Brune^[1]基于对中小地震震源圆盘模式假定，在频率域提出震源谱的ω^-2模型，之后这一模型常被用于通过震源谱提取震源参数。Shi等^[2]对美国东北区域板内地震使用区域地震波记录的S波位移谱进行拐角频率和应力降的研究表明，经仪器、路径衰减校正后的震源谱与理论ω^-2模型震源谱进行拟合，所得拐角频率与经验格林函数解非常接近。Moya等^[3]采用Brune的ω^-2模型^[1]来约束震源位移谱，通过地震波谱记录依次计算几何衰减系数、非弹性衰减Q值、场地响应及震源谱参数，在数据处理时通过遗传算法提取震源谱中的零频水平及拐角频率，较好地排除人为读取误差，同时采用由多台平均的震源谱，消除震源的方向性效应，其误差较单台计算结果小。本文使用小震震源参数计算软件，采用Brune的ω^-2模型，使用多台记录平均震源谱，在频率域中通过遗传算法提取零频水平及拐角频率。通过研究宁夏地区各种地震震源参数的时空变化特征，了解地震孕育、发生的应力背景，对于该地区地震趋势的估计、未来大震的预测以及地震危险性的评估都具有实际意义。

1 原理与方法

采用Brune的ω^-2震源模型^[1]，理论震源位移谱表示为：

(1)

式中，A₀(f)为理论震源谱；Ω₀表示震源谱低频极限值，反映地震的大小；f₀表示拐角频率，反映震源尺度的大小，地震越小，f₀越大，震源谱中包含的高频成分越多。在频率域f中，台站记录的地震观测位移谱可以表述为：

(2)

式中，O(f)为地震观测谱，S(f)为地震震源谱，P(f)是路径效应，G(f)是场地响应，I(f)是仪器响应。用遗传算法搜索与每个地震的平均震源谱吻合最好的ω^-2理论震源谱，即得到震源谱参数Ω₀及拐角频率f₀，根据Brune圆盘震源模型理论公式计算各个震源参数。

2 资料

选用宁夏数字地震台网14个台站记录的地震波资料进行震源参数的联合研究，每个台站均安装FBS-3或JDF-2型三分向宽频带速度地震仪、EDAS-C24或CMG-DM24型数据采集器，仪器对频率响应的平坦段在40 Hz~60 s，信号采样率为100 Hz。系统动态范围优于120 dB，台站台基较为复杂，基本情况见表 1。选用的资料为2008~2014年发生于宁夏区域(104.28°~107.65°E，35.23°~39.38°N)、地震震级M_L2.0~4.7、记录清晰且信噪比较高的210次地震事件，地震震中、记录台站及射线分布见图 1(直线表示地震射线路径)。

3 震源谱及震源参数计算 3.1 震源谱参数的计算

取东西向、南北向均具有较高信噪比的S波记录数据计算傅氏谱, 要求所取波段包含90%以上S波能量。为保证地震波谱数据的稳定性，在计算傅氏谱时采用Chael^[4]提出的延时窗技术。该技术先将S波段分割为n个小数据段，计算傅氏谱之后以1/2数据段前移，前次计算数据段的一半被重叠，进行第二次计算。依次类推，获得整个数据段分割、重叠的n段谱数据。用式(3)把n小段数据归算为全部S波段波谱数据：

(3)

式中，O(f)为观测位移谱；n为数据段总数，n取256；T为整段S波窗长；t为数据分段窗长；f为频率。使用数据为速度记录，进行谱计算时使用系数转换为位移谱。使用式(3)分别计算东西、南北分量震源谱，并根据式(4)合成最终的震源观测谱^[5]：

(4)

式中，O_EW(f)、O_NS(f)分别为东西向、南北向观测谱，O_ob(f)为单个台站对一个地震记录的观测谱。计算S波震源谱的同时计算噪声谱，舍弃信噪比低的地震波记录。对同一地震使用多台记录的振幅谱均值作为有效振幅谱(图 2)。本文使用体波成分，几何衰减使用γ^-1校正。研究表明，S波非弹性、非均匀性衰减与其本身的尾波衰减相一致^[6-7]，本文采用作者前期对台站记录的地震波资料进行场地响应及尾波衰减获得的参数进行校正(注：本人获得的该参数还未曾发表)。

采用遗传算法，确定式(5)为目标函数^[8]。仪器性能f的搜索范围限定在1~18 Hz之间，使目标函数最小，获得震源谱参数Ω₀和拐角频率f₀：

(5)

式中，m是频率点数，ε是目标值，O_ob为同一地震的波谱转化为震源位移谱后的多台平均值，O_th为根据ω²模型计算的震源谱，k为频率点序号。如图 2所示，以2014-02-28 02:52:59发生的M_L4.4地震为例，计算单台位移谱、多台站位移谱平均值，并拟合得到理论震源谱。

