单历元基线解算无需考虑卫星升降、周跳探测和修复等问题，比多历元解算更加高效和稳定，在桥梁、尾矿、大坝、高层建筑等方面得到了广泛应用^[1-3]。针对双频单历元基线解算的研究较多^[4-6]。本文在已有研究的基础上，考虑高山峡谷地区及城市建筑群等信号易遮挡地区GPS与BDS单系统可见卫星个数较少，无法达到相对定位的最低要求的问题，讨论了GPS/BDS组合单历元短基线解算模型。利用安徽理工大学山南新校区GNSS实习基地建设实测数据，研究了GPS/BDS组合对单系统双频单历元短基线解算卫星可见性、模糊度固定和定位精度的改善情况。

1 双频单历元基线解算

单历元基线解算中，如果仅利用载波相位观测值来构建观测方程是秩亏的，所以可以引入伪距观测值来解决方程秩亏问题^[4-7]。但因为伪距观测值的精度不高，致使方程浮点解的精度低，从而使得单历元模糊度搜索难度大。为此，本文采用分组逐步固定模糊度的方法来缩小模糊度搜索空间，以提高模糊度搜索的稳定性^[4-6]。

宽巷观测值波长较长，模糊度易确定，组合系统双差伪距和宽巷载波观测方程可表示为：

$ \left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{G}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{B}}}\\ \mathit{\boldsymbol{V}}_{\rm{W}}^{\rm{G}}\\ \mathit{\boldsymbol{V}}_{\rm{W}}^{\rm{B}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{G}}}\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\\ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{B}}}\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\\ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{G}}}\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{I}}\lambda _{\rm{W}}^{\rm{G}}\;\;\;\;0\\ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{B}}}\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{I}}\lambda _{\rm{W}}^{\rm{B}} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} \;\;\;\mathit{\boldsymbol{\hat X}}\\ \nabla \mathit{\Delta }\mathit{\boldsymbol{N}}_{\rm{W}}^{\rm{G}}\\ \nabla \mathit{\Delta }\mathit{\boldsymbol{N}}_{\rm{W}}^{\rm{B}} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{L}}^{\rm{G}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{L}}^{\rm{B}}}\\ \mathit{\boldsymbol{L}}_{\rm{W}}^{\rm{G}}\\ \mathit{\boldsymbol{L}}_{\rm{W}}^{\rm{B}} \end{array} \right] $

(1)

式中，G、B分别为GPS和BDS的缩写，V为观测量减掉计算量OMC(observed minus computed)后的残余向量，A为坐标改正向量的系数矩阵，λ_W为载波宽巷观测值波长, ${\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}$为待求坐标改正数，I为单位矩阵, ▽ΔN_W为载波宽巷整周模糊度, L^G和L_W分别为伪距双差、载波宽巷双差与几何距离双差之差。

对式(1)进行最小二乘平差，分组逐步固定宽巷观测值的整周模糊度。利用已固定的宽巷观测值的整周模糊度与L₁、B₁载波观测值更新观测方程：

$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{V}}_{\rm{W}}^{\rm{G}}\\ \mathit{\boldsymbol{V}}_{\rm{W}}^{\rm{B}}\\ \mathit{\boldsymbol{V}}_{{L_1}}^{\rm{B}}\\ \mathit{\boldsymbol{V}}_{{B_1}}^{\rm{B}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{G}}}\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\\ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{B}}}\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\\ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{G}}}\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{I}}{\lambda _{{L_1}}}\;\;\;\;0\\ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{B}}}\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{I}}{\lambda _{{B_1}}} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} \;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{\hat X}}\\ \nabla \mathit{\Delta }\mathit{\boldsymbol{N}}_{{L_1}}^{\rm{G}}\\ \nabla \mathit{\Delta }\mathit{\boldsymbol{N}}_{{B_1}}^{\rm{B}} \end{array} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \left[ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{L}}_{\rm{W}}^{\rm{G}}{\rm{ + }}\lambda _{\rm{W}}^{\rm{G}}\;\nabla \mathit{\Delta }\mathit{\boldsymbol{N}}_{\rm{W}}^{\rm{G}}\\ \mathit{\boldsymbol{L}}_{\rm{W}}^{\rm{B}}{\rm{ + }}\lambda _{\rm{W}}^{\rm{B}}\;\nabla \mathit{\Delta }\mathit{\boldsymbol{N}}_{\rm{W}}^{\rm{B}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{L}}_{{L_1}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{L}}_{{B_1}}} \end{array} \right] \end{array} $

(2)

式中，λ为载波观测值波长, L_L为载波双差与几何距离双差之差，▽ΔN为双差整周模糊度。

对式(2)进行最小二乘平差，得到双差模糊度实数解及协方差阵，将基础模糊度进行分组逐步固定。具体公式见文献[8]。

2 实验分析

本文数据为安徽理工大学山南新校区GNSS实习基地建设实测数据，分别采用长度为69.3 m和1.79 km的两条基线进行双频单历元基线解算，采样间隔均为1 s。其中，69.3 m基线选取2016-11-02 14:00~15:35观测数据，共5 598个历元；1.79 km基线选取2016-10-30 09:00~10:35观测数据，共6 187个历元。本文通过选取不同截止高度角模拟不同遮挡环境^[9]，截止高度角分别设置为10°、20°、30°、40°和50°。

