系统误差与粗差和偶然误差一样，一直是测量平差所研究的问题之一，如何减弱和消除系统误差的影响是提高成果精度的重要内容。在实际应用中，需要对系统误差进行补偿、量化甚至消除，或者对观测值进行加减常数、乘以系数等方法进行处理，从而使观测值中仅含有偶然误差^[1]。随着大地测量的发展逐步面向太空，对测量精度的要求不断提高，对平差结果的精度要求也越来越高，而常规方法并不能满足。关于如何处理系统误差，周江文^[2]从“部分延续”模式出发，对系统误差取用了相应的权阵，将问题转化为常规处理；陶本藻等^[3-4]把系统误差纳入平差模型的模型误差中，把系统误差当作参数求解，从整体上减弱和消除其影响，保证参数本应具有的精度，并通过假设检验来验证附加系统参数模型是否正确及附加系统参数的引入是否合理；文献[5]研究了系统误差对参数估值的影响。考虑到仪器、观测环境等原因，观测数据不可避免地含有误差，由观测值组成的系数矩阵亦带有随机误差，因此仅考虑到观测向量含有随机误差的附加系统参数的平差方法的解算结果并非是最优解。

本文从传统的附加系统参数模型^[6]出发，针对该平差模型进行重构，研究尺度比参数的附加系统参数的Partial EIV模型，通过两个算例对本文方法与传统方法进行分析和比较。

1 水准测量中尺度比参数的附加系统参数的Partial EIV模型

Partial EIV模型为^[7]：

(1)

随机模型为：

(2)

式中，⊗为Kronecker积，为观测向量，ε_y为观测向量y的随机误差，为待估的未知参数，为系数矩阵，，a′为A′中不同随机元素组成的t×1列向量，a'为其真值，ε′_a为误差向量，h′和B′分别为由vec(A′)构造的nm×1列向量和nm×t固定矩阵，I_n表示n×n单位矩阵，表示先验单位权方差，。

相应地，水准测量中尺度比参数的附加系统参数的Partial EIV模型为：

(3)

式中，Y为由观测高差组成的n×u系数矩阵，S为u×1附加系统参数，即尺度比参数。

在水准测量中，A′是固定的常数矩阵，而系数矩阵Y与观测值有关，故令A= [A′    Y]，X = [β    S]^T。对式(3)进行变形，转化为附加系统参数的Partial EIV模型：

(4)

随机模型为：

(5)

式中，表示待估的未知参数，A=Ivec(h + Ba)，为系数矩阵，e= [ε_y     ε_a]^T，a为系数矩阵A中不同随机元素组成的t×1列向量，a为其真值，ε_a为误差向量，h和B分别为由vec(A)构造的n(m+u)×1列向量和n(m+u)×t固定矩阵，表示先验单位权方差，。

将式(4)变形转化为^[8]：

(6)

式中，。其中，。

令Δ的估值为V，a的估值为â，则式(6)的误差方程为：

(7)

通过文献[8]的公式推导得：

(8)

(9)

式中，，Ê_A为由â重构成改正后的系数矩阵Â的误差向量矩阵。

验后单位权中误差公式及模型参数的近似精度评定公式为^[8]：

(10)

(11)

算法的迭代流程如下。

1) 初值：。

2) 由构造新的观测向量和系数矩阵：

3) 将步骤2)求得的L_i、C_i代入公式。

4) 将â_i+1重构改正后的系数矩阵Â_i+1, 得。

5) 计算。

6)由解算新的参数估值。

7) 重复步骤2)~6)，直至满足和时迭代结束。

2 附加系统参数的统计检验

由于加入的附加系统参数改变了原有的模型，这导致了引入该参数是否合理的问题。若需引入但不加以选择，可能导致参数过多，从而造成法方程病态。为避免此类问题，应对附加系统参数模型和参数的正确性进行检验^[9]。

2.1 模型合理性检验

平差定权时的先验单位权方差为σ₀²，引入附加参数后求得方差估计值为，多余观测数r=n-(m+u)，检验的原假设H₀与备选假设H₁分别为：

(12)

采用χ²检验法，构造统计量：

(13)

对于给定置信水平α，自由度为r，查χ²分布表，若统计量满足，则接受原假设H₀，表明引入的附加参数总体合理；若统计量满足，则拒绝原假设H₀，接受备选假设H₁，可判断出引入的系统参数不合理。

