支持向量回归机(support vector regression，SVR)是一种能够处理回归和模式识别等诸多问题的新型统计学方法^[1]，它在小样本、非线性以及高维模式识别问题中具有独特的优势，能很好地解决数据量少、过学习、局部极小点等实际难点，具有很强的泛化能力，被广泛应用到变形预测领域中。最小二乘支持向量回归机(least square support vector regression，LSSVR)是SVR的扩展，它将SVR中的二次规划问题转化为求解线性方程组的问题，简化了计算。但LSSVR的拟合精度和泛化性能受参数影响，即惩罚参数c和核函数参数σ的取值会直接决定LSSVR的推广功能。目前关于参数的确定方法主要有网格搜索法、交叉验证法、直接确定法^[2]等。但这些参数优化方法均存在各自的缺点^[3]：网格搜索法并不一定能得到最优参数且计算量大；交叉验证法同样需要大量计算，耗时长，不适用于实际生产；直接确定法要求有较高的先验知识。人工蜂群算法(artificial bee colony，ABC)是一种模拟蜂群协作寻找蜜源的生物智能优化算法^[4]，与GA、PSO等智能算法相比，ABC具有参数设置少、计算简单、更大概率得到最优解等优点。然而受制于算法结构，ABC存在搜索精度不高、收敛速度慢以及早熟收敛等缺点。

针对标准ABC的不足之处，本文提出一种正反双蜂群交叉寻优算法，利用反向学习策略生成正反2个种群来增加初始群体的多样性，并对双种群的当前最优食物源进行信息交换以实现优中选优。针对标准ABC搜索策略及概率选择的片面性，设计食物源自适应权重函数及适应度自适应选择函数平衡标准ABC的勘探和开发能力。以LSSVR的预测精度为目标函数，将改进后的人工蜂群算法(improved artificial bee colony，IABC)用于LSSVR中，实现对惩罚参数和核函数参数的优化，从而建立基于IABC-LSSVR的预测模型，最后将此模型应用于某基坑变形预测中进行检验。

1 基本理论介绍 1.1 最小二乘支持向量回归机

LSSVR的基本思想是利用已知的样本数据得出一个最佳拟合函数，根据这个函数再输入新的样本数据，从而计算出对应的输出值。其具体步骤^[5-6]如下。

给定训练集：

$ T = \left\{ {\left( {{x_1},{y_1}} \right), \cdots ,\left( {{x_l},{y_l}} \right)} \right\} \in {\left( {{R^n} \times Y} \right)^l} $

(1)

式中，x_i∈Rⁿ，y_i∈Y=R, i=1, 2，…, l。用非线性映射将样本输入映射到高维空间，构造出LSSVR的函数为：

$ y\left( x \right) = {\mathit{\boldsymbol{\omega }}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\varphi }}\left( x \right) + b $

(2)

式中，ω为权值向量，b为偏差。转化为优化问题：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{\omega ,b,\xi } R = \frac{1}{2}{{\left\| \mathit{\boldsymbol{\omega }} \right\|}^2} + \frac{c}{2}\sum\limits_{i = 1}^l {{\xi ^2}} }\\ {{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;{y_i} = {\mathit{\boldsymbol{\omega }}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\varphi }}\left( {{x_i}} \right) + b + {\xi _i}} \end{array} $

(3)

式中，c为惩罚参数，ξ_i≥0为松弛因子。利用Lagrange函数和KKT优化条件可解得LSSVR的函数模型为：

$ y\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^l {{a_i}K\left( {x,{x_i}} \right)} + b $

(4)

式中, a_i为Lagrange乘子，K(x，x_i)为核函数。不同的实际问题需要选择不同的核函数，考虑到变形预测模型需较强的拟合能力，故本文采用具有较宽收敛域的Gauss径向基函数作为LSSVR的核函数：

$ K\left( {x,{x_i}} \right) = \exp \left( { - \frac{{\left\| {x - {x_i}} \right\|_2^2}}{{2{\sigma ^2}}}} \right) $

(5)

