边坡的稳定性是路基开挖施工期间与后续运营阶段安全保障的关键因素^[1]，对边坡的病害监测与失稳预测已成为公路建设中面临的重大问题。对边坡变形监测其实质就是对边坡位移的监测，边坡位移监测是基于经典时间序列分析理论的。由于边坡系统是一个受地质、工程等客观因素影响的开放性复杂随机系统，因此要求对边坡位移监测进行灾害预测预警的模型，应当具备能够同时处理具有确定性和不确定性关系的动态非线性能力^[1-2]。然而研究表明，没有哪一种方法能够适用于所有的时间序列预测，如灰色模型局限性小、操作简单，但预测精度不高；贝叶斯网络、ARMA模型、Kalman滤波预测精度高、技术成熟，但建模方法繁琐；神经网络和人工智能适用于对非线性关系进行拟合，却容易陷入局部极小值，收敛速度慢；支持向量机能得到全局最优，适合小样本的快速预测，但预测效果对核函数的选取十分敏感^[3-4]。

为改善单一模型的预测效果，1969年Bates等^[4]学者提出组合预测的思想。本文在前人研究的基础上，以发挥各个模型的最大优势为前提，将参与组合的各预测方法的结果通过恰当的方式进行组合。结合高速公路边坡位移形变数据存在显著的不确定性结构和非线性特征，利用方差补偿自适应Kalman滤波有效剔除滤波结果中的扰动噪声，使降噪后的结果更接近于人工二等水准测量结果；充分应用自回归移动平均模型(ARMA)对非平稳信号的强大拟合能力、支持向量机(SVM)对非线性、小样本的高效学习能力，对滤波后的时间序列进行ARMA特征提取，最后导入残差序列粒子群(PSO)优化参数的SVM预测值对ARMA模型进行残差补偿，从而获得组合模型的预测值。

1 组合模型预测方法原理及步骤 1.1 方差补偿自适应Kalman滤波数据预处理

采用方差补偿自适应Kalman滤波实现对原始监测数据X实时动态处理是剔除随机干扰误差的重要方法^[5]。方差补偿自适应Kalman滤波是利用预测残差对动态噪声的协方差向量进行实时估计和修正，以补偿滤波中对动态噪声方程或协方差估计的不足，从而计算出更接近实际的状态向量^[6-7]。

定义i步预测残差为：

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}_{k + i}} = {\mathit{\boldsymbol{L}}_{k + i}} - {\mathit{\boldsymbol{L}}_{k + i/k}} $

(1)

式中，L_k+i、L_k+i/k为第k+i期监测值和它的最佳预测值，L_k+i/k= B_k+iΦ_k+i/kX_k+Δ_k+i，则V_k+i的方差阵为：

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{D}}_w} = {\mathit{\boldsymbol{B}}_{k + i}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}_{k + i/k}}{\mathit{\boldsymbol{D}}_{{x_k}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}_{_{k + i/k}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{B}}_{k + 1}^{\rm{T}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_{\Delta k + i\Delta k + i}} + \\ \;\;\sum\limits_r^{k + i} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_{k + i}}} {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}_{k + i/k}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}_{r/r - 1}}{\mathit{\boldsymbol{D}}_{{\mathit{\Omega }_{r - 1}}{\mathit{\Omega }_{r - 1}}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}_{r/r - 1}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}_{_{k + i/k}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{B}}_{k + i}^{\rm{T}} \end{array} $

有关于diagD_ΩΩ的线性方程为：

$ \mathit{\boldsymbol{E}} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\rm{diag}}{\mathit{\boldsymbol{D}}_{\mathit{\Omega \Omega }}} + \eta $

(2)

当N≥r时，有唯一解。记diagD_ΩΩ的LS估计为：

$ {\rm{diag}}{\mathit{\boldsymbol{D}}_{\mathit{\Omega \Omega }}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{E}} $

(3)

由上述诸式可求出任意长度时间段上的D_ΩΩ，并可实时修正模型。

1.2 建立ARMA(p, q)模型预测值

对前文得到的Kalman滤波值记为X^′，进行ARMA建模可得到预测值X^″。ARIMA与ARMA模型都属于时间序列分析模型，其不同之处在于：ARIMA模型需要对非平稳时间序列通过差分转换为平稳时间序列。而后，两者都是通过观察自相关、偏相关性系数的关系，进行严谨的有效性检验来确定自回归模型阶数(p)、差分次数(d)和移动平均模型阶数(q)这几个参数，进而对时间序列进行回归预测分析^[8]。其结构可表示为：

$ \begin{array}{l} {x_t} = {\varphi _1}{x_{t - 1}}{\rm{ + }}{\varphi _2}{x_{t - 2}}{\rm{ + }} \cdots {\rm{ + }}{\varphi _p}{x_{t - p}}\\ \;\; + {\varepsilon _t} - {\theta _1}{\varepsilon _{t - 1}} - {\theta _2}{\varepsilon _{t - 2}} - \cdots - {\theta _q}{\varepsilon _{t - q}} \end{array} $

