滑坡变形预测模型大体上分为两种，一种是确定性模型，即通过力学的方法建立滑坡荷载与滑坡变形之间的力学关系。由于确定性模型需要获取滑坡中一些岩土体的力学参数，而这些参数具有高度的非线性^[1-4]，难以得到，加之滑坡变形的力学机制比较复杂，要想准确地建立滑坡荷载与滑坡变形之间的力学关系往往十分困难，从而导致确定性模型准确预测滑坡的变形比较困难。另外一种是统计模型，即借助于滑坡变形观测数据，建立时间或环境因素与滑坡变形之间的数学关系式，通过求解相关参数预测滑坡的变形。

滑坡的变形与很多因素密切相关，其中降雨和气温对滑坡的变形影响较为显著。大气降雨对滑坡稳定性的破坏主要表现在降雨除产生坡面径流外，还有相当部分的雨水渗入到滑坡体中，加大了滑坡体的重量，从而增加了滑坡体的下滑力。此外，降雨渗透到滑坡隔水层顶面时，将在这里聚集，使物质软化甚至泥化，降低了滑坡的摩阻力，从而形成滑面或滑带。大气降雨还使坡体中的孔隙水压力增大，从而降低了滑坡体的有效应力，最终导致滑带摩阻力降低。大气温度的变化导致滑坡裂隙的伸缩和变形，从而影响滑坡的稳定性。

考虑到大气降雨和温度会对滑坡的稳定性产生较大的影响，本文将滑坡的变形看作时间、月降雨量、气温的函数，使用泰勒级数建立卡尔曼滤波模型，并用于滑坡变形的预测预报。

1 卡尔曼滤波模型

离散线性系统的卡尔曼滤波模型的状态方程和观测方程分别为^[5-7]：

(1)

(2)

式中，X_k和L_k分别为t_k时刻的状态向量和观测向量，Φ_{k+1, k}为t_k时刻至t_k+1时刻的状态转移矩阵，B_k+1为t_k+1时刻的观测矩阵，Ω_k和Δ_k分别为t_k时刻的动态噪声和观测噪声。

卡尔曼滤波模型的随机模型为^[5-7]：

(3)

当j=k时，δ_kj=1;当j≠k时，δ_kj=0。

由状态方程、观测方程和随机模型，即可推出如下卡尔曼滤波方程^[5-7]：

(4)

式中，I为单位矩阵，且

(5)

2 基于泰勒级数的卡尔曼滤波模型

土质滑坡的变形主要受大气降雨及气温的影响。为此，可以将土质滑坡的变形看作时间、月降雨量和气温的函数，即

(6)

式中，t为时间(时刻)，j为t时刻的月降雨量，w为t时刻的气温，F_x为t时刻滑坡的变形量。

由于滑坡变形观测的时间间隔较短(一般为每月观测一次)，且变形量的变化较小，现将t_k+1时刻(对应的月降雨量为j_k+1、气温为w_k+1)的变形量x(t_k+1, j_k+1, w_k+1)在t_k时刻用泰勒级数展开，仅取泰勒级数的一次项及二次项得：

(7)

式中，令 ，则式(7)变为：

(8)

式中，v_k为t_k时刻的变形速度，a_k为t_k时刻的变形加速度，b_k为月降雨量的变化对变形的影响，c_k为月降雨量的变化的二次方对变形的影响，s_k为气温的变化对变形的影响，y_k为气温的变化的二次方对变形的影响，g_k为泰勒级数的余项，其值微小，可以看作数学期望为0的动态噪声。令

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，d_k、r_k、p_k、e_k、h_k、z_k分别为微小的扰动，也可以看作数学期望为0的动态噪声。

将式(8)~(14)写成矩阵形式，得：

(15)

式中，令，

则式(15)变为：

(16)

式(16)即为卡尔曼滤波模型的状态方程。

对于变形观测，有:

(17)

式中，l_k+1为t_k+1时刻变形量的观测值，Δ_k+1为t_k+1时刻的观测噪声。令L_k+1为l_k+1，B_k+1=[1 0 0 0 0 0 0]，则式(17)变为：

(18)

式(18)即为卡尔曼滤波模型的观测方程。

由状态方程(16)及观测方程(18)，并顾及随机模型，由卡尔曼滤波方程即可进行卡尔曼滤波。

3 算例分析

基于上述建模思路，取某滑坡(该滑坡为土质滑坡，且有多条裂隙贯穿该滑坡体)ZG118监测点2004-04~2005-12的水平位移监测资料进行计算(其中2004-04~2005-10的水平位移监测资料用于建模，2005-11及2005-12的水平位移监测资料用于与预测值进行比较)，并将计算结果与多项式回归模型(即将变形看作是时间、月降雨量和气温的二次函数建立的模型)进行比较，计算结果见表 1。

根据变形监测资料分析，水平位移变形监测的中误差(方差)取D_Δ(k)=±1 mm，另外，计算时取X (0/0)=[115.4 0 0 0 0 0 0]^T，其中，115.4为ZG118点2004-03-15的水平位移变形监测值。状态向量的初始值及动态噪声可以认为是独立不相关的，此时可取：

相关计算结果见表 1。

由表 1可以看出，当月降雨量增大及气温升高时，ZG118点变形明显增大，表明滑坡变形与月降雨量及气温具有明显的相关性。多项式回归模型残差普遍较大，都超过了3 mm，最大为-50.38 mm，最小为-3.14 mm，大部分残差超过10 mm，表明多项式回归模型的拟合误差较大; 而卡尔曼滤波模型残差普遍较小，都小于1 mm，最大只有0.99 mm，最小只有-0.02 mm，另外，残差的符号有正有负，具有随机性，表明卡尔曼滤波模型的拟合误差较小。多项式回归模型预测2005-11-15和2005-12-15 ZG118点水平位移变形值分别为431.84 mm和445.30 mm，而监测值分别为454.9 mm和463.7 mm，预测误差分别为23.06 mm和18.40 mm。卡尔曼滤波模型预测2005-11-15和2005-12-15 ZG118点水平位移变形值分别为456.20 mm和466.81 mm，预测误差分别为1.30 mm和3.11 mm，表明卡尔曼滤波模型的预测误差小于多项式回归模型。

4 结语

由于多项式回归模型将模型的参数作为定值，因此限制了多项式回归模型适应观测数据的能力，从而导致模型的残差较大，拟合效果也不理想，尤其是观测数据较多时更是如此。而卡尔曼滤波模型在卡尔曼滤波的过程中，模型参数不断发生变化，从而提高了其适应观测数据的能力，导致模型的残差较小，拟合效果也较好。

本文考虑到某滑坡的变形主要受大气降雨及气温的影响，以泰勒级数为基础，建立基于时间、月降雨量和气温的卡尔曼滤波模型，并用于滑坡变形的预测预报。实例计算表明，该模型拟合效果和预测效果良好，可用于土质滑坡变形的短期预测预报。