2017, Vol. 37
在桥梁变形预测中，许多学者对预测方法的适用性进行了探讨。胡小伍[1]利用卡尔曼滤波对变形监测数据进行去噪处理，再利用模糊神经网络对数据进行预测，用实例检验该方法对预测精度有较大的改善；刘娜等[2]利用时间序列法对桥梁变形进行预测，证实该方法具有较高的预测精度，且适用性较强，能为桥梁变形进行有效的预警；张全良等[3]将卡尔曼滤波和双曲线法综合应用到桥墩变形预测中，并通过对比分析，验证该预测模型的有效性。上述研究虽对桥梁变形预测积累了一定的实践经验，但均采用较为单一的预测方法，缺乏桥梁变形组合预测方面的研究。由于不同预测方法所需的信息具有一定的差异，对实例的适用性也不同，因此采用组合预测能实现多种方法的信息整合[4]，提高预测精度及稳定性。在组合预测研究方面，已有相关学者将其应用到岩土工程的其他领域。隆然等[5]采用多种定权和非定权的组合预测方法对滑坡变形进行预测，实例验证组合预测的精度较单项预测有较大的提高；叶超等[6]将BP神经网络和支持向量机进行结合对滑坡变形进行复合式预测，证实该方法的预测误差较小，适用性较好。上述研究说明，组合预测对提高预测精度及稳定性具有较大的作用。本文将组合预测引入桥梁变形预测过程中，以提高预测精度为目的，为桥梁变形预测提供一种新的思路。
1 基本原理 1.1 预测思路受环境因素的影响，桥梁变形具有明显的非线性特征。为提高桥梁变形预测的精度，本文基于组合预测思路，利用MC误差修正预测结果，使实测值与预测值更为接近，主要思路如下。
1) 采用GM(1, 1)、LS-SVM、RBF及BP神经网络模型对桥梁变形进行单项预测，对比不同预测模型在实例中的预测效果，并为组合预测提供数据基础。
2) 采用若干定权、非定权组合方法对单项预测结果进行组合预测，提高变形预测结果的稳定性及精度。
3) 利用MC对组合预测结果进行误差修正，减小预测误差，进一步提高预测精度。
1.2 单项预测模型1) GM(1, 1)
将桥梁变形的n个监测样本表示为x(0)，即
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式中, k=1, 2, …, n。
利用对监测序列的一阶累加消除原始样本的随机性和波动性，将一阶累加序列x(1)表示为：
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(2) |
其中，相应节点的求解过程表示如下：
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灰色模型的一阶微分方程为：
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上述微分方程参数a、b应满足最小二乘估计，即
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进一步，通过微分方程的特解反推各节点的预测值：
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2) LS-SVM(最小二乘支持向量机)
若桥梁变形序列x={xn}，变形节点xi+p与前p个变形值之间的关系可表示为：
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式中，f(xn+m)为第n+m时刻的变形函数值，Xi为第p+i时刻前p个时刻的变形值，Xn+m为在n+m时刻前p个时刻的变形值，a、a*、b为二次规划参数。
二次规划参数的求解过程为：
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在其应用过程中，对使用者的经验要求较高，很大程度上降低了该模型的使用效率。为解决上述问题，将最小二乘法引入到支持向量机的参数优化中，将传统支持向量机的不等式约束转变为等式约束，提高对参数优化的能力，达到提高预测精度的目的。
3) RBF和BP神经网络
神经网络预测是模拟动物神经网络的特征，进行多重分布式预测的数学处理方法，具有很强的空间映射和非线性预测能力。其中，RBF和BP神经网络是最为常用的神经网络方法，均可采用三层网络结构，利用正、反向传播修正节点之间的连接权值，使输出值达到期望的目标。由于上述2种神经网络已被广泛应用，对其基本原理不再赘述。
1.3 组合预测模型为充分探讨不同组合预测模型的有效性，采用定权和非定权组合预测模型对单项预测结果进行组合，达到组合预测的目的。定权组合预测包含误差平方和与变异系数法，而非定权组合预测包含RBF和BP神经网络。其中，非定权组合预测模型是以前期单项预测模型为输入层，以对应时刻的实测值为输出层进行训练，进而实现对后期变形的预测。