1.2 标准ABC

标准ABC是根据蜜蜂采蜜的整个过程模拟出的一种智能算法。根据分工的不同，种群可分为引领蜂、跟随蜂和侦查蜂，引领蜂和跟随蜂各占整个蜂群规模的一半。蜜蜂在寻找食物源的过程可以被抽象成寻找问题最优解的过程^[7]，3种蜜蜂各司其职，以协同的方式高效完成寻优工作。其寻优原理^[8]如下。

设蜜源x_i(i=1，2，…，NP)，x_i的质量对应于解的适应度值fit，设求解问题的维数为D，迭代次数为t，最大迭代次数为T，则t次迭代时蜜源位置为x_i^t=[x_i1^t，x_i2^t，…，x_iD^t]，x_id∈(L_d，U_d)，即搜索空间的上下限。

1) 随机产生蜜源的初始位置：

$ {x_{id}} = {L_d} + {\rm{rand}}\left( {0,1} \right)\left( {{U_d} - {L_d}} \right) $

(6)

2) 在初始蜜源的周围搜索，产生一个新的蜜源：

$ {v_{id}} = {x_{id}} + \varphi \left( {{x_{id}} - {x_{jd}}} \right) $

(7)

式中，j=1，2，…，NP，且j≠i，φ是[-1, 1]均匀分布的随机数。

3) 评价2个蜜源的适应度，根据贪婪算法确定保留x_i或v_i：

$ {\rm{fit}} = \left\{ \begin{array}{l} 1/\left( {1 + {f_i}} \right),{f_i} \ge 0\\ 1 + {\rm{abs}}\left( {{f_i}} \right),其他 \end{array} \right. $

(8)

式中，f_i为解的函数值。

4) 计算引领蜂找到的蜜源被跟随的概率：

$ {P_i} = {\rm{fi}}{{\rm{t}}_i}/\sum\limits_{i = 1}^{{\rm{NP}}} {{\rm{fi}}{{\rm{t}}_i}} $

(9)

5) 跟随蜂采用轮盘赌的方式选择引领蜂，即在[0, 1]内产生均匀分布的随机数r，当P_i>r，则跟随蜂在蜜源i周围产生一个新蜜源，利用贪婪算法确定保留的蜜源。判断蜜源是否满足被放弃的条件为：经t次迭代到达阈值limit仍没找到更好的蜜源，则放弃。

放弃：引领蜂变为侦查蜂，在搜索空间随机产生一个新蜜源代替x_i：

$ x_i^{t + 1} = \left\{ \begin{array}{l} {L_d} + {\rm{rand}}\left( {0,1} \right)\left( {{U_d} - {L_d}} \right),t \ge {\rm{limit}}\\ x_i^t,t < {\rm{limit}} \end{array} \right. $

(10)

不放弃：t=t+1，判断算法是否达到终止条件，输出最优解。

2 改进的人工蜂群算法

为了提高标准ABC的种群多样性、全局收敛速度和收敛精度，本文在种群构造、搜索策略和蜜源选择概率等多个方面进行改进。

2.1 种群构造的改进

Haupt等^[9]认为，对群体智能优化算法而言，初始种群的好坏影响着算法的全局收敛速度和解的质量，多样性较好的初始种群对提高算法的寻优性能很有帮助。在标准ABC中，种群的初始化是随机的，无法保证其多样性。考虑到ABC对初始种群的构造方法较为敏感，本文提出一种正反双种群交叉寻优策略来构造种群。

1) 初始化一个种群A，并设其中一个解为a=(x₁，x₂，…x_d)，x_i∈(m_i，n_i)，则其反向解为b=(x'₁，x'₂，…x'_d)，其中x'_i=m_i+n_i－x_i，以此构造出种群A的反向种群B。

2) 对种群A和种群B分别进行一次寻优，得到当前最优值p₁和p₂。

3) 对双种群进行信息交换：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{p'}_1} = {p_1} + {\rm{rand}}\left( {0,1} \right)\left( {{p_1} - {p_2}} \right)}\\ {{{p'}_2} = {p_2} + {\rm{rand}}\left( {0,1} \right)\left( {{p_2} - {p_1}} \right)} \end{array} $

(11)

