2017, Vol. 37
2. 重庆大学土木工程学院，重庆市沙正街174号，400044
球标靶特征提取主要是获取球心坐标和半径，其中最常用的方法是Shakaji[1]提出的最小二乘方法(LS)，其利用球面方程拟合获取球心的位置, 但没有考虑观测方程的系数误差。鲁铁定等[2]提出基于整体最小二乘(TLS)的球标靶定位方法，在一定程度上提高了定位精度，但没有考虑入射角角度对球面点云点位精度的影响。陈玮娴等[3]在文献[2]的基础上，考虑入射角角度变化对点位精度的影响，并利用加权整体最小二乘(WTLS)方法，提高了球标靶定位的准确度。官云兰等[4]提出了稳健的地面扫描球标靶定位方法，具有一定的稳健性，但定位精度较加权整体最小二乘低。王乐洋等[5]考虑权因数，提出了利用稳健加权整体最小二乘(RWTLS)方法，定位精度有所提高，但是相对加权整体最小二乘方法改进较小。
本文基于球截面圆心法线必过球心的性质，构造球心到球截面圆心法线距离平方和的目标函数，以此目标函数最小为条件, 对球标靶特征提取方法进行研究，并根据入射角对点位精度的影响对截面圆定义权重，设定截面圆的约束条件，提出基于球体几何关系的球标靶特征提取算法(geometrical relationship-weighed least square，GR-WLS)。
1 基于球体几何关系的球标靶特征提取算法球面上任意3点可构建一个平面，该平面与球体相交，相交曲线为圆，即为截面圆，该截面圆圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面[6]。
1.1 球体截面圆的几何关系设球面上任意3点Pt1、Pt2、Pt3(图 1)，坐标分别为(x1, y1, z1)、(x2, y2, z2)、(x3, y3, z3), 过该3点构成一个截面圆，其圆心坐标为(acircle, bcircle, ccircle)，半径为rcircle，根据文献[7]计算其圆心坐标和过圆心的截面圆方程。
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图 1 截面圆几何关系 Fig. 1 Geometrical relationship of section circle |
激光反射强度与入射角度和扫描距离有关，入射角度越小，距离越近，扫描点的点位精度越高，参与拟合的权重也应越大[8-9]。设αi为入射角，si为扫描距离，则：
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(2) |
式中，pi为扫描点的权重，pcirclej为截面圆权重，pi1、pi2、pi3为任意3个构建截面圆的扫描点权重。
1.3 截面圆的约束条件已知扫描点云的扫描间隔Δ，扫描球标靶的半径为r，用最小二乘方法求得球标靶球心坐标(a, b, c)，约束条件如下[10]：
1) 截面三角形为锐角三角形；
2) 截面三角形的边长大于3Δ；
3) 截面圆的半径小于球体半径r；
4) 点(a, b, c)到过截面圆圆心法线的距离小于3Δ。
1.4 方法步骤1) 球标靶扫描点云Cloud，数量n，由LS计算球心坐标(a0, b0, c0)和半径r0作为初始值。设置构建的截面圆个数count(根据模拟试验，选取点云数量1/3最为合适)，定义变量j=1。
2) 从点云Cloud中任选3个不同点构建截面圆，判断该截面圆是否符合截面圆约束条件。若是则按文献[7]计算截面圆心法线方程，存入circlej，按式(3)、(4)计算截面圆的权Pciclej；否则，重新选择3点。
3) j加1，判断j是否大于count，若是则执行下一步，否则返回第2)步。
4) 以(a0, b0, c0)为正方体几何中心，以边长3Δ构建正方体，确定球心待选区域D。以0.01 mm为最小刻度，从X、Y、Z三个方向划分，获取所有节点Q, k为节点个数，定义变量i=1。
5) 选择Q中第i个节点poii，计算节点poii与步骤2)计算的所有截面圆心法线的有效距离之和存入dcircle1(节点到截面圆心法线的距离与截面圆权倒数之积为有效距离)。
6) 令i=i+1，判断i是否大于k。若是则输出dcircl1值最小的对应待选点，即为需要求取的圆心坐标(a, b, c)，否则返回第5)步。
7) 以(a, b, c)为球心，计算所有扫描点到该点的距离，均值为半径r。拟合球面，计算扫描点到该球面的距离disti, 利用式(4)计算球面的拟合精度σCloud，检验球面对点云的拟合效果[6]：
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(3) |
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(4) |
为了验证本文算法(GR-WLS)的准确性和稳健性, 2016-09-27在重庆市地质矿产研究院用Leica ScanStation C10扫描仪对球形标靶进行扫描。具体实验步骤如下：
1) 设置扫描间隔为5 mm, 对半径19.8 mm的乒乓球、半径51.4 mm和71.7 mm的地球仪分别进行扫描，结果如图 2(a)、2(b)、2(c)。
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图 2 4种标靶扫描点云 Fig. 2 Point cloud of four sphere targets |
2) 采用Leica Cyclone软件计算。由于点云拟合精度很高，可以作为真值(表 1)。再利用LS、TLS、WTLS、RWTLS和GR-WLS 5种方法计算球标靶的球心坐标和半径，利用式(4)求得球面点云的拟合精度，与表 1中计算的真值作比较(表 2)。
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表 1 Leica Cyclone软件计算结果 Tab. 1 Calculation results of Leica Cyclone |
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表 2 5种方法计算结果 Tab. 2 Calculation results of five methods |
3) 在乒乓球扫描点云中人为地使10个扫描点成为异常点[11](图 2(d))，采用Leica Cyclone软件计算，见表 1。再利用LS、TLS、WTLS、RWTLS和GR-WLS 5种方法计算球标靶的球心坐标和半径，利用式(4)求得球面点云的拟合精度，与表 1中计算的真值作比较(表 2)。
1) 由两个地球仪标靶和添加粗差后的乒乓球标靶计算结果可见，GR-WLS的拟合精度最优，其计算得到的球心坐标与半径更接近于Cyclone软件计算结果。而在没有添加粗差的乒乓球计算结果中，GR-WLS次于WTLS和RWTLS。因为两个地球仪与支架的连接处有较大的卡口，在扫描时引入粗差，而没有添加粗差的乒乓球可以认为不含粗差点。GR-WLS方法能有效地利用截面圆约束剔除较多的粗差点，具有更好的抗粗差能力。对于不含粗差的点云，其处理效果弱于WTLS和RWTLS。
2) 从有粗差的地球仪和乒乓球计算结果可以看出，WTLS方法的拟合精度、圆心坐标和半径与真值相差较大，粗差对WTLS影响较大，其原因是以先验信息确定的协因数阵与实际的协因数阵有偏差，导致解算的可信度降低。
3) 在4种标靶扫描数据的计算结果中，TLS和LS的计算结果都较差，因为TLS和LS没有考虑入射角角度对点位精度的影响。
3 结语实验结果表明，本文方法具有一定的准确性、稳健性和抗粗差能力，在球标靶的特征提取应用中具有重要的意义；从几何关系的角度分析，更能直观清晰地了解球标靶特征提取的原理。
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2. School of Civil Engineering, Chongqing University, 174 Shazheng Street, Chongqing 400044, China