高频大地电磁法(HMT)是根据近地表工程地质勘察需求提出来的^[1]。但实际工作中，复杂的地形条件对HMT的勘探效果产生严重影响，如果不考虑起伏地形对HMT数据的响应特性，将会对其资料分析带来显著误差。国内外学者针对起伏地形下传统的大地电磁法(MT)的响应特性开展研究，如Wanamaker等^[2]模拟了山脊、山谷等纯地形，针对测点不同位置对结果的影响进行对比分析；Yang等^[3]对比分析了不同高度的山脊、地堑等经典地形下MT的响应，得出地形影响随高度变化的规律；陈小斌等^[4]提出复杂地表条件下的MT有限元格式和视电阻率定义，对斜坡型台阶和悬崖型台阶两种地形进行数值模拟，得出TM模式比TE模式更容易受地形影响的结论。尽管国内外已对起伏地形条件下MT的数值模拟作了大量研究^[5-8]，但研究频段均在10^-3~10³Hz，缺乏对高频段10³~10⁵ Hz下大地电磁法的地形影响的研究。本文采用自适应有限元方法正演模拟起伏地形，分析地垒、地堑等典型地形对10 Hz~100 kHz范围内HMT资料的影响规律，为后续通过HMT资料进行地形校正及地质解释提供必要的依据。

1 高频大地电磁二维正演基本理论

当平面电磁波以任意角度入射地面时，地下介质中的电磁波总以平面波的形式，几乎垂直于大地向下传播。将Maxwell方程组按分量展开，并考虑到沿走向∂/∂z=0，得出的TE和TM模式应满足偏微分方程^[1]：

$ \frac{\partial }{\partial x}(\frac{1}{\text{i}\omega \mu }\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial y}(\frac{1}{\text{i}\omega \mu }\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial y})+\sigma {{E}_{z}}=0 $

(1)

$ \frac{\partial }{\partial x}(\frac{1}{\sigma }\frac{\partial {{H}_{z}}}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial y}(\frac{1}{\sigma }\frac{\partial {{H}_{z}}}{\partial y})+\text{i}\omega \mu {{H}_{z}}=0 $

(2)

式(1)、(2)可表示为：

$ \nabla \left( \tau \nabla u \right)+\lambda u=0 $

(3)

其中，∇为二维哈密顿算子。对E型波：u=E_z, $ \tau =\frac{1}{\text{i}\omega \mu } $, λ=σ；对H型波：u=H_z, $ \tau =\frac{1}{\sigma } $, λ=iωμ。

结合内、外边界条件, 正演的边值问题可以表示为：

$ \left. \begin{align} & \nabla \left( \tau \nabla u \right)+\lambda u=0\ \ \ \ \ \in \mathit{\Omega } \\ & u=1\ \ \ \ \ \ \in AB \\ & \frac{\partial u}{\partial n}=0\ \ \ \ \in AD, BC \\ & \frac{\partial u}{\partial n}+ku=0\ \ \ \ \in CD \\ & {{u}_{1}}={{u}_{2}}\ \ \ \ \in {{\mathit{\Gamma }}_{1}} \\ & {{\tau }_{1}}\frac{\partial {{u}_{1}}}{\partial n}={{\tau }_{2}}\frac{\partial {{u}_{2}}}{\partial n}\ \ \ \ \in {{\mathit{\Gamma }}_{1}} \\ \end{align} \right\} $

(4)

倘若在区域内仅有一个不均匀体存在, 利用广义变分原理构造泛函^[2-4]：

$ \begin{align} & I\left( u \right)={{\int }_{\mathit{\Omega }}}\left[\frac{1}{2}\tau {{\left( \nabla u \right)}^{2}}-\frac{1}{2}\lambda {{u}^{2}} \right]\text{d}\mathit{\Omega }= \\ & {{\int }_{{{\mathit{\Omega }}_{1}}}}\left[\frac{1}{2}{{\tau }_{1}}{{(\nabla {{u}_{1}})}^{2}}-\frac{1}{2}{{\lambda }_{1}}u_{_{1}}^{^{2}} \right]\text{d}\mathit{\Omega }+ \\ & {{\int }_{{{\mathit{\Omega }}_{2}}}}\left[\frac{1}{2}{{\tau }_{2}}{{(\nabla {{u}_{2}})}^{2}}-\frac{1}{2}{{\lambda }_{2}}u_{_{2}}^{^{2}} \right]\text{d}\mathit{\Omega } \\ \end{align} $

(5)

