利用最小二乘准则进行定位解算时，观测值随机模型的准确与否直接影响导航定位精度的高低。随机模型因接收机类型和观测数据类型的不同而存在差异^[1]，尤其是我国BDS导航系统刚刚运行，与GPS系统相比，观测数据先验随机模型积累较少，有必要对不同观测条件下、不同接收机观测的BDS数据进行观测质量分析，以获取准确的导航定位随机模型^[2]。随着多频GNSS技术的出现，如何充分利用现有多频信号资源，实现观测噪声的快速建模与分析，是进一步提高导航定位精度的关键^[3-4]。

近年来，随着精密单点定位技术的发展，各种观测环境下基于单站获取合理随机观测模型的需求越来越多。为此，文献[5]基于单频伪距/载波无几何组合观测对单站单星伪距观测噪声进行了估计，采用多项式拟合算法实现了单站非差伪距观测精度的估计，并且分析了观测值前后历元间的时间相关性。文献[6]则针对北斗精密单点定位提出了一种新的定权方法，解决了简单利用高度角算法确定不同类型的北斗导航卫星随机特性不准确的问题。以上算法均未能实现观测误差的快速估计，且主要应用于建立伪距随机模型。为快速估计载波观测精度，文献[7]提出基于三频无几何无电离层组合对GPS、QZSS三频载波观测噪声进行建模分析的方法。而随着我国北斗系统的发展建设，有必要研究北斗三频载波观测精度的快速估计算法。

综合以上分析，本文通过对三频载波无几何无电离层组合观测进行滑动拟合，消除载波多路径和电离层延迟残差的影响，而后通过数理统计实现了载波观测精度的快速估计。

1 三频载波观测精度估计原理

首先给出三频载波无几何无电离层组合gif_Φ：

$ \begin{array}{l} {\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}{\rm{ = }}\mathit{\alpha }{\mathit{\lambda }_{\rm{1}}}{\mathit{\varphi }_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\mathit{\beta }{\mathit{\lambda }_{\rm{2}}}{\mathit{\varphi }_{\rm{2}}}{\rm{ + }}\mathit{\gamma }{\mathit{\lambda }_{\rm{3}}}{\mathit{\varphi }_{\rm{3}}}{\rm{ = }}\mathit{\alpha }{\mathit{\lambda }_{\rm{1}}}{\mathit{N}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\mathit{\beta }{\mathit{\lambda }_{\rm{2}}}{\mathit{N}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}\\ \;\;\mathit{\gamma }{\mathit{\lambda }_{\rm{3}}}{\mathit{N}_{\rm{3}}}{\rm{ + Ion + }}\mathit{\alpha }{\mathit{\lambda }_{\rm{1}}}{\mathit{B}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\mathit{\beta }{\mathit{\lambda }_{\rm{2}}}{\mathit{B}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}\mathit{\gamma }{\mathit{\lambda }_{\rm{3}}}{\mathit{B}_{\rm{3}}}{\rm{ + }}{\mathit{\varepsilon }_{{\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}}} \end{array} $

(1)

其中，组合系数α、β、γ满足下式：

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\alpha }{\rm{ + }}\mathit{\beta }{\rm{ + }}\mathit{\gamma }{\rm{ = 0}}\\ \frac{\mathit{\alpha }}{{\mathit{f}_1^2}}{\rm{ + }}\frac{\mathit{\beta }}{{\mathit{f}_2^2}}{\rm{ + }}\frac{\mathit{\gamma }}{{\mathit{f}_3^2}}{\rm{ = 0}} \end{array} \right. $

(2)

式中，λ、φ和N分别表示波长、载波观测值和整周模糊度，Ion、B和ε_gifΦ分别为组合后电离层延迟、硬件延迟和观测噪声，f表示频率，下标1、2、3表示频点。

式(1)中，ε_gifΦ和残余电离层延迟Ion表达式分别为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\varepsilon }_{{\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}}}{\rm{ = }}\mathit{\alpha }{\mathit{\lambda }_{\rm{1}}}{\mathit{\varepsilon }_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\mathit{\beta }{\mathit{\lambda }_{\rm{1}}}{\mathit{\varepsilon }_{\rm{2}}}{\rm{ + }}\mathit{\gamma }{\mathit{\lambda }_{\rm{3}}}{\mathit{\varepsilon }_{\rm{3}}}\\ {\rm{Ion = - }}\mathit{\alpha }\frac{{{\mathit{K}_{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}\mathit{f}_1^3}}{\rm{ - }}\mathit{\beta }\frac{{{\mathit{K}_{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}\mathit{f}_2^3}}{\rm{ - }}\mathit{\gamma }\frac{{{\mathit{K}_{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}\mathit{f}_3^3}} \end{array} \right. $