(4)

式中，{x_t}为已平稳的时间序列，φ₁, φ₂, …, φ_p为自回归系数，θ₁, θ₂, …, θ_q为移动平均系数，{ε_t}是残差白噪声序列^[8-9]。

1.3 构造PSO.SVM误差补偿

对滤波值X^′与预测值X^″作差得到的残差序列{e}进行SVM回归预测，作为AMIMA模型的误差补偿。首先对残差进行归一化处理，并通过粒子群(PSO)优化算法进行SVM惩罚参数C和径向基函数的核参数σ寻优，获得残差预测值{$\hat e$}。

支持向量机对解决小样本、非线性问题具有很强的泛化能力。非线性SVM的基本思想见文献[10]。能作为核函数需满足Mercer条件, 较常用的核函数有本文选用的径向基核函数(RBF)，它使SVM具备更强的非线性预测能力：

$ K\left( {{x_i}, {x_j}} \right) = \exp \left( { - \frac{{{{\left\| {x - {x_i}} \right\|}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right), \sigma ＞0 $

(5)

同时，选取粒子群算法进行参数寻优。PSO算法是一种群体智能演化算法，以群体搜索的方式，从多个点同时出发，通过不断的迭代寻找到最优解，不仅具有很好的并行性和自适应性，还提高了算法的性能^[11-12]。最后得到优化后的SVM回归模型函数如下：

$ f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^i {{\alpha _i}K\left( {x, {x_i}} \right) + b} $

(6)

1.4 预测结果生成

合并ARMA模型预测值X^″与PSO.SVM残差预测值{$\hat e$}，最终组合模型的预测结果为：

$ {y_p} = X'' + \left\{ {\hat e} \right\} $

(7)

2 实证研究 2.1 数据来源

为保证施工安全及准确预警的需要，在郴宁高速公路某段边坡上加密布置了长期地表位移监测点进行沉降位移监测。全站仪监测点X指向北方向、Y指向东方向，地表监测点的X、Y方向与全站仪一致。监测点的累计位移量是以第1期监测坐标值作为初始值来计算的总位移值。在2012-02-27~2013-05-06期间，选取K126+080~K126+100段，地表位移监测点DB4-7连续42期的累计位移值为样本进行研究，建立本文组合模型的43~50期预测。

2.2 模型预测

将原始累计位移沉降数据进行滤波处理。经比较，标准Kalman滤波的信噪比(SNR)为21.237 8，方差补偿自适应Kalman滤波信噪比(SNR)为74.086 1，是标准Kalman的3.488 4倍，其去噪均方根误差(RMSE)为0.002 8。根据上述数据和图 1看出，方差补偿自适应Kalman滤波由于采用了残差反求动态噪声的协方差，并代回滤波过程，对滤波方程中的原动态噪声协方差进行不断修正，因此能有效地减弱模型误差的影响，抑制滤波发散的问题。据滤波残差曲线图看出，滤波后数据整体变化平稳，与实测值吻合度极好，在符合客观状况的基础上较为准确地还原出变形体的位移沉降趋势。

如图 2所示，对滤波后的数据由自相关、偏相关进行初步判断，自相关系数和偏自相关系数都在滞后一阶后迅速落入随机区间(即2倍标准差置信范围内)，且Q统计量伴随的概率接近0，说明滤波后的沉降位移序列是平稳的相关序列。为验证判断的准确性，对其进行统计检验(ADF检验)。可以看出，ADF检验统计量的计算值t=-4.917 0，均小于1%、5%和10%显著性水平下的临界值，伴随的P值也接近0，因此可以准确地判断，该序列属于平稳序列，即无需差分即可进行ARMA建模。据以上判断，可以建立AR(1)、AR(2)、MA(2)模型。由图 2可见，自相关和偏相关系数在k=6时均处在2倍标准差的置信带边缘，这使得很难用传统的B-J方法确定模型阶数，这时需要反复对模型进行估计，比较不同模型的变量及对应参数的显著性来确定。根据情况，可以考虑AR(6)、MA(6)模型，同时尝试拟合ARMA(2, 6)、ARMA(2, 2)、ARMA(6, 2)等模型，再根据最小信息准则(AIC)、回归标准差(S.E.)最小等标准筛选出最合适的模型。根据表 1的检验可以看出，虽然ARMA(2, 6)与ARMA(6, 2)的D.W.统计量都接近于2，但ARMA(6, 2)模型的AIC、S.E.与残差平方和均最小，因此可以确定为其最优预测模型。