2.2 单个附加系统参数的检验

采用t检验法，检验的原假设H₀和备选假设H₁分别为：

(14)

构造t分布统计量：

(15)

在H₀成立下，则有t统计量：

(16)

在显著水平α下，若统计量t>t_α/2，则拒绝H₀，接受H₁，表明引入附加系统参数Ŝ_i是必要的，即Ŝ_i是显著的附加系统参数。

3 算例与分析

在算例中，运用本文的方法(方法1)和文献[6]中的方法，即基于最小二乘的附加系统参数平差方法(方法2)分别进行计算。

3.1 算例1

该算例来自于文献[9]。如图 1所示，A、B为已知水准点，H_A=1.000 m，H_B=10.000 m，观测高差h₁=3.586 m，h₂=0.529 m，h₃=－4.110 m，h₄=5.422 m，h₅=－4.901 m，求高程平差值及可能存在的尺度改正Ŝ。

两种方法求得的参数估值如表 1所示，由方法1计算得到的系数矩阵残差的值分别如式(17)和(18)所示，并令，下同。

(17)

(18)

由式(16)构造t分布统计量：

选定显著水平α=0.05，以自由度为2查t分布表得t_0.0025=4.31，因t=2.786＜4.31，故接受原假设H₀，拒绝备选假设H₁，表明引入的附加系统参数不显著。

3.2 算例2

模拟水准测量网如图 1所示，A、B为已知水准点，P₁、P₂为待测点，各高差观测值真值及路线长度如下：h₁=0.296 m，S₁=1 km；h₂=－0.099 m，S₂=2 km；h₃=－0.197 m，S₃=2 km；h₄=0.197 m，S₄=2 km；h₅=－0.296 m，S₅=1 km。模拟真值H_P1=10.300 m，H_P2=10.200 m。设先验单位权方差，利用路线长度确定权阵，再通过Matlab函数中的mvnrnd函数给各高差观测值加入误差。已知H_A=10.000 m，H_B=10.000 m，且尺度比参数模拟值S=0.015 m，计算得到的参数估值如表 2所示，由方法1计算得到的系数矩阵残差Ê_A及Q_A的值分别如式(19)和(20)所示。

(19)

(20)

由式(13)构造统计量：

选定显著水平α=0.05，以自由度为2查χ²分布表得χ_(0.025)²=7.378, χ_(0.975)²=0.051，因χ₍₂₎²=1.7434满足接受原假设H₀的条件，表明引入的附加参数总体合理。

由式(16)构造t分布统计量：

选定显著水平α=0.05，以自由度为2查t分布表得t_0.0025=4.31，因为t=4.933 0>4.31，故拒绝原假设H₀，接受H₁，认为引入的附加系统参数显著。

3.3 分析

从实际算例和模拟算例看出，本文方法与传统方法计算得到的参数结果基本一致，即水准测量中尺度比参数的附加系统参数的Partial EIV模型，与传统的附加系统参数的平差法效果基本一致。

从式(17)和(19)看出，系数矩阵残差的值是一个接近零的数，可以忽略不计^[10]。本文中，水准测量精确到mm级的单位即可满足精度要求，但系数矩阵残差数值的单位已经超过mm级，说明系数矩阵残差对系数矩阵的影响可忽略不计，这是基于Partial EIV模型的水准测量中尺度比参数的附加系统参数的方法对系数矩阵残差改正效果并不明显的原因。此外，利用顾及系数矩阵误差的总体最小二乘方法得到的计算结果与传统的最小二乘方法基本一致^[11-13]，两者的区别在于系数矩阵是否含有随机误差。本文的两个算例中，Ê_A≈ 0及，当系数矩阵A的残差为时，，公式(9)就化为，则本文方法退化为传统方法，计算结果基本一致。但本文方法是对传统方法的一个重要补充和完善，具有一定的理论意义。

4 结语

本文给出了水准测量中尺度比参数的附加系统参数的Partial EIV模型，相比于传统的基于最小二乘的附加系统参数的平差方法，本文方法更为严密。两种方法计算的参数结果对比分析可知，当系数矩阵的残差约等于零(即Ê_A≈ 0)时，本文方法就退化为传统方法。