(3)

式(1)中，剩余的模糊度、电离层残差和硬件延迟同样可通过多项式拟合予以建模消除。具体拟合公式如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{}}{\mathit{\boldsymbol{G}}_{\mathit{\Phi n}{\rm{ \times 1}}}}{\rm{ = }}{\mathit{\boldsymbol{H}}_{\mathit{n}{\rm{ \times }}\mathit{t}}}\mathit{\boldsymbol{\mu }}{{\rm{}}_{\mathit{t}{\rm{ \times }}\mathit{1}}}{\rm{ + }}\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}{{\rm{}}_{{\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}{\rm{[}}\mathit{n}{\rm{ \times 1]}}}}\\ \mathit{E}{\rm{(}}\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}{{\rm{}}_{{\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}}}{\rm{) = 0}}\\ {\rm{cov(}}\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}{{\rm{}}_{{\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}}}{\rm{) = }}\mathit{\sigma }_{{\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}}^2\mathit{\boldsymbol{I}}{{\rm{}}_\mathit{n}}{\rm{}} \end{array} \right. $

(4)

其中，

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{G}}{\rm{ = }}{\left[{{\rm{gif}}_\mathit{\Phi }^1\;\;\;\;{\rm{gif}}_\mathit{\Phi }^2\;\; \cdots \;\;{\rm{gif}}_\mathit{\Phi }^\mathit{n}{\rm{}}} \right]^{\rm{T}}}\\ \mathit{\boldsymbol{H}}{\rm{ = }}{\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&\mathit{x}&{{\mathit{x}^{\rm{2}}}}& \cdots &{{\mathit{x}^{\mathit{t}{\rm{-1}}}}}\\ 1&\mathit{x}&{{\mathit{x}^{\rm{2}}}}& \cdots &{{\mathit{x}^{\mathit{t}{\rm{-1}}}}}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 1&\mathit{x}&{{\mathit{x}^{\rm{2}}}}& \cdots &{{\mathit{x}^{\mathit{t}{\rm{-1}}}}} \end{array}} \right]_{\mathit{n}{\rm{ \times }}\mathit{t}}}\\ \mathit{\boldsymbol{\mu }}{\rm{ = }}{\left[{{\mathit{\mu }_{\rm{0}}}\;\;{\mathit{\mu }_{\rm{1}}}\;\; \cdots \;\;{\mathit{\mu }_{\mathit{t}{\rm{-1}}}}{\rm{}}} \right]^{\rm{T}}}{\rm{}} \end{array} \right. $

(5)

式中，gif_Φⁱ(i=1, 2, …, n)为第n历元第i个伪距/载波无几何无电离层组合，μ₀为无几何无电离层组合回归系数，x代表观测历元差值，t为拟合阶数。

由式(16)可以得到三频载波无几何无电离层组合的载波组合噪声方差：

$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}{{\rm{}}_{\mathit{\boldsymbol{G}}{{\rm{}}_\mathit{\Phi }}}}{\rm{ = }}\mathit{\boldsymbol{\hat \varepsilon }}_{{\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat \varepsilon }}}_{{\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}}}{\rm{/}}\left( {\mathit{n}{\rm{ - }}\mathit{t}} \right) $

(6)

进一步采用滑动平均方法得到i历元三频载波无几何无电离层组合方差值：

$ \mathit{\sigma }_{\rm{gi}{{\rm{f}}_{\mathit{\Phi }}}}^{\rm{2}}\left( \mathit{i} \right)\rm{=}\frac{\underset{\mathit{j}\rm{=}\mathit{i}\rm{-}\mathit{m}}{\overset{\mathit{i}}{\mathop{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma}}} \rm{ }}}}\,\mathit{\boldsymbol{ \varepsilon}} \rm{ }_{\rm{gi}{{\rm{f}}_{\mathit{\Phi }}}}^{\rm{T}}\left( \mathit{j} \right){{\mathit{\boldsymbol{ \varepsilon}} \rm{ }}_{\rm{gi}{{\rm{f}}_{\mathit{\Phi }}}}}\left( \mathit{j} \right)}{\mathit{m}} $

(7)

由式(2)可知，任意两个三频载波相位无几何无电离层组合都线性相关，故无法类似于三频伪距/载波无几何无电离层组合那样可以通过3个线性无关的观测误差组合反算原始载波观测误差^[6]。而若简化原始载波观测误差，假定各频点载波观测噪声独立等精度，此时原始载波观测噪声标准差σ_Φ可表示为：

