2018, Vol. 38
2. 武汉大学测绘学院，武汉市珞喻路129号，430079;
3. 东华理工大学江西省数字国土重点实验室，南昌市广兰大道418号，330013
高铁运行速度快，对线路的稳定性、平顺性要求高[1]。高铁路基沉降观测有利于控制路堤填筑的速度，保证路堤填筑的稳定性。通过预测沉降量，能确定路基是否平稳，为何时开始轨道施工提供理论依据[2]。高铁路基前期沉降量大，后期逐渐减慢，最后趋于稳定，而灰色理论作为一种预测理论，其线性变化遵循高铁路基沉降变化规律，并且能深入挖掘路基变形的内在信息，具有建模简单、要求的样本数据少、运用方便等优势，广泛应用于高铁路基沉降预测[3]。灰色理论GM(1, 1)是在最小二乘(LS)条件下对经典的Gauss-Markov模型L=Bx进行求解[4]。但当观测数据L包含误差时，观测数据一次累加形成的系数矩阵B同样包含误差，如果再使用LS求解，计算出的未知参数是有偏的[5]。总体最小二乘(TLS)算法兼顾观测矩阵和系数矩阵的误差，TLS解被证明具有渐进无偏性[6-7]。
路基观测值有时不可避免地包含少量粗差，如果不剔除，会使GM(1, 1)模型扭曲，预测结果错误。因此，需要稳健算法对粗差进行定位和剔除[7]。本文先提出部分变量误差模型的总体最小二乘估计(partial errors-in variables total least squares，PEIV-TLS)，在此基础上，提出基于IGGⅢ抗差方案[8]的部分变量的总体最小二乘稳健估计(robust partial errors-in-variables total least squares based on IGGⅢ function，PEIV-TLS-IGGⅢ)。仿真数据和工程实例数据验证了模型的优越性。
1 PEIV-TLS-IGGⅢ稳健估计GM(1, 1)白化微分方程式为：
| $ \frac{{{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{x}}^{\left( 1 \right)}}}}{{{\rm{d}}t}} + a{\mathit{\boldsymbol{x}}^{\left( 1 \right)}} = b $ | (1) |
式中，x(1)为对路基数据进行一次累加，a为发展系数，控制系统发展态势的大小，b为灰色作用量，反映数据的变化关系。
参数向量为：
| $ \mathit{\boldsymbol{\hat a}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $ | (2) |
令
| $ \mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.5\left( {{x^{\left( 1 \right)}}\left( 1 \right) + {x^{\left( 1 \right)}}\left( 2 \right)} \right)}&1\\ { - 0.5\left( {{x^{\left( 1 \right)}}\left( 2 \right) + {x^{\left( 1 \right)}}\left( 3 \right)} \right)}&1\\ \vdots&\vdots \\ { - 0.5\left( {{x^{\left( 1 \right)}}\left( {n - 1} \right) + {x^{\left( 1 \right)}}\left( n \right)} \right)}&1 \end{array}} \right] $ |
| $ \mathit{\boldsymbol{L}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 2 \right)}&{{x^{\left( 0 \right)}}\left( 3 \right)}& \cdots &{{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $ |
式(1)可以表示为：
| $ \mathit{\boldsymbol{L}} + {{\mathit{\boldsymbol{ \varepsilon }}}_y} = \mathit{\boldsymbol{B}} \cdot \mathit{\boldsymbol{\hat a}} $ | (3) |
根据最小二乘原理可得未知参数的估值为:
| $ \mathit{\boldsymbol{\hat a}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}}} \right]^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{L}} $ | (4) |
由式(4)可知，最小二乘方法求未知参数时，只考虑了系数矩阵L的误差。但是，系数矩阵B的第1列的数是由观测数据一次累加和的平均，当观测数据含有误差时，系数矩阵B也会含有误差。PEIV-TLS-IGGⅢ方法能够同时兼顾系数矩阵B中部分变量误差的影响，同时还具有一定的抗差能力。GM(1, 1)的PEIV-TLS-IGGⅢ误差模型为：
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {\varphi \left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_y},{\mathit{\boldsymbol{e}}_B},\mathit{\boldsymbol{\hat a}}} \right) = \mathit{\boldsymbol{L}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_y} - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_B}}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_2}} \end{array}} \right] \cdot \mathit{\boldsymbol{\hat a}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}_y} \in {R^{n \times 1}},{\mathit{\boldsymbol{e}}_B} \in {R^{n \times 1}}} \end{array} $ | (5) |
式中，n为白化微分方程的个数，L为观测值的真值，B1为系数矩阵中含有误差变量的真值，B2为n行1列全为1的矩阵，ey和eB分别为观测值和系数矩阵误差的大小。