1.4 误差修正模型为进一步提高预测精度，采用马尔可夫链(Markov chain，MC)对组合预测结果进行误差修正。该方法的基本原理是对预测的相对误差进行区间划分，表示为S=[Sn]，n=1, 2，…，n。同时，不同子区间可代表一种状态，而i到j状态转变概率可表示为：
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式中，Mi为第i状态的个数，Mij(m)为状态转移次数。
进一步利用位移转移矩阵即可实现误差修正，并将预测值表示为：
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式中，F(x)为修正值，Δ*为平均相对误差，ΔU、ΔD为相对误差的上、下限参数，f(x)为预测值。
考虑到不同组合预测模型的组合结果具有一定的差异，对组合预测中的最优结果进行误差修正。
2 实例分析 2.1 实例概况实例来源于文献[2]。某桥梁施工过程中，对其桥墩变形进行监测，监测时间是2009-08~2010-05，监测周期是每周1次，共监测40个周期，其累计变形-时间曲线如图 1所示。
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图 1 桥梁累计变形-时间曲线 Fig. 1 Accumulative deformation time curve of bridge |
由图 1可见，桥梁桥墩前期变形较大，后期变形较平缓。为进一步分析桥梁的变形特征，对其变形速率进行统计，见图 2。由图 2可知，桥梁变形速率起伏波动变化较大，总体呈前期变形速率波动较大、后期较小的规律，说明外界环境因素对桥梁变形具有较大的影响，其中最大变形速率为7.35 mm/周期。
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图 2 桥梁速率-时间曲线 Fig. 2 Speed time curve of bridge |
将速率比参数引入到桥梁的速率特征分析中。速率比是各时刻的变形速率与平均速率之比，能有效评价各时刻速率相对平均速率的变化程度。结合实例，将速率比进行区间划分，并对各区间进行定级，见表 1。
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表 1 速率比分级 Tab. 1 Speed ratio classification |
对桥梁变形速率比进行统计，得出桥梁速率比分级情况，如图 3所示。由图 3可知，桥梁变形多(占47.5%)处于强减速阶段，结合图 1进一步得出桥梁后期变形波动性减弱且趋于稳定；同时，桥梁加速变形阶段所占的比例明显小于减速变形阶段的比例，且加速变形阶段多位于变形前期。
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图 3 桥梁变形速率比分级 Fig. 3 Bridge deformation rate ratio classification |
结合本文预测思路，采用GM(1, 1)、LS-SVM、RBF及BP神经网络模型对桥梁变形进行单项预测。同时，将35~40期的变形数据作为检验样本，预测结果如表 2所示。
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表 2 单项预测结果统计 Tab. 2 Statistics of individual forecast results |
对比不同预测模型的结果可知，不同预测模型的预测结果具有较大的差异，说明不同预测模型所含的信息具有一定差异。为进一步分析各模型在本文实例中的适用性和有效性，对各预测模型相对误差的特征参数进行统计，结果如表 3所示。由表 3可知，最大相对误差为GM(1, 1)预测的3.54%，最小相对误差为BP神经网络预测的1.67%。同时，考虑到变异系数包含相对误差的平均值和标准差信息，将其引入到单项预测模型适用性的特征评价过程中。其中，RBF及BP神经网络预测的变异系数相当，且明显小于GM(1, 1)和LS-SVM的变异系数，说明后2种方法的预测结果具有更大的离散程度，且GM(1, 1)预测结果的离散程度最高，预测结果相对最差。
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表 3 单项预测特征参数统计 Tab. 3 Statistics of characteristic parameters of individual forecasting |
采用定权和非定权模型对桥梁变形进行组合预测，组合预测过程及结果分析如下。
