采空区塌陷引起的岩体滑坡对周边居民、工厂、企业造成极大威胁，因此开展针对滑坡灾害的预测预警研究具有重要的实际意义与理论意义^[1-3]。当前，边坡滑移预测的主要方法是基于边坡位移监测的时间序列数据建立相应的数学模型，以预测未来的变形情况。除最基本的时序数据外，为提高预测的精度与可靠性，有时还可能需要另外获取影响边坡稳定性的其他数据，如降雨监测数据、温湿度监测数据、水库或地下水水位数据等。这些数据往往不容易获取，且使得原始观测数据变得混沌，因此在变形预测时如果能够充分考虑观测时序数据的混沌特性并进行重构，将会对样本本身有很大的改善。数学建模的方法有很多，传统方法有离散元法、线性回归模型等。王泳嘉^[4]在国内第一次将离散元法应用于数值分析，模拟出方矿的自然崩落机制; 谈小龙等^[5]把回归模型与ARMA模型结合，建立了边坡变形预测的组合模型。近年来，现代数学、力学、计算机科学等新兴学科的兴起，又为我们提供了全新的思维方式和研究方法。吴益平等^[6]利用BP神经网络模型对滑坡变形进行周期性位移预测; 吴浩等^[7]将灰色理论和分形几何耦合相结合，并运用到矿山边坡的变形预测中。为克服BP神经网络模型和灰色理论的过学习、局部极值等问题，姜谙男^[8]运用粒子群优化支持向量机对非线性数据进行拟合，建立了基于PSO-SVM的隧洞围岩变形预测模型。

支持向量机由于在小样本短周期的预测上具有很大优势，成为近些年来的研究热点。支持向量机预测结果的好坏除和核函数及参数的选取有关外, 在很大程度上依赖于训练样本的质量^[9]。基于此，本文先使用混沌动力学对训练样本进行相空间重构，充分挖掘数据的内在规律，以提高训练样本的质量，改善最终预测的结果; 然后应用遗传算法优化支持向量机，建立基于相空间重构的GA-SVR组合预测模型，并应用到某矿山边坡位移预测中。

1 相空间重构与GA-SVR组合模型 1.1 相空间重构

边坡存在与外界物质和能量的交换，并受地形地貌、地下水和人类生产活动的影响，既有确定的一面，也有随机的一面，其演化过程可以视为一个具有混沌特征的动力系统^[10]。对于混沌系统的时间序列分析，是非线性时间序列分析的一个重要组成部分。相空间重构(phase-space reconstruction, PSR)是混沌时间序列分析的关键步骤，其理论认为混沌系统中的任意一个分量的演化都是与之相互作用的其他分量所决定的，这些相关分量的信息被隐藏在任一分量的发展过程中，从而可以从某一分量的一段时间序列中提取和恢复系统原来的规律。假设系统的原状态空间为S，重构状态空间为S′，重构状态空间和系统原空间的映射关系为f：S→S′; X(t)为系统在t时刻的状态，经过τ时间后按规律F转移到X(t+τ)，可以表示成X(t+τ)=F_τ(X(t))。同理，重构状态下的状态转移可以表示为X′(t+τ)=G_τ(X′(t))。因为S′=f(S), 则X′(t)=f(X(t)), X′(t+τ)=f(X(t+τ)), f^－1(X′(t+τ))=X(t+τ)=F_τ(X(t))=F_τf^－1(X′(t)), G_τ(X′(t))=X′(t+τ)=f(F_τ(f^-1)(X′(t)))，可得：

(1)

由此可以证明，重构后的状态蕴含了原空间的演化规律。根据Takens的嵌入理论，重构系统相空间只需要考察一个分量，通过某些固定的延时点上的观测值找到形如

(2)

的m维向量，就可以重构出一个等价的相空间。一般认为，只要重构相空间的维数足够大，就可以刻画出系统的奇异吸引子，所以通常选取嵌入维数m≥2d+1，d是动力系统的维数。时间延迟τ和嵌入维数m的选取主要有两种方法：一种认为两者互不相关，即时间延迟τ和嵌入维数m的选取是独立进行的，如自相关法、互信息法、平均位移法等; 另一种观点认为时间延迟τ和嵌入维数m的选取是互相依赖的。Kugiumtzis提出τ和m的选取应依赖于时间延迟窗口τ_w=(m－1)τ，通过平均轨道周期来估计τ_w。由于该方法计算量过大，不易实施且容易得到错误的结果，Kim等^[11]提出了C-C算法，较之时间窗口法计算量减少，计算准确度有所提升。经过国内外学者的不断改进，C-C法已经成为计算时间延迟τ和嵌入维数m的主要方法。

1.2 支持向量回归机

支持向量机(SVM)是基于统计学习理论，应用非线性基本原理，将输入映射到高维特征空间进行训练的机器学习方法。支持向量机最初用来进行分类问题的研究，但其在模式识别分类中所得到的结论可以推广到函数回归中，并形成了如今的支持向量回归机(SVR)^[12]。

设一组独立分布的训练样本和假设函数集：

回归问题的求解过程就是找到一个函数f∈F，使得该函数在训练样本x(x∈Rⁿ)上的值f(x)与样本的期望值y的误差小于或等于给定的偏差值ε。假设函数集为线性函数集:

(5)

选择权向量w和阈值b，将下列规划问题最优化：

(6)