2.1 不同卫星高度角可见卫星

卫星可见性是在特定仰角下地面某点在某时刻能观测到的所有卫星的数量或某时段所有观测卫星的跟踪弧段长度^[10]，分析卫星的可见性可以判断测站所在位置观测条件的好坏，且能够从测站位置的角度了解、评价系统卫星的运行情况。通过对GPS、BDS及其组合系统观测数据的处理，计算出GPS、BDS及GPS/BDS系统在不同高度角下的可见卫星数，并加以分析，部分结果如图 1、表 1(单位%)所示。

由图 1和表 1可知，共视卫星可见数目随着卫星高度角的增大而减少。将高度角从30°上升至40°时，69.3 m基线GPS可见4颗及以上卫星下降了33.1 %，1.79 km基线时下降了58.8 %；卫星高度角从40°上升至50°时，69.3 m基线和1.79 km基线GPS无法定位，而BDS可见4颗及以上卫星分别下降了4.4 %和98.9 %；不论何种情况，两条基线GPS/BDS可见5颗及以上卫星均达到了100 %。可见，GPS/BDS系统的卫星可见性和系统稳定性要高于GPS和BDS系统。

2.2 模糊度解算结果分析

本文对GPS、BDS和GPS/BDS采用上述所介绍的双频单历元基线解算数学模型进行模糊度解算，解算结果的有效性检验可以从固定率和成功率两个方面进行衡量^[11-14]。固定率检验以设定Ratio阈值的方法来确定:

固定率=满足阈值的历元数/有效历元数

在实际解算中，可能会拒绝低于Ratio阈值的正确模糊度组或者接受大于Ratio阈值的错误模糊度组^[14]，所以本文以安徽理工大学山南新校区GNSS网数据处理的结果作为参考值，分别将各历元固定解与参考值进行比较，相同则认为是正确的。

成功率=正确固定历元数/有效历元数

两条基线解算的固定率与成功率如表 2所示。

由表 2可以看出，对于69.3 m基线，截止高度角为10°、20°和30°时，GPS和BDS在模糊度固定率与成功率相当，表明BDS基本具备高精度的定位能力；截止高度角为40°时，GPS无论模糊度固定率还是成功率都要低于BDS系统，结合图 1可知，这主要是因为BDS在可见性上要优于GPS；截止高度角为50°时，GPS基本丧失了相对定位功能，BDS的成功率也低于50 %。虽然GPS/BDS与GPS和BDS一样，随着高度角的增加固定率与成功率都下降，但GPS/BDS的固定率与成功率都高于80 %。随着基线长度的增加，GPS、BDS以及GPS/BDS固定率与成功率都有所下降。对于1.79 km基线，截止高度角为10°和20°时，GPS成功率超过了76 %，BDS超过了89 %，而GPS/BDS高达96 %；截止高度角为30°时，GPS有效历元数减少，使得其固定率与成功率大幅下降，低于40 %，而BDS可见卫星大约为7颗，依然具有高达90 %的成功率；截止高度角为40°和50°时，GPS和BDS成功率要远低于GPS/BDS。总之，GPS和BDS在模糊度固定率和成功率方面都低于GPS/BDS组合系统。

2.3 定位精度分析

本文在进行精度分析时，仅从定位结果角度出发，判断模糊度正确固定的历元的解算结果，与参考值作差，得出两条基线在WGS84坐标系下X、Y、Z方向的基线偏差。图 2给出了两条基线在高度角为10°时的基线解算结果，表 3统计了两条基线GPS、BDS及GPS/BDS的内符合精度。

结合图 2和表 3可以得出，在69.3 m基线中，截止高度角为10°、20°、30°和40°时，GPS和GPS/BDS在X、Y、Z方向的定位精度达可mm级，BDS定位精度相对稍差；在卫星高度角为50°的极端条件下，GPS/BDS在X、Z方向上可达到mm级，在Y方向可达cm级，定位精度优于GPS和BDS单系统。在1.79 km基线中，截止高度角为10°时，GPS与BDS定位精度相当；截止高度角为20°、30°和40°时，BDS的定位精度仅次于GPS/BDS而优于GPS，这主要是因为BDS在随着高度角变化时，可见卫星数保持稳定，且较高的卫星高度角使其噪声较小；截止高度角为50°时，BDS和GPS/BDS在X、Y、Z方向上均可达到cm级，GPS和BDS定位精度均低于GPS/BDS。两条基线随着高度角的增加，都呈现出定位精度降低的特性，与1.79 km基线相比，69.3 m基线具有更高的定位精度。

3 结语

1) GPS/BDS系统的卫星可见性和系统稳定性高于GPS与BDS单系统。在截止高度角为50°的极端条件下，GPS基本丧失了相对定位能力，而69.3 m基线BDS的成功率为45.0 %，1.79 km基线BDS的成功率仅为18 %，但69.3 m基线GPS/BDS的成功率却高达80 %，1.79 km基线也达到了68 %，GPS/BDS系统明显地提高了GPS和BDS单系统的模糊度固定成功率。

2) 随着截止卫星高度角的增加，GPS、BDS和GPS/BDS的定位精度都呈下降趋势，但无论在高度角为10°、20°的良好观测条件还是50°的极端条件下，GPS/BDS的定位精度都优于GPS和BDS，有效改善了定位精度。总的来说，在高山峡谷地区及城市建筑群等信号易遮挡地区，GPS/BDS双频单历元定位精度可以达到cm级甚至mm级。

文中对信号易遮挡地区GPS/BDS双频单历元短基线解算中的随机模型未有研究，对中长基线双频单历元模糊度固定问题亦有待于进一步研究。