时间同步的精度及其完好性对于编队/星座系统中各个节点协同工作至关重要。时间同步技术包括物理同步和数学同步。针对LEO编队/星座，由于成本约束无法携带高精度原子钟，GNSS技术成为时间同步重要的选择。然而，随着GNSS授时精度的提升，其要成为LEO时间同步技术的核心还存在完好性保证问题。目前的完好性算法主要针对航空和地面接收机用户^[1-7]，航天器用户涉及的较少。本文针对基于GNSS的LEO卫星TRAIM问题，详细推导基于GNSS的LEO卫星TRAIM可用性算法，并以GPS+BDS为例开展仿真研究，为基于星载GNSS的LEO时间同步方案的可靠性设计提供参考。

1 基于GNSS的LEO卫星TRAIM检测可用性算法 1.1 GNSS观测模型

将GNSS(GPS+BDS)观测方程线性化，得：

$ \mathit{\boldsymbol{Y = AX}} - \mathit{\boldsymbol{\varepsilon }} $

(1)

式中，$\mathit{\boldsymbol{A = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{g}}_{x1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{g}}_{y1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{g}}_{z1}}}&1&0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{\mathit{\boldsymbol{g}}_{xm}}}&{{\mathit{\boldsymbol{g}}_{ym}}}&{{\mathit{\boldsymbol{g}}_{zm}}}&1&0\\ {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{x1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{b}}_{y1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{b}}_{z1}}}&0&1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{xn}}}&{{\mathit{\boldsymbol{b}}_{yn}}}&{{\mathit{\boldsymbol{b}}_{zn}}}&0&1 \end{array}} \right]$，Y为线性化后的常数向量，g为m颗可见GPS卫星到LEO卫星的视线向量；b为n颗可见BDS卫星到LEO卫星的视线向量。本文假定GPS和BDS等权，且暂不考虑权阵。据最小二乘原理，定位和授时解算后残差为：

$ \mathit{\boldsymbol{V = }}\left( {\mathit{\boldsymbol{I}} - \mathit{\boldsymbol{A}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}}} \right)}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}} \right)\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }} $

(2)

则验后单位权中误差为：

$ \hat \sigma = \sqrt {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{V}}}}{{l - t}}} $

(3)

式中，l为可观测卫星总数; t为待解未知数个数，单系统时取4，双系统时取5。

1.2 TRAIM故障检测算法

为确保上述定位和授时解算精度的完好性，需进行TRAIM粗差探测。若伪距残差向量V中各向量相互独立，并服从均值为0、方差为σ₀²(取5²)的正态分布，则V^TV/σ₀²服从自由度为l-t的χ²分布；若V的均值不为0，则V^TV/σ₀²服从自由度为l-t的非中心化χ²(中心化参数为λ)分布。假设：

无故障假设H₀:E(ε)=0，$\frac{{{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{V}}}}{{\sigma _0^2}}$~χ²(l-t)

有故障假设H₁:E(ε)≠0，$\frac{{{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{V}}}}{{\sigma _0^2}}$ ~χ²(l-t, λ)

GNSS系统无伪距故障时，若出现故障告警则为误警。给定误警概率P_FA(设为10^-7)，则：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_r}\left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{V}}/\sigma _0^2 < {T^2}} \right) = }\\ {\int_0^{{T^2}} {{f_{{\chi ^2}\left( {l - t} \right)}}\left( x \right){\rm{d}}x = 1 - {P_{{\rm{FA}}}}} } \end{array} $

(4)

通过式(4)可以确定检验统计量V^TV/σ₀²的门限阈值T，则：

$ {\sigma _T} = {\sigma _0}T/\sqrt {l - t} $

(5)

若$\hat \sigma > {\sigma _T}$(即V^TV/σ₀²>T²)，则表示检测到故障，系统将告警。

利用上述方法进行故障检测存在一个问题，当卫星几何条件不佳时，如果某颗卫星存在故障，尽管会产生较大的定位和授时误差，但${\hat \sigma }$却可能较小，此时就会导致漏警。因此，在进行TRAIM检测之前，需要定量分析卫星几何条件是否满足TRAIM可用性需求。

当存在故障卫星时，将检测统计量V^TV/σ₀²与门限阈值的平方T²进行比较，若V^TV/σ₀² < T²，则为漏检。给定漏检概率P_MD，则有：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_r}\left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{V}}/\sigma _0^2 < {T^2}} \right) = }\\ {\int_0^{{T^2}} {{f_{{\chi ^2}\left( {l - t, \lambda } \right)}}\left( x \right){\rm{d}}x = {P_{{\rm{MD}}}}} } \end{array} $

(6)

给定误警率P_FA和漏检概率P_MD，利用式(6)可以计算得到非中心化参数λ。

通过计算误差保护限值PL来保证TRAIM的误警率和漏检率需求，进而对卫星几何结构进行质量保证。传统的时间同步误差保护限值都是在一维空间下计算的^[8-9]，而基于GNSS的LEO时间同步，因难以获取实时的高精度轨道信息，本文将位置和钟差信息联合解算，进而计算授时误差保护限值。定义授时误差保护限值为^[1]：