约束为：

(7)

利用拉格朗日乘子，推导其对偶问题：

(8)

约束为：

(9)

在求得上式a_i^*、a_i的解后，可得到权向量及阈值b为:

(10)

最终可得到回归函数：

(11)

对于非线性回归问题，在没有先验知识的情况下构造一个合适的显式特征映射是十分困难的。考虑到寻找特征空间的线性规律只用到了內积运算，因此可以借鉴Mercer定理，在原输入空间使用核函数形式来等价计算特征空间的內积运算，从而达到原显式计算內积的目的。

设核函数K(x_i, x_j)，则有：

(12)

约束为：

(13)

得非线性回归函数：

(14)

式中，a_i－a_i^*不为0的部分所对应的样本被称为支持向量。

由于该模型以统计学习为基础，以结构风险最小化为目标，能够实现小样本短周期的精准预测，且较之神经网络、灰色模型等传统方法在运算效率方面更具优势，使得支持向量机在边坡预测方面更具有优越性。

1.3 遗传算法

遗传算法通过操作一群单位个体的二进制串进行选择、交叉重组和变异来实现个体的更新换代，模拟了生物进化论中的自然选择，从而在最后找到最优个体，也就是问题的最优解或满意解。

遗传算法从种群开始搜索，覆盖面广，全局搜索能力强，且只利用适应度函数值来评价个体的相对优劣程度，避免依赖梯度信息或先验知识所产生的不便。同时由于遗传算法可以并行搜索空间多个解，也降低了算法陷入局部极值的概率。将遗传算法应用到支持向量机参数寻优，避免了选参的盲目性，对提高支持向量机预测的运行效率和预测准确度有重要意义^[13]。

1.4 基于相空间重构GA-SVR组合模型的构建

基于相空间重构GA-SVR组合模型(简称PSR-GA-SVR)的构建步骤如下。首先要对原始的时间序列数据进行混沌判别，求得时序数据的李雅普诺夫指数，一般认为若李雅普诺夫指数大于0则时序数据具有混沌特性。对具有混沌特性的时序数据用延迟坐标法进行相空间重构，在相空间重构中嵌入维数m与时间延迟τ使用C-C法来确定，必要时可以利用特征量饱和法辅助判断。完成相空间重构后，时序数据由向量形式转化为矩阵形式，将数据矩阵进行标准化处理作为训练样本导入到支持向量回归机中，使用遗传算法寻参，并获得最终的数学回归模型。构建基于相空间重构的GA-SVR模型流程如图 1所示。

2 工程实例 2.1 矿山边坡概况

某矿山位于中国东南部江西省境内，是中国最大的斑岩型金属矿产地之一，总面积约40 km²。矿山所在地区雨水充沛，2010~2015年夏季降雨量多次超历史记录，其中2011年、2014年降雨造成严重的洪水、泥石流灾害。矿山某边坡位于矿区东南部，是矿区边坡安全监测的主要地区之一。该边坡共设立12个固定监测点(图 2)，每隔1个季度测量其独立坐标系下的坐标值X、Y、H。

以245-4、200-1号点为例，选取2010年第1季度至2015年第4季度竖直方向上的24期监测数据为研究对象，分别使用PSR-GA-SVR和GA-SVR进行预测对比分析，以验证相空间重构对预测结果的改善效果。原始累差数据如表 1(单位mm)所示。

2.2 PSR-GA-SVR模型的预测及对比

2014-06矿山所在地区受暴雨侵袭并引发洪水灾害，大量降雨使得地表泥土松软，地下水水位上涨，导致监测点变化波动较大。据记载，同年10~12月该地区以阴雨天气为主，边坡变化趋势不明，对边坡滑移变形预测的需求更为迫切。因此，本文以245-4号点为例，选取2010年第1季度至2014年第4季度的20期数据为模型训练样本，2015年第1季度至第4季度的4期数据作为预测检验样本，分别使用GA-SVR和PSR-GA-SVR进行预测。

1) 对训练样本进行标准化处理。

2) 将处理后的样本导入GA-SVR组合模型，以前20期数据为训练样本预测第21~24期数据，记录预测值并与实测值比较求得相对误差。

3) 计算时间序列的李雅普诺夫指数为1.20，满足混沌条件并判断嵌入维数为4，延迟时间为2。根据嵌入维数和延迟时间进行相空间重构，形成新的样本数据。

4) 将新的样本数据导入PSR-GA-SVR组合模型，以前20期数据为训练样本预测第21期数据。

5) 将第21期预测值加入到训练样本中，同时保持总训练样本数不变，依次预测至第24期，记录并与实测值比较求得相对误差。

200-1号点以同样的方法求得预测值。两点预测结果如表 2、表 3所示，对比曲线图如图 3、图 4所示。

本例的相空间重构GA-SVR组合模型比一般GA-SVR模型在预测精度方面有明显提升，离样本集较近的前两期预测值精度提升50%左右，后两期预测值精度提升30%左右。

3 结语

本文以混沌理论为基础，考虑时序数据的混沌特性，通过相空间重构尽可能地挖掘数据的内在规律，并在已有支持向量回归机的基础上建立PSR-GA-SVR模型。实例表明，基于相空间重构的GA-SVR组合模型能够明显改善短期预测精度，提高判断变化趋势的准确度，对边坡的变形监测及矿山的安全生产具有重要意义。