随机模型为：
| $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{e}}_y}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}_B}} \end{array}} \right] \propto N\left( {\left[ \begin{array}{l} 0\\ 0 \end{array} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}_L}}&0\\ 0&{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}_B}} \end{array}} \right]} \right) $ | (6) |
令未知参数ey、eB和
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_y},{\mathit{\boldsymbol{e}}_B},a} \right) \approx \varphi \left( {\mathit{\boldsymbol{e}}_y^0,\mathit{\boldsymbol{e}}_B^0,{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}^0}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_y} - \mathit{\boldsymbol{e}}_y^0} \right) + }\\ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_B} - \mathit{\boldsymbol{e}}_B^0} \right) + {\mathit{\boldsymbol{A}}_0}\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat a}} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}^0}} \right) = 0} \end{array} $ | (7) |
其中，
| $ {\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}} = \frac{{\partial \varphi \left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_y},{\mathit{\boldsymbol{e}}_B},\mathit{\boldsymbol{\hat a}}} \right)}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{e}}_y}}},{\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}} = \frac{{\partial \varphi \left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_y},{\mathit{\boldsymbol{e}}_B},\mathit{\boldsymbol{\hat a}}} \right)}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{e}}_B}}}, $ |
| $ {\mathit{\boldsymbol{A}}_0} = \frac{{\partial \varphi \left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_y},{\mathit{\boldsymbol{e}}_B},\mathit{\boldsymbol{\hat a}}} \right)}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\hat a}}}} $ |
令
| $ {\mathit{\boldsymbol{W}}^0} = \varphi \left( {\mathit{\boldsymbol{e}}_y^0,\mathit{\boldsymbol{e}}_B^0,{{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}^0}} \right) - {\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}}\mathit{\boldsymbol{e}}_y^0 - {\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}}\mathit{\boldsymbol{e}}_B^0 $ | (8) |
则可得观测方程：
| $ {\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_y} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_B} + {\mathit{\boldsymbol{A}}_0}\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat a}} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}^0}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{W}}^0} = 0 $ | (9) |
IGGⅢ抗差方案充分考虑了实际观测数据，具有良好的抵御粗差能力[9]，其权因子为：
| $ \mathit{\boldsymbol{W}}\left( u \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\left| u \right| < {k_0}}\\ {\frac{{{k_0}}}{{\left| u \right|}}{{\left( {\frac{{{k_1} - \left| u \right|}}{{{k_1} - {k_0}}}} \right)}^2},{k_0} \le \left| u \right| < {k_1}}\\ {0,\left| u \right| \ge {k_1}} \end{array}} \right. $ | (10) |