1) 定权组合预测
定权组合预测包含误差平方和与变异系数法，其中误差平方和法的组合权重为[0.226 4 0.258 8 0.238 5 0.276 3]；变异系数法的组合权重为[0.069 8 0.081 1 0.492 9 0.356 3]，结果如表 4所示。由表 4可知，2种方法较单项预测均不同程度地提高了预测精度，说明组合预测的有效性。其中，误差平方和相对误差绝对值的最大值为2.84%，最小值为0.53%；变异系数法相对误差绝对值的最大值为2.77%，最小值为1.28%，两者对比差异较为明显，前者相对较优。
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表 4 定权组合预测结果统计 Tab. 4 Statistical results of fixed weight combination forecasting |
2) 非定权组合预测
为全面探讨组合预测的类型，以RBF和BP神经网络为基础，建立桥梁变形的非定权组合预测模型。在模型建立过程中，均以单项预测的预测值作为输入信息，以实测值作为输出信息，构建组合预测模型的框架结构。经预测得出非定权组合预测的结果，如表 5所示。
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表 5 非定权组合预测结果统计 Tab. 5 Statistical results of non weighted combination forecasting |
对比单项与非定权组合预测的结果可知，非定权组合预测在对应节点处的相对误差均不同程度地减小，说明非定权组合预测有效地提高了预测精度，达到了期望的目标。其中，RBF神经网络相对误差绝对值的最大值为2.2%，最小值为1.19%；BP神经网络相对误差绝对值的最大值为2.13%，最小值为0.88%。
3) 组合结果对比分析
为进一步对比分析各组合预测方法的效果及差异，对各组合方法的相对误差进行作图，见图 4。同时，采用期望和方差指标对各组合方法进行评价，如表 6所示。可见，RBF神经网络在各节点处的相对误差绝对值均较其余组合方法小，说明该方法的组合预测效果相对较优。
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图 4 组合预测相对误差对比分析 Fig. 4 Comparison analysis of relative errors of combination forecasting |
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表 6 组合预测评价指标统计 Tab. 6 Statistical indicators of combination forecasting |
对比各组合预测的期望指标得出，非定权组合预测的期望值均小于定权组合预测的期望值，说明非定权组合预测的预测精度相对更好；进一步对比方差指标得出，非定权组合预测的方差值均小于定权组合预测的方差值，说明非定权组合预测的结果具有更好的稳定性，综合得出非定权组合预测的结果更优。同时，在定权预测中，误差平方和具有更高的预测精度，但其稳定性不如变异系数法；在非定权组合预测中，RBF神经网络具有更好的预测精度和稳定性，说明非定权组合预测的预测能力具有较好的全面性。综上分析，本文选取RBF神经网络组合预测的结果作为后文误差修正的基础数据，求解桥梁变形的最优预测结果。
2.4 误差修正预测为进一步提高预测精度，利用MC对最优组合预测结果进行误差修正，结果如表 7所示。通过MC误差修正后，预测结果相对误差的期望值为0.86%，方差值为0.097 3 mm2，预测精度较组合预测的结果有较大提高，稳定性也得到增强，说明本文误差修正模型能有效提高预测精度及稳定性。
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表 7 误差修正结果统计 Tab. 7 Statistics of error correction results |
1) 对比单项预测结果，RBF及BP神经网络的预测效果相对较优，而GM(1, 1)和LS-SVM的预测结果相对较差。这说明前2种方法在本文实例中具有更好的适用性。
2) 非定权组合预测的预测精度及结果的稳定性均优于定权组合预测，说明前者的非线性映射能力更优。
3) 将MC应用到最优组合预测结果的误差修正过程中，修正后相对误差的期望值为0.86%，方差值为0.097 3 mm2，达到期望的预测目标。
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