导航卫星自主运行需要地面预报的钟差作为先验信息^[1]，且在实时精密单点定位中，也需要钟差参与计算来实现高精度定位^[2]。目前，常用的卫星钟差预报方法主要有二次多项式模型、灰色GM(1，1)模型、ARIMA模型和神经网络模型等^[3-5]。然而，星载原子钟往往受到多种不确定因素的影响以及本身特性复杂，导致卫星钟差呈现出非线性和非平稳性变化，难以直接建立准确可靠的单一预报模型。而采用组合预报模型能在一定程度上综合多种单一模型的优点，降低预报风险，提高预报精度。王永刚等^[6]提出最优变权组合模型预测航空运输事故征候，预测的稳定性和精度都有较大提高。吴海清等^[7]建立变权组合模型来预测建筑物沉降，一定程度上提高了沉降预测的精度。任超等^[8]将最优非负变权组合模型应用于大坝变形预测，有效提高了大坝变形的预测精度。本文将最优非负变权组合模型引入卫星钟差预报，重点探讨如何采用变权的方法综合利用二次多项式、灰色模型和ARIMA模型的有效信息进行卫星钟差预报。

1 组合预报模型原理 1.1 经典权组合模型^[9]

假设卫星钟差时间序列为X_i(i=1, 2, …, n)，单一模型的预报结果为，则残差序列e_i=。令w_j为各个单一预报模型的权值，则经典权组合模型的数学表达式为：

(1)

式中，为组合预报值，N为预报的历元数，J表示单一预报模型的个数，本文中J=3，代表第j个预报模型的预报值。经典权组合模型的各个单一模型权值相加等于1，权值由方差倒数来确定，可以表示为：

(2)

式中，σ_j²代表单一模型预报残差序列的方差。

1.2 最优非负变权组合模型^[6-8]

设卫星钟差时间序列为Y_t，用各单一模型分别对其进行拟合预报。假设Y_it为第i种单一模型在t时刻的卫星钟差拟合值，w_it为第i种单一模型对应t历元的加权系数，且w_it满足以下条件：

(3)

设e_it、e_t分别为第i个单一模型和组合模型对应第t历元的残差值，有：

(4)

式中，是组合模型对应第t历元的残差预测值。误差平方和表示为：

(5)

令

(6)

则式(5)变为：

(7)

设Q为最优非负变权组合模型的误差平方和，通过数学规划的方法求解最小值，则表示为：

(8)

(9)

2 算例分析

采用IGS提供的2014-04-02~2014-04-03的事后精密GPS卫星钟差数据作为数据源，随机选取不同类型的6颗卫星：G03(Block Ⅱ A铯钟)、G04(Block Ⅱ A铷钟)、G20(Block Ⅱ R铷钟)、G29(Block Ⅱ R-M铷钟)、G27(Block Ⅱ F铷钟)、G24(Block Ⅱ F铯钟)。通过5种方案进行建模分析：方案1，二次多项式预报模型；方案2，灰色GM(1，1)预报模型；方案3，ARIMA预报模型；方案4，基于二次多项式、灰色GM(1，1)、ARIMA等3种单一模型的经典权组合模型；方案5，基于二次多项式、灰色GM(1，1)、ARIMA等3种单一模型的最优非负变权组合模型。以原始钟差数据前288历元(2014-04-02当天)为训练样本，后72历元(步长为6 h)为测试样本，采用3种单一模型分别进行预报，利用卫星钟差预报的残差最大值、最小值、平均值和RMS值进行精度评定。为便于比较，给出3种单一模型和组合模型的预报结果，如图 1、表 1(单位ns)所示。

由图 1可以看出，3种单一模型和两种组合模型都能有效地进行卫星钟差预报，但各模型的预报误差都随时间的推移而明显增加。在预报步长相等的情况下，3个单一模型对不同类型的钟差预报精度不同，这是因为模型自身具有差异性、原子钟性能不同和稳定性有差异。

结合表 1可见，建立的组合模型都能有效地进行卫星钟差预报，但有时预报精度并不是最高的，甚至会低于单一模型的精度。这是因为，在实际应用中，若钟差的预报结果完全取决于一种模型，当模型的预报结果出现较大误差时，导航定位的精度将会大打折扣。组合模型的目的是在单一预报模型可靠的基础上，继承各模型的优点，减弱单一模型引起的误差影响，提高预报的可靠性。这就要求组合模型的预报残差RMS值不能大于单一预报模型的最大RMS值。

1) 经典权组合模型建模简单，容易理解，赋予每个单一模型的权值是基于钟差残差值序列的方差倒数计算得到的。要得到较好的预报结果，单一模型的残差值方差不能过大。但是通过以上实验可以看到，单一模型预报结果是不均匀的，经典权组合模型的预报精度介于最优和最差模型精度之间。整个经典权组合模型的预报残差序列精度相对均匀，不会出现劣组合预报结果。

2) 从预测残差曲线的凹凸性和单调性可以看出，每一种单一模型反映的钟差信息均不一样，预报残差出现不同的形态变化，各残差之间形成一定的互补，使得预报残差值之间具有一定的相关性。但由于星载原子钟受到多种内部和外界因素的影响，卫星钟差呈现非平稳和非线性变化，使得单一模型对各历元钟差的预报精度不均匀。最优非负变权组合模型采用目标规划的方法，求解单一模型残差值在每个历元处的最优非负变权系数，以达到单一预报模型残差平方和最小的目的。最优非负变权组合模型根据已有历史数据的规律进行最优化理论求解，单一模型中每一个残差值的大小和正负号都会成为权值的影响因子，因此最优非负变权组合在理论上应该优于经典权组合。结合图 1和表 1也可看出，最优非负变权组合模型预报的残差最大值、最小值、平均值和RMS值均小于经典权组合模型，验证了最优非负变权组合模型在实际钟差预报中的精度高于经典权组合模型。由于最优非负变权组合模型是由二次多项式、灰色和ARIMA等3种单一模型构建的，在进行钟差预报时，为了追求残差平方和最小，会过分依赖于拟合过程，例如图 1(a)中第55历元处，二次多项式和灰色模型预报的残差值均较大，而ARIMA模型的残差值较小，最优非负变权组合模型赋予前两者权值会很小(接近0)，赋予后者则很大(接近1)，会导致预报结果出现在边界上。因此，在实际的卫星钟差预报中，选择能够形成卫星钟差信息互补的单一模型进行组合，在一定程度上能够避免这种边界效应的发生。

3 结语

考虑到单一模型预报各历元钟差的残差精度不稳定，本文将最优非负变权组合模型引入卫星钟差的组合预报中。该模型能够根据各模型预报效果的优劣赋予各历元不同的权值，对各历元的预报残差值起到较好的调节作用，在一定程度上综合了多种单一模型的优点，可提高模型在不同历元处预报结果的可靠性。