4) 根据贪婪算法选择p₁或p'₁作为种群A的当前最优值，选择p₂或p'₂作为种群B的当前最优值。

5) 达到最大迭代次数T，根据贪婪算法确定整个种群的最优值。

2.2 搜索策略的改进

标准ABC的搜索机制是在食物源的附近随机搜索新食物源，这种更新方式不与优秀个体发生信息交流，所以导致收敛速度慢。韩建权等^[7]也指出标准ABC算法具有较好的探索能力，但开发能力不足，局部搜索能力较弱，收敛速度相对较慢。为加快收敛速度，Zhu等^[10]参考粒子群算法将全局最优解引入搜索公式中：

$ {v_{id}} = {x_{id}} + {\varphi _1}\left( {{x_{id}} - {x_{jd}}} \right) + {\varphi _2}\left( {{y_d} - {x_{id}}} \right) $

(12)

式中，φ₁∈(0, 1)，φ₂∈(0, 1.5)，y_d为全局最优解的第d个变量。

虽然引入全局最优解能加快收敛速度，但同时也会使种群快速向优秀食物源靠近而破坏整个种群的多样性，从而造成早熟现象，得不到全局最优解。所以为平衡种群多样性和收敛速度，本文设计一种新的食物源自适应权重函数ω₁和ω₂，得到新的搜索公式：

$ \begin{array}{l} {v_{id}} = {x_{id}} + {w_1}{\varphi _1}\left( {{x_{id}} - {x_{jd}}} \right) + {w_2}{\varphi _2}\left( {{y_d} - {x_{id}}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;{\omega _1} = {\omega _{\min }} + \left( {{\omega _{\max }} - {\omega _{\min }}} \right)\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;{\omega _2} = {\omega _{\max }} - \left( {{\omega _{\max }} - {\omega _{\min }}} \right)\left( {1 - \frac{t}{T}} \right) \end{array} $

(13)

式中，ω_min和ω_max均取常数，分别为权重函数的最小值和最大值，ω₁为递减函数，ω₂为递增函数。在算法初期，ω₁>ω₂，具有较好的勘探能力，可以挖掘出尽可能多的全局优秀解；随着迭代次数t的增加，在算法后期，ω₂>ω₁，此时算法已有较强的开发能力，可快速向全局最优解收敛。

2.3 蜜源选择概率的改进

在标准ABC中只选择适应度高的蜜源，这无疑会导致种群的多样性下降，很难达到全局最优。针对这一缺点，本文设计一种适应度自适应选择函数来改进标准ABC的选择概率公式：

$ \begin{array}{l} {P_i} = \frac{{{\rm{fit}}_i^\lambda }}{{\sum\limits_{i = 1}^{{\rm{NP}}} {{\rm{fit}}_i^\lambda } }}\\ \lambda = {{\rm{e}}^{\frac{t}{T}\ln 2}} - 1 \end{array} $

(14)

从改进的选择概率公式(14)可看出，算法前期，$\frac{t}{T}$→0，λ→0，此时P_i=$\frac{1}{{{\rm{NP}}}}$较小，说明适应度差的蜜源也有被挑选的可能，提高了算法的求泛能力，保证了多样性；算法后期，$\frac{t}{T}$→1，λ→1，此时回到标准ABC的蜜源选择概率公式，算法只选择适应度高的蜜源，加快了收敛速度和收敛精度。所以整个选择过程通过自适应函数在求泛与求精中调整。

将以上各方面改进内容引入标准ABC可得IABC流程，如图 1所示。

3 基于IABC优化LSSVR的变形预测模型构建

LSSVR中存在2个待优化的参数——惩罚参数c和核函数参数σ。以LSSVR的预测准确率为目标函数，将IABC与LSSVR相结合，用于变形预测模型的构建。具体实现步骤如下。

1) 数据预处理。归一化(mapminmax)到(0, 1)区间：

$ y = \frac{{\left( {{y_{\max }} - {y_{\min }}} \right)\left( {x - {x_{\min }}} \right)}}{{{x_{\max }} - {x_{\min }}}} + {y_{\min }} $

(15)

2) 设置IABC的控制参数。包括蜂群数量NP，蜜源最大搜索次数limit，算法最大迭代次数T，自适应函数ω取值范围ω_max及ω_min，蜜源的维度即待优化参数的个数D及各参数的取值范围。