式中，u表示标准化残差(u=
由式(10)可知，观测向量L和系数矩阵B的权因子矩阵分别为：
| $ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{W}}_y} = {\rm{diag}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{y,1}},{\mathit{\boldsymbol{W}}_{y,2}}, \cdots {\mathit{\boldsymbol{W}}_{y,n}}} \right),\\ {\mathit{\boldsymbol{W}}_B} = {\rm{diag}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{B,1}},{\mathit{\boldsymbol{W}}_{B,2}}, \cdots {\mathit{\boldsymbol{W}}_{B,n}}} \right) \end{array} $ | (11) |
设初始权阵为Py和PB，其权因子初值均为1，即Py=PB=diag(1, 1, …, 1)∈Rn×n, 则经过IGGⅢ方案后得到相应的权阵P1=Py×Wy，P2=PB×WB，相应的协因数阵为Q1=P2-1，Q2=P2-1。
利用拉格朗日乘数λ构造目标函数[10]:
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\Phi }\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_y},{\mathit{\boldsymbol{e}}_B},\mathit{\boldsymbol{\lambda }},\mathit{\boldsymbol{\hat a}}} \right) = \mathit{\boldsymbol{e}}_y^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_1^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{e}}_y} + \mathit{\boldsymbol{e}}_B^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_2^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{e}}_B} - 2{\mathit{\boldsymbol{\lambda }}^{\rm{T}}}}\\ {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_y} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_B} + {\mathit{\boldsymbol{A}}_0}\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat a}} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}^0}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{W}}^0}} \right]} \end{array} $ | (12) |
对未知函数求偏导：
| $ \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{2\partial {\mathit{\boldsymbol{e}}_y}}} = \mathit{\boldsymbol{e}}_y^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_1^{ - 1} - {\mathit{\boldsymbol{\lambda }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}} = 0 $ | (13) |
| $ \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{2\partial {\mathit{\boldsymbol{e}}_B}}} = \mathit{\boldsymbol{e}}_B^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_2^{ - 1} - {\mathit{\boldsymbol{\lambda }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}} = 0 $ | (14) |
| $ \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{2\partial \mathit{\boldsymbol{\hat a}}}} = - {\mathit{\boldsymbol{\lambda }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_0} = 0 $ | (15) |
| $ \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{2\partial \mathit{\boldsymbol{\lambda }}}} = - \left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_y} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_B} + {\mathit{\boldsymbol{A}}_0}\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat a}} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}^0}} \right) + \mathit{\boldsymbol{W}}} \right) = 0 $ | (16) |
令
| $ \mathit{\boldsymbol{N}} = {\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_1}\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}^{\rm{T}} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_2}\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}^{\rm{T}} $ | (17) |
