hat \sigma _0} = \sqrt {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PV}}}}{{(n - 3)}}} $。观测值的平差值的方差阵为：

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_{\hat \alpha \hat \beta \hat S}}_{\hat L \times \hat \alpha \hat \beta \hat S\hat L} = \hat \sigma _0^2\mathit{\boldsymbol{B}}{({\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}})^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}} $

(11)

3 基于长度标准装置对激光跟踪仪进行误差补偿

由式(10)和式(11)可以得到激光跟踪仪标定点P_i的观测值α_i、β_i、S_i，及其对应的改正数v_αi、v_βi、v_Si和观测值的平差值的精度σ_αi、σ_βi、σ_Si。针对激光跟踪仪测量重复性高的特点, 当激光跟踪仪标定完进行现场测量时，提出采用对标定点观测值进行插值的方法对测量点M的观测值α_m、β_m、S_m进行误差修正, 从而对激光跟踪仪进行误差补偿。由于激光跟踪仪的测距精度高，其精度主要是受测角精度的限制，因此，应重点对激光跟踪仪的角度误差进行修正。插值改正的方法为：以激光跟踪仪仪器坐标系的原点为球心，构建一个球体，将标定点和目标点都映射在这个球体表面上(图 3)。

以对目标点M的水平方向观测值进行插值为例，选取其周围4个相邻且其水平方向观测值的平差值的精度比先验精度高的标定点P_i、P_j、P_k、P_l进行插值计算，得到目标点M水平方向观测值α_m的改正数：v_αm=v_αiQ_αi+v_αjQ_αj+v_αkQ_αk+v_αlQ_αl，其中Q_α为标定点水平方向改正数对应的权，与标定点观测值的平差值的方差及目标点与标定点的距离等有关。测量点M经过改正后的水平方向观测值为${\hat \alpha _m} = {\alpha _m} + {v_{\alpha m}}$。同理，对测量点M的天顶距观测值进行插值，得到其天顶距观测值β_m的改正数v_βm，以及最终经过改正后的观测值${\hat \beta _m} = {\beta _m} + {v_{\beta m}}$。

为了验证本文方法的可行性，采用长度标准装置对Leica AT401激光跟踪仪进行水平方向标定及标定后的精度测试(见表 1)。水平方向标定时，激光跟踪仪距离长度标准装置5 m远，共观测21个标定点，每个标定点相距约1 m，覆盖水平方向的观测范围为91°~333°，通过计算得到标定点水平方向的改正数。为了测试激光跟踪仪标定后的测量精度，在长度标准装置上布设有21个目标点M₁~M₂₁，激光跟踪仪相对于长度标准装置的方位保持不变，目标点与标定点的位置也基本一致。将M₁点置为起始点，采用激光干涉仪可以测量得到M₂~M₂₁点到M₁点之间的距离；同时，通过激光跟踪仪对目标点进行观测得到各目标点的坐标，利用目标点的坐标反算也可以得到M₂~M₂₁点到M₁点之间的距离，将坐标反算得到的距离分别与干涉仪测量的距离进行对比，得到差值1。由于激光跟踪仪测量得到目标点之间的距离主要受其水平方向误差的影响，因此，本例只对目标点的水平方向进行改正，得到目标点改正后的水平方向及水平方向改正后的坐标。同样，将改正后的坐标反算得到的距离分别与干涉仪测量的距离进行对比，得到差值2。对表 1中的差值1和差值2进行统计，差值1的RMS为19.5 μm，差值2的RMS为10.2 μm。由此得出，激光跟踪仪经过误差补偿后，其测量精度得到一定提高。

4 结语

本文利用激光跟踪仪测量重复性高的特点, 从理论上详细给出了对激光跟踪仪观测值进行误差修正的方法，同时，通过一组简单的实验测试，初步验证这种方法对激光跟踪仪测量精度的提高是可行有效的，后续将开展更详细的测试完善。在本方法中，通过引入方位角W进行激光跟踪仪仪器坐标系与装置测站坐标系的转换，引入旋转角R进行装置测站坐标系与激光干涉仪坐标系的转化，建立激光跟踪仪对标定点的观测值与激光干涉仪对标定点的观测值之间的数学关系，从而彻底消除了激光跟踪仪反射镜的运动轴线与激光干涉仪的激光束方向不平行造成的余弦误差的影响，降低了对长度标准装置的导轨直线度和激光干涉仪的光束调整精度的要求，从而降低了长度标准装置的建造标准，使得长度标准装置走向平民化，在普通单位即可开展仪器校准和误差补偿。同时，在对仪器校准提供示值误差的基础上，通过观测值的后验方差阵直接计算出仪器的水平方向、天顶距、边长的测量误差，这对仪器的性能评估具有重要意义。