3) 设置适应度函数。变形预测的目的即为获取最小误差的预测值，故本文采用均方根误差函数作为目标函数，并将目标函数转化为适用于IABC的适应度函数。目标函数为：

$ \min f\left( {c,\sigma } \right) = \sqrt {\frac{1}{l}\sum\limits_{i = 1}^l {{{\left[ {{y_i} - g\left( {{x_i},c,\sigma } \right)} \right]}^2}} } $

式中，l为样本数据集，y_i为实测值，g为模型计算值。适应度函数为：

$ {\rm{fi}}{{\rm{t}}_i} = \frac{1}{{1 + {f_i}}} $

4) 构造双种群。根据待优化参数的取值范围随机生成种群A，根据反向学习策略计算出对应的反向种群B，以此构造出双种群。

5) 根据IABC算法对双种群分别进行蜜源搜索、适应度计算以及信息交换等操作。

6) 达到最大迭代次数T，得到最优参数组合解。

7) 滚动预测。首先输入m期训练样本，预测出第m+1期变形数据，然后将已预测出的第m+1期数据加入训练样本，组成新的训练样本(同时保持训练样本期数不变)预测出第m+2期数据。以此类推，直到得出所有待预测样本。

4 工程实例

以文献[11]中广州某基坑项目21期监测沉降数据为例，将前18期作为模型拟合数据，后3期作为预测数据。分别采用标准ABC-LSSVR、IABC-LSSVR以及文献[11]研究的PSO-GM-ARMA组合模型进行预测，并使用均方根误差(RMSE)比较各模型的预测效果。

将ABC-LSSVR及IABC-LSSVR共有参数设置为：人工蜂群规模NP=20，蜜源数量是蜂群规模的一半，求解问题的维数D=2，最大迭代次数T=100，最大搜索次数limit=50，惩罚参数c和核函数参数σ取值范围为(0.01, 100)。IABC-LSSVR特有参数设置为：自适应搜索平衡参数ω、概率选择调整参数λ取值范围为(0，100)。根据IABC-LSSVR的建模步骤，运用MATLAB编写程序，分别得到各模型的种群进化图(图 2)，以及各模型的预测效果(表 1、图 3)。

由图 2可知，从第1代起，IABC的目标函数值就低于ABC，说明本文构造的正反初始种群通过信息交换得到了更好的蜜源，实现了优中选优。随着迭代次数的增加，ABC算法大约在20代便达到其收敛值，而IABC在10~70代之间达到平稳状态，之后又迅速收敛。说明本文设计的自适应搜索策略及自适应概率选择逐步凸显效果，在前期保留适应度低的食物源，后期迅速向最优食物源靠近，从而达到先增加种群多样性后提高全局收敛精度的要求。

由表 1可知，ABC-LSSVR模型预测结果均方根误差为±0.033；王显鹏等^[11]研究的PSO-GM-ARMA组合模型预测结果均方根误差为±0.03；本文构建的IABC-LSSVR模型预测结果均方根误差为±0.018，可见IABC-LSSVR模型预测效果最佳，也说明本文改进的ABC比标准ABC的参数寻优效果更好。由图 3可知，IABC-LSSVR模型预测的变形量曲线与观测变形值曲线更为吻合，说明IABC-LSSVR模型比ABC-LSSVR模型以及PSO-GM-ARMA模型更能反映变形的趋势。

5 结语

针对标准ABC的不足之处，本文提出一种正反双蜂群交叉寻优算法来增加初始群体的多样性，并在搜索策略公式和概率选择公式中构造出2种不同的自适应函数来平衡标准ABC的勘探和开发能力，以此提出了IABC算法。利用IABC与LSSVR进行有效结合，从而使得LSSVR具有更优的预测性能。通过实例证明，本文改进的ABC算法与标准ABC算法相比，增加了种群的多样性，平衡了算法的勘探和开发能力，提高了收敛精度。且本文构建的IABC-LSSVR模型较ABC-LSSVR模型以及PSO-GM-ARMA模型在预测精度上有明显的优势，在变形监测方面具有一定的应用价值。