则：
| $ \mathit{\boldsymbol{\hat a}} = - {\left[ {\mathit{\boldsymbol{A}}_0^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{N}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_0}} \right]^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}_0^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{N}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{W}}^0} + {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}^0} $ | (18) |
| $ \mathit{\boldsymbol{\lambda }} = - {\mathit{\boldsymbol{N}}^{ - 1}}\left[ {{\mathit{\boldsymbol{A}}_0}\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat a}} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}^0}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{W}}^0}} \right] $ | (19) |
相应的残差向量为：
| $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\hat e}}}_y}}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\hat e}}}_B}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_1}\mathit{\boldsymbol{B}}_{10}^{\rm{T}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_2}\mathit{\boldsymbol{B}}_{20}^{\rm{T}}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\lambda }} $ | (20) |
将
计算得到
| $ {{\hat x}^{\left( 1 \right)}}\left( {t + 1} \right) = \left( {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right) - \frac{b}{a}} \right){{\rm{e}}^{ - at}} + \frac{b}{a} $ | (21) |
通过一次累减生成GM(1, 1)预测值:
| $ {{\hat x}^{\left( 0 \right)}}\left( {t + 1} \right) = \left( {1 - {{\rm{e}}^a}} \right)\left( {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right) - \frac{b}{a}} \right) \times {{\rm{e}}^{ - at}} $ | (22) |
当PEIV-TLS-IGGⅢ方法中不经过IGGⅢ抗差方案处理时，就退化成为部分变量误差模型的总体最小二乘估计(PEIV-TLS)，当IGGⅢ抗差方案和最小二乘进行组合，就形成了稳健最小二乘估计(LS-IGGⅢ)。
2 模拟实验设计根据高铁路基沉降规律，现取发展系数a=0.2，b=2，初始观测值为1.812 7 mm，通过式(22)得到21位模拟观测值。为验证LS、PEIV-TLS、PEIV-TLS-IGGⅢ的稳定性和可靠性，采用如下两种方案进行模拟实验。
方案一 在模拟的观测数据中添加服从正态分布N(0，σ2 Ι)(σ2=0.2, Ι为单位阵)的随机误差，并令第3位观测值为3 mm (远大于3倍中误差)，多次重复实验，求各模型的稳定性。
方案二 粗差为2个，粗差的大小从0 mm增加到4 mm，步长为0.01 mm，求各模型的抗差能力。各模型分析结果见表 1。
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表 1 各模型实验对比分析 Tab. 1 Comparison and analysis on models |
当模拟数据中不含有误差时，LS、PEIV-TLS、PEIV-TLS-IGGⅢ能得出相同的估计值，且估计结果无误差。当在模拟变量中加入一个粗差和一个方差为0.2的随机误差时，由表 1可知，LS的估计值a、b偏离真值最大，估计结果不再具有无偏性，但LS估计值a、b的方差最小，计算结果最稳定。在模拟实验中，PEIV-TLS方法比LS方法多引入20个系数变量，PEIV-TLS因为考虑到了系数矩阵的误差，并在总体均方差最小的情况下求解各变量值。由表 1可知，PEIV-TLS较LS方法a、b的精度分别提高了0.011和0.106，后验比也减少了0.045。而PEIV-TLS-IGGⅢ方法因为在部分变量总体最小二乘基础上引入了IGGⅢ抗差方案，所以具有一定的抗差性能。由表 1可知，PEIV-TLS-IGGⅢ方法a、b估计值效果最好，最接近真值，后验比最小，达到一级精度要求。
由图 1可以看出，在发展系数a的预测中，LS预测值明显偏离真值，预测精度最差；PEIV-TLS方法预测值开始靠近真值，但预测结果波动较大，预测值不稳定；PEIV-TLS-IGGⅢ方法能够不受粗差的影响，预测结果围绕a真值上下波动。由图 2可以看出，LS方法b预测值严重偏离实际值；PEIV-TLS方法开始向真值靠拢；PEIV-TLS-IGGⅢ方法b预测值围绕真值上下波动。所以，当观测数据中含有粗差时，PEIV-TLS-IGGⅢ方法预测效果最好。
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图 1 方案一发展系数a预测图像 Fig. 1 The development coefficient of alphabet a prediction images |