$ {\rm{TPL = }}\delta {\rm{TDO}}{{\rm{P}}_{\max }} \times {\sigma _0} \times \sqrt \lambda $

(7)

基于上述分析，在进行TRAIM故障检测前，需要实时计算各卫星对应的δTDOP。若δTDOP_max小于精度因子限值，则表示一个故障存在于最难监测卫星的假设下，能够保证漏检概率。计算公式为：

$ \delta {\rm{TDO}}{{\rm{P}}_{\max }} = \max \left( {\sqrt {\frac{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{4i}^{*2}}}{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{Vii}}}}} } \right)或\max \left( {\sqrt {\frac{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{5i}^{*2}}}{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{Vii}}}}} } \right) $

(8)

其中, A^*=(A^TA)^-1A^T, A_ji^*(j=4, 5)为A^*的第j行，Q_V=(I-A(A^TA)^-1A^T)。

将保护限值TPL与告警阈值TAL(目前授时精度需求约为100 ns)比较，可以给出故障的完好性保证，即如果TPL小于TAL，则算法可用；反之，则算法不可用。

2 基于GNSS的LEO卫星TRAIM可用性仿真分析

为分析基于GNSS的LEO卫星TRAIM可用性，首先基于STK和MATLAB开发的联合仿真平台仿真GPS31+BDS35星座，其中GPS星座为2014-10的真实星座，BDS星座中GEO是2014-10的5颗GEO，另外仿真了3颗IGSO和27颗MEO星座^[10]。观测值误差设为中误差为5 m的随机参数，数据采样率为1 min，卫星截止高度角为3°。主要选取BDS单系统和GPS+BDS等两种方案进行分析。选取高度分别为500 km(大规模微纳卫星等)、650 km(遥感卫星等)、800 km(铱星、海洋卫星等)和1 400 km(空间信息网络低轨星座)的极轨卫星(轨迹可覆盖全球)等4种具有代表性的轨道类型，以验证基于GNSS的LEO卫星TRAIM可用性。4颗卫星星下点轨迹分布如图 1(圆点、三角、十字、方块分别是500 km、650 km、800 km、1 400 km轨道高度的卫星星下点轨迹)。对4颗卫星2 d内的授时检测保护限值进行统计，见图 2~5。

可以看出，在单系统模式下，4颗卫星授时误差检测保护限值大部分位于50~140 ns；在组合系统模式下，授时误差检测保护限值基本都位于30~70 ns。将授时误差保护限值与20 ns、30 ns、40 ns、50 ns、70 ns、80 ns、100 ns等各种告警阈值进行比较，其可用性概率统计见图 6和表 1。

从图 6和表 1可以看出：

1) 随着卫星轨道高度增加，TRAIM检测可用性概率逐步降低。单系统模式下，1 400 km高度的卫星TRAIM比500 km高度的卫星TRAIM检测可用性低10%~13%。

2) 在误警率10^-7和漏警率10^-3概率约束下，在TRAIM告警阈值为70 ns和BDS单系统星座分布均匀时，TRAIM检测可用性对于500~800 km高度的卫星均只能实现35%左右的可用概率；而GPS+BDS组合系统TRAIM检测可用性对于500~1 400 km高度的卫星可以实现88%以上的可用概率，难以满足LEO授时完好性需求。

3) 在误警率10^-7和漏警率10^-3概率约束下，在TRAIM告警阈值为100 ns和BDS单系统星座分布均匀时，TRAIM检测可用性对于500~650 km高度的卫星能实现65%以上的可用概率，800 km以上为60%左右；而GPS+BDS组合系统TRAIM检测可用性，对于500~1 400 km高度的卫星均可实现99.1%以上的可用概率，基本满足LEO授时完好性需求。其中，500 km高度的卫星能够满足99.7%(3倍中误差)以上的概率。

3 结语

本文详细推导了基于GNSS的LEO卫星TRAIM故障检测数学模型以及两者的可用性算法。仿真结果表明，告警阈值70 ns时，BDS单系统可以实现约50%的可用概率，而基于GPS+BDS组合系统的TRAIM检测可用概率达到88%以上；告警阈值100 ns时，BDS单系统可以实现60%~70%的检测概率，而基于GPS+BDS组合系统的TRAIM检测可用概率达到99.1%。整体来讲，基于GPS+BDS组合时间同步方案能够满足LEO卫星TRAIM可用性需求，即能保证单星故障可检测的可用性，对于时间同步精度完好性至关重要。此方案对于LEO实时时间同步很有发展前景。后续将考虑LEO卫星轨道预报信息进行约束，增强时间同步RAIM可用性，为工程化实施和应用提供参考。