代入边界条件, 二维大地电磁边值问题式(4)与下列变分问题等价：

$ \left. \begin{align} & F\left( u \right)={{\int }_{\mathit{\Omega }}}\left[\frac{1}{2}\tau {{\left( \nabla u \right)}^{2}}-\frac{1}{2}\lambda {{u}^{2}}\text{d} \right]\mathit{\Omega }+ \\ & {{\int }_{CD}}\frac{1}{2}\tau k{{u}^{2}}\text{d}\mathit{\Gamma } \\ & u{{|}_{AB}}=1, \delta F\left( u \right)=0 \\ \end{align} \right\} $

(6)

2 二维大地电磁自适应地形建模软件及参数设置

基于电磁法正演基本理论，在Matlab平台上编制二维HMT自适应地形建模软件，软件功能主要包括任意地形建模、填充电阻率、大地电磁正演功能(图 1)。

结合EH-4电导率成像系统的参数设置，频率选取与之保持一致，选用的频点为10 Hz~100 kHz，共41个频点。

二维情况下单元网格剖分如下。x轴网格扩展宽度(单位m)：80 000，25 000，10 000，4 000，1 500，500；测点点距：25 m。z轴网格宽度(单位m)：40 000，16 000，8 000，2 000，500，200，50，10，10，10，10，10，10，20，20，20，30，30，30，40，40，40，40，40，40，50，50，50，100，100，100，2 500，4 000，5 000，10 000，20 000，50 000，100 000；空气网格宽度(单位m)：40 000，16 000，8 000，2 000，500，200，50；底部扩边网格(单位m)：2 500，4 000，5 000，10 000，20 000，50 000，100 000。

3 地形影响规律分析 3.1 地堑模型

设计的地堑地形模型如图 2所示，研究区域是电阻率为200 Ωm的均匀半空间，地堑模型上部宽度400 m，下部宽度100 m，高差150 m。

图 3分别给出地堑地形模型下不同测点位置与不同频率的模拟计算结果。分析地堑地形模型下的HMT响应，可以得出如下规律。

1) 地堑地形不论对TM模式还是TE模式均有影响，但对TM模式的影响比TE要严重。

2) 地堑地形对TM模式的响应特征：视电阻率曲线在A、D两点出现极小值，B、C两点出现极大值；高频段影响小，低频段影响大。相位曲线与视电阻率曲线规律相反，在A、D两点出现极大值，B、C两点出现极小值。

3) 地堑地形对TE模式的响应特征：视电阻率曲线在A、D两点出现相对极大值，B、C两点出现相对极小值；高频段影响大，低频段影响小。相位曲线规律与视电阻率曲线类似。

3.2 地垒模型

设计的地垒地形模型如图 4所示，研究区域是电阻率为200 Ωm的均匀半空间，地垒模型上部宽度100 m、下部宽度400 m，高差为150 m。图 5分别给出地垒地形模型下不同测点位置与不同频率的模拟计算结果。分析地垒地形模型下的HMT响应，可以得出以下规律。

1) 地垒地形不论对TM模式还是TE模式均有影响，但对TM模式的影响比TE要严重。

2) 地垒地形对TM模式的响应特征：视电阻率曲线在E、H两点出现极大值，F、G两点出现极小值；高频段影响小，低频段影响大。相位曲线与视电阻率曲线规律相反，在E、H两点出现极小值，F、G两点出现极大值。

3) 地垒地形对TE模式的响应特征：视电阻率曲线在E、H两点出现相对极小值；F、G两点出现相对极大值；高频段影响大，低频段影响小。相位曲线规律与视电阻率曲线类似。

3.3 任意起伏地形模型

任意地形模型如图 6所示，地形起伏不平，最大高差约200 m，研究区域是电阻率为1 000 Ωm的均匀半空间。图 7为正演模拟所得的HMT响应拟断面图，图 7(a)为TM模式下视电阻率和阻抗相位断面图，其中纵坐标为频率(取对数)，横坐标为模型测点里程；图 7(b)为TE模式下视电阻率和阻抗相位断面图。从正演模拟结果可以看出，山脊和山谷位置的HMT响应特征与地垒、地堑相符。另外，可得出以下规律。

1) 起伏地形对二维地电模型的HMT响应都有影响，视电阻率所受地形影响比阻抗相位资料更为强烈。

2) 起伏地形对TE和TM极化模式资料都有影响，其中TM极化模式的视电阻率资料所受影响远比其他资料大得多。

3) 在TM极化模式中，低频部分的视电阻率比高频部分更容易受起伏地形的影响。而在TE极化模式中，高频部分的视电阻率比低频部分更容易受起伏地形的影响。

4) 山脊地形的影响范围比山谷地形大，为降低地形影响，测点位置应尽量避开山脊或山峰，最好选在宽阔的山谷。

4 结语

本文通过有限元数值模拟，对典型地堑、地垒、任意起伏地形的数值模拟结果进行分析，得出起伏地形条件下高频大地电磁法的响应特征，所揭示的规律具有普适性，可为山区高频大地电磁勘探外业布置与数据分析解释提供参考。