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图 2 方案一灰作用量b预测图像 Fig. 2 The grey action of alphabet b prediction images |
由表 1可知，当只含有1个或2个粗差时，LS估计a、b偏离真值最远，且随着粗差个数的增加，后验比也增加，表明LS方法不具有抗差性，预测效果最差；PEIV-TLS方法在只有1个粗差时，a值预测最准确，且方差最小，但b值的预测偏差相差0.37；PEIV-TLS-IGGⅢ方法只相差0.031，方差仅为0.012，预测效果最好，且后验比也最小。当粗差为2个时，各模型预测方法误差都增加，LS方法效果最差，完全无法使用；PEIV-TLS方法预测值方差偏大，预测值不稳定；PEIV-TLS-IGGⅢ方法预测也不准，偏差大，但后验比仍是最小的。
由图 3和图 4可以看出，当粗差增大时，预测曲线逐渐偏离真值。LS方法偏离真值的速率最快，后期完全无法使用；当存在2个粗差时，PEIV-TLS预测存在突变的现象，预测不稳定，其原因是引入了多个参数，且没有进行抗差处理；PEIV-TLS-IGGⅢ方法中a随粗差的增大而逐渐减小，b逐渐增大，预测效果仍是最佳。综上可知，当观测数据存在粗差时，LS估计不具有抗差性，预测偏差较大；PEIV-TLS方法预测不稳定，预测值方差较大；PEIV-TLS-IGGⅢ方法具有一定的抗差性，且预测稳定。
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图 3 方案二含一个粗差各模型预测图像 Fig. 3 Scheme 2 prediction images with single outlier |
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图 4 方案二含两个粗差各模型预测图像 Fig. 4 Scheme 2 prediction images with two outliers |
选用贵广高铁某监测点数据，其沉降监测周期为7 d。选取前52期沉降观测数据进行分析, 前7期数据建立LS-IGGⅢ、PEIV-TLS、PEIV-TLS-IGGⅢ模型，预测图像见图 5。
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图 5 高铁路基沉降预测曲线图像 Fig. 5 High speed railway subsidence prediction image |
受光线、气温、仪器等随机因素影响，沉降变形监测数据不可避免地受到较大噪声干扰，因此沉降数据表现为较大的波动，需要对观测数据进行平差分析，识别高铁沉降真实曲线。利用前52期观测数据建立GM(1, 1)模型，可以计算出沉降真实曲线发展系数a=0.189, 灰作用量b=2.352。由图 5可知，沉降观测数据在第6期偏离真实数据较大，通过计算，该观测值包含粗差。在图 5中，PEIV-TLS预测曲线与真实沉降曲线的偏离程度远大于LS-IGGⅢ和PEIV-TLS-IGGⅢ预测曲线，说明观测数据中含有粗差时，预测模型的精度主要受粗差大小的影响，并且IGGⅢ抗差方案具有一定的抗差性。PEIV-TLS-IGGⅢ预测精度高于LS-IGGⅢ，说明观测方程中系数矩阵存在误差时，对观测方程进行总体最小二乘估计效果优于最小二乘估计。为比较各模型快速识别高铁路基沉降真实曲线的能力，选用前7~10期观测数据分别计算各模型发展系数a、灰作用量b预测值和后验比，计算结果见表 2。
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表 2 各估计方法对比分析 Tab. 2 The estimation methods comparison and analysis |
由表 2可知，随着沉降观测期数的增加，各模型a、b的预测值逐渐靠近真值，后验比逐渐减小。当用前7期数据建立模型时，PEIV-TLS模型预测效果最差，后验比达到0.738。随着建模期数的增加，PEIV-TLS模型预测精度快速提高，在第10期时，预测精度靠近PEIV-TLS-IGGⅢ模型。这也验证了本文模拟实验的结论——PEIV-TLS模型受观测数据误差大小和分布规律的影响较大，预测值不稳定。LS-IGGⅢ模型预测值比较稳定，但是随着建模期数的增加，LS-IGGⅢ模型预测精度还是很低，后验比最大，主要是因为LS-IGGⅢ没有进行系数矩阵误差改正。而PEIV-TLS-IGGⅢ模型的后验比最小，预测精度最高。
综上可知，PEIV-TLS-IGGⅢ模型加入了IGGⅢ抗差方案，具有一定的抗差性，稳定性优于PEIV-TLS模型。同时，PEIV-TLS-IGGⅢ模型使用了总体最小二乘准则，考虑了系数矩阵误差改正，因此预测精度高于LS-IGGⅢ模型。
4 结语1) 通过模拟实验可以得出，当观测数据中含有粗差时，LS估计和PEIV-TLS估计都对粗差很敏感，不具备抗差性。PEIV-TLS因为考虑了系数矩阵的误差，其估计精度高于LS估计，但PEIV-TLS模型估计值方差较大，预测不稳定。
2) 由工程实例可知，PEIV-TLS-IGGⅢ模型考虑了系数矩阵误差，并在总体最小二乘条件下求解未知参数，预测精度高于LS-IGGⅢ模型。同时，PEIV-TLS-IGGⅢ模型具有一定的抗差性，预测值稳定性高于PEIV-TLS模型。
3) 高铁路基前期下沉量大，下沉速度快，容易产生测量误差，并且前期的测量值对后期的沉降预测影响较大。而PEIV-TLS-IGGⅢ方法使用少量数据就能实现高精度预测，为迅速准确预测工后沉降量、确定何时开始轨道工程施工提供依据。
本文算法虽然考虑了灰色白化微分方程系数矩阵常数项无需改正，但无法保证系数矩阵B中常数项拥有相同的改正数。因此，如何提高预测精度，仍需进一步研究。实际工程中，观测数据受白噪声、系统误差等多种类型误差的影响，如何对误差进行分类和改正也需进一步研究。
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2. School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, 129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China;
3. Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province, East China University of Technology, 418 Guanglan Road, Nanchang 330013, China