$ {\mathit{\sigma }_\mathit{\Phi }}{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{\mathit{\sigma }_{{\rm{gi}}{{\rm{f}}_\mathit{\Phi }}}^{\rm{2}}}}{{{{{\rm{(}}\mathit{\alpha }{\mathit{\lambda }_{\rm{1}}}{\rm{)}}}^{\rm{2}}}{\rm{ + (}}\mathit{\beta }{\mathit{\lambda }_{\rm{2}}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}{\rm{ + (}}\mathit{\gamma }{\mathit{\lambda }_{\rm{3}}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}}}} $

(8)

由式(2)可以得出，三频载波无几何无电离层组合系数之间存在如下比值关系：

$ {\rm{}}\mathit{\alpha }\;{\rm{:}}\;\mathit{\beta }\;{\rm{:}}\;\mathit{\gamma }{\rm{ = [-}}\frac{{{\rm{ (}}\mathit{f}_3^2{\rm{-}}\mathit{f}_1^2{\rm{)}}\mathit{f}_2^2}}{{{\rm{ (}}\mathit{f}_2^2{\rm{-}}\mathit{f}_1^2{\rm{)}}\mathit{f}_3^2}}{\rm{ - 1]}}\;{\rm{:}}\;\frac{{{\rm{ (}}\mathit{f}_3^2{\rm{ - }}\mathit{f}_1^2{\rm{)}}\mathit{f}_2^2}}{{{\rm{ (}}\mathit{f}_2^2{\rm{ - }}\mathit{f}_1^2{\rm{)}}\mathit{f}_3^2}}\;{\rm{:}}\;{\rm{1}} $

(9)

由式(9)比例关系，选择合适的三频载波无几何无电离层组合，即可实现基于三频载波无几何无电离层组合的载波观测精度分析。虽然无法直接建立顾及频间交叉相关性的载波观测随机模型，但可通过对三频载波无几何无电离层组合载波观测噪声的综合分析反映载波观测精度，并且在载波观测独立等精度的假设下，实现载波观测精度的快速估计。以上载波观测噪声无需进行双差处理即可实现载波观测噪声的实时估计，由此进一步证明了三频技术的优势。

2 实验分析

采用IGS站点BYHN利用TRIMBLE NETR9接收机于2013-11-05观测到的GPS G01和BDS C02、C07、C12三频数据进行载波观测值噪声水平分析，采样间隔30 s，卫星截止高度角10°，滑动窗口计算单历元载波观测噪声时拟合历元数为60。下面基于各频点载波观测噪声独立等精度的假设，利用三频载波GIF组合对原始载波观测精度进行快速估计分析。

由图 1(a)所示的G01卫星载波无几何无电离层组合变化趋势较明显可知，三频载波无几何无电离层组合仍存在残余的非观测噪声误差。而由图 1(b)可知，多项式拟合后得到的差值随机特性比较明显。由此可见，通过多项式拟合可以较好地消除载波无几何无电离层组合中残余的电离层延迟等趋势性误差，保证剩余误差为伪距观测噪声。同理可以看出，BDS C02、C07和C12卫星经三频无几何无电离层多项式拟合后剩余的残差项基本在0附近波动，说明本文基于三频无几何无电离层组合的载波观测精度分析方法可消除电离层残差、整周模糊度常数项。

基于各频点载波观测独立等精度的假设，计算出了G01载波观测噪声大致在0.003~0.015周之间(图 1(c))，由此可见，G01卫星载波精度相对较高。由于仅利用单个三频载波无几何无电离层组合难以实现对各频点载波噪声的分离计算，无法估计各频点载波观测间的相关性，为此有必要加强顾及频间相关性的载波观测随机模型的实时建模研究。

由图 2分析BDS卫星载波观测精度可知，C02和C12卫星载波噪声约为0.01周，而G01和C07卫星载波观测质量更好，约为0.005周。BDS C07和GPS G01同属于MEO卫星，其载波精度相当，而BDS C02和C12分别为BDS卫星中GEO和IGSO卫星，该两类卫星相对MEO卫星运动变化慢，尤其是GEO卫星基本静止不动。由于卫星运动慢，导致可获取的信号变化少，进而可能会导致观测数据质量下降，故出现BDS C02和C07载波精度稍差的现象。但总体而言，BDS载波精度与GPS载波观测精度相当，这也是BDS导航定位精度可达到GPS精度的重要保证。

由以上实验分析可知，对三频载波无几何无电离层组合进行多项式拟合建模，可有效消除电离层残差、整周模糊度常数、硬件延迟等，进而实现基于三频载波观测独立等精度假设条件下的载波观测精度估计。

3 结语

基于GNSS载波观测独立等精度的假设，可实现单站单星载波观测精度值的快速估计，无需基线差分。该算法使得为导航定位、接收机完好性实时监测等应用提供实时准确的随机误差模型成为可能。而顾及载波观测相关性的载波随机模型快速估计将是今后的研究重点。