采用ARMA(6, 2)进行建模，剔除该模型中系数不显著项，得到模型的最小二乘估计结果如下：x″_t=14.686 4+0.392 2x′_t－1+0.258 7x′_t－6+0.471 9 a′_t－1－0.937 7a′_t－2。参数估计后，对模型残差{e}进行白噪声检验，检验得出自相关和偏相关系数都没有显著异于0，Q统计量的P值也都远大于0.05，因此可认为，该残差序列不存在自相关，模型信息提取充分，剩下部分为随机扰动，残差序列通过白噪声检验。

对该残差序列进行PSO-SVM误差修正，以前42期数据作为训练样本，43~50期的ARMA(6, 2)预测值作为测试样本。粒子群优化算法源于对鸟群捕食的行为研究，其基本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解^[14]。由于恰当地选取算法的参数值能有效改善算法的性能，因此这里设置PSO的最大迭代次数为100，种群最大数量为20，PSO参数局部搜索能力和全局搜索能力的学习因子分别为1.5和1.7，选取MAPE(平均绝对相对误差)为适应度函数，最后得到优化后的惩罚参数C=12.62，RBF核宽度σ=15.23，不敏感损失参数ε=0.01。用上述最优超参数对样本数据进行拟合和测试，得到残差测试集对ARMA(6, 2)预测值进行误差补偿，最终的模型预测值见表 2(单位mm)。为比较各模型对实测累计沉降数据的处理性能，同时建立ARIMA-PSO.SVM模型、PSO.SVM模型和ARIMA模型。将这4种模型分别标记为方案1、方案2、方案3、方案4，并将各方案预测结果标于表 3(单位mm)和图 3。

2.3 结果分析

为比较各模型之间的统计特性，分别指定RMSE(均方根误差)、MAPE(平均绝对相对误差)和R(相关系数，是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标)这3个评价指标作为以上各个模型的精度检验标准。

由表 2、表 3、图 3看出，基于方差补偿自适应Kalman滤波的AIMA-PSO.SVM模型(方案1)，其评价测量结果偏离真值大小的均方差(-0.05)、RMSE(0.125)和MAPE(0.004)这3个指标都属最小，而R值为0.976也接近于1，表明拟合优度最佳，预测结果与实测值的吻合度是4个模型中最高的，预测效果最理想，验证了本文所建模型的可靠性。1)方案1和方案2的预测曲线显示，预测前6期这两者看起来效果差别不大，但方案2在第49期就出现明显的偏离现象，说明方案1因为方差补偿自适应Kalman滤波的存在，消除了变量可能存在的趋势因素，加上后期应用PSO-SVM对ARMA模型进行误差补偿予以修正，使得时间序列分析模型预测的残余误差得到有效抵消和均化，且保证了变量水平值的信息没有被忽视，因此能有效地遏制住数据发散问题。2)对方案1建立的是ARMA模型，对方案2、方案4建立的是ARIMA模型，其原因在于，对原始数据X进行平稳性检验时发现，X序列呈现非平稳、零均值正态分布，需经一阶差分后才平稳，也证明了方差补偿Kalman滤波对于剔除随机扰动的高效性。从§1.1的公式中也能看出，在变形监测中，其滤波方程是一组递推计算公式，计算过程中利用预测残差对动态噪声协方差向量进行不断修正求解时，也解算出了速度参数，修正随机干扰引起的突变，使变形趋势更符合实际。3)综合比较方案2、方案3和方案4，方案2无论是拟合优度还是误差指标值都优于其他，间接表明模型通过组合发生优质性改进，既吸收了单一评价模型的优点，又屏蔽了单一评价模型自身的缺陷，因此得到的预测结果精确可靠。4)就两个单项模型比较不难发现，方案4除了预测第43、46期的结果比较接近实际值，其他预测值都远远地偏离了实际位移量，而方案3的预测总体上还是保持在一个比较稳定、均衡的水平上，其误差精度指标也都优于方案4，说明方案3的支持向量机由于基本上不涉及概率测度及大数定律，因此在对非线性的映射问题方面能高效地实现从训练样本到预测样本的“转导推理”和数据挖掘回归，其拟合预测性能整体上优于时间序列分析模型。

3 结语

本文本着充分挖掘高速公路边坡累计沉降位移时间序列自身演变信息的目的，建立了方差补偿自适应Kalman滤波与PSO-SVM补偿ARMA的组合预测模型，通过残差补偿原理建立短期动态模型来弥补长期静态模型的不足。实证研究表明，该模型相比于其他单一模型，其预测精度在一定程度上得到改善，能够较好地用于处理非线性变形监测数据, 尤其适用于分析被监测系统的无规则变化规律；其次，单项模型对于非平稳时间序列所存在的全部问题不一定能妥善解决，因此误差修正模型与组合模型应运而生且存在合理性和有效性，为工程实践中对变形监测的预测预警提供了科学可靠的依据。