3.2 震源参数的计算

根据Brune圆盘震源模型^[1]，由震源谱低频极限值Ω₀及拐角频率f₀，可分别计算地震矩M₀、震源半径r、应力降σ及视应力σ_app：

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，ρ表示地壳介质密度，取为2.8×10³ kg/m³；β表示S波速度，取为3.5 km/s；R为辐射方向性因子，对于S波取其在全震源球上的平均值；F为S_H波自由表面反射系数，取为2；μ表示介质剪切模量。

3.3 计算结果及分析

根据宁夏区域2008~2014年发生的210次M_L2.0~4.9地震事件，震源参数的计算结果如下：标量地震矩范围为10¹¹~10¹⁵ N ·m，震源破裂半径为60~766 m，地震应力降范围为0.01~7.63 MPa，地震视应力范围为0.01~3.11 MPa。各震源参数之间表现出一定的相关关系，称为定标关系。

3.3.1 里氏震级、地震矩及矩震级的定标关系

震级是用来衡量地震相对大小的一个量，用最小二乘法拟合里氏震级M_L与矩震级M_W的关系为：

(10)

地震矩是对断层滑动引起的地震强度的直接测量，反映震源处破裂的大小。作为另外一个描述地震绝对大小的力学量，地震矩的对数与震级有很好的线性关系，统计关系式为：

(11)

(12)

(13)

结合式(10)和(11)，得到地震矩与矩震级的关系式(12)，与Kanamori^[9]给出的地震矩与地震矩震级之间的关系(式(13))相近。

3.3.2 地震矩与破裂半径、拐角频率的定标关系

地震矩越大，震源尺度越大。利用最小二法乘拟合地震矩与破裂半径半对数关系，其结果为：

(14)

拐角频率与破裂半径成反比关系：

(15)

统计出地震矩与拐角频率存在一定的关系，地震矩与拐角频率的定标关系为地震矩越大，拐角频率越小，其关系式为：

(16)

3.3.3 地震应力降及视应力

应力降表征地震瞬间断层错动时错位面上的应力变化，通过分析研究地震应力降可以了解地震过程中构造应力释放水平，从而间接地认识地震发生地区构造场的背景应力。本文获得的地震应力降均值约为0.38 MPa，地震视应力均值约为0.15 MPa。低应力降和低视应力说明，宁夏小震属于低应力背景下的地震活动，地震震源脉冲低而宽，相应的高频成分少，拐角频率小。

从地震应力降和视应力分别与震源半径、拐角频率及地震矩的关系看，应力降和视应力对震源半径及拐角频率均无明显的依赖关系，二者却与地震矩具有较显著的线性正相关关系，即地震矩越大，应力降与视应力越大。拟合得到的定标关系式分别为：

(17)

(18)

3.3.4 震源参数空间分布特征

将210次地震的震源参数按照网格大小为400 m×400 m进行网格化，震源参数空间分布如图 3所示。宁夏区域地震矩范围为10¹¹~10¹⁵ N ·m，大部分地区地震矩范围在0~0.65×10¹⁴ N ·m之间，在北部区域数值较大，与该地区多次发生较大震级的地震有关，而南部较小。研究区域应力降范围为0.01~7.63 MPa，大部分区域应力降在0.2~0.6 MPa范围内变化，最大区域在宁夏北部，其附近应力降均高于均值。在空间和大小上，应力降和地震矩具有正相关的关系。拐角频率与破裂半径空间分布见图 4，震源区地震的拐角频率范围为1.6~22.2 Hz，呈现出东低西高的特点；破裂半径范围为60~766 m，拐角频率与破裂半径在空间上呈现负相关的关系，这与一致。

4 结语

本文计算了宁夏区域210个M_L2.0~4.9地震的震源参数，研究了各种参数间的定标关系，得到以下结论：

1) 宁夏区域近震震级、地震矩、破裂半径、拐角频率等可以拟合为对数或半对数线性关系；地震应力降、视应力与震源半径没有明显的依赖关系，但与地震矩之间有良好的正相关关系。

2) 师海阔等^[10]使用2003~2007年发生在宁夏及邻区的186个M_L1.7~4.4地震波资料进行震源参数研究，其定标关系与本研究基本一致。这说明在同一区域不同时间尺度上、不同震级范围的地震震源参数没有发生变化。地震矩、震源破裂半径及地震应力降与其他地区获得的地震标定律结果相近(表 2)。

3) 视应力的变化反映震源区应力积累和释放的水平，可用于判定区域地震趋势。本文求得的视应力为0.01~3.11 MPa，均值为1.54×10⁵ Pa，与内蒙古中西部的2.9×10⁵ Pa^[11]、浙江珊溪水库地区的3.7×10⁵ Pa^[12]及云南地区的2.5×10⁵ Pa^[13]相比较，本研究区属于低应力释放地区。

4) 在空间分布方面，地震矩和应力降北高南低，两者在大小和空间上的关系一致；拐角频率西高东低，而破裂半径是东高西低，两者在大小和空间上呈负相关的关系。