中国地震局地震研究所研制的井下地震计是一种具有甚宽频带、大动态范围、高灵敏度的反馈地震计，其观测频带为50 Hz~120 s。井下地震计由3个独立分向传感器(1个垂直向、2个水平向)组成，在50 Hz~120 s观测频带内对等速度输入响应平坦^[1]。其采用力平衡反馈系统，传递函数稳定。仪器自身噪声低，动态范围优于140 dB。仪器低频端的扩展能力由反馈系统的相关参数决定。因此，研究其低频端扩展方法，能有效指导反馈地震计的设计和调试。本文基于反馈模型中低频端频率特性的二阶高通滤波器传递函数，揭示其低频截止频率扩展的办法, 并通过井下反馈地震计进行验证。

1 反馈地震计理论模型

井下反馈地震计原理见图 1^[2]，其由电容位移传感器输出位移信号。系统由机械摆、位移换能器、放大器、反馈电路组成，其中反馈电路如图 2所示^[2]。对于一般的悬锤式惯性系统，当受地动加速度ü激励时，质量块m的运动方程为^[2]：

(1)

其传递函数为：

(2)

其中，式中，z为质量块相对于地面的位移，d为摩擦常系数，k为弹簧刚度，D₀和ω₀分别为机械系统阻尼系数和固有角频率，S为复频率，Z、Ü为z、ü的拉氏变换。

T₁(S)为位移换能器的传递函数，表示位移换能器对位移的响应，即T₁(S)=K，单位为V/m。T₂(S)是由电阻R_τ和电容C_τ组成的积分器，其传递函数为：

(3)

可推导出BB(broadband)对地动速度响应的传递函数为^[3]：

(4)

式中，E为反馈线圈的转换常数，R_L为线圈的阻值。E由线圈长度L、线圈所在的磁场强度B及惯性摆的质量m决定：

(5)

2 低频端扩展方法探讨

为探究反馈地震计低频端扩展的能力，应将系统BB输出的传递函数分解出低频端频率特性的二阶高通滤波器传递函数，从而揭示低频截止频率扩展的限制与解决办法。

令可将式(4)分母分解成两个S的2次项：

(6)

对比式(4)和式(6)，S⁴的系数和常数项均一样，因此只考虑分母S³、S²、S¹系数。

1) S³系数：

2) S²系数：

3) S¹系数：

令由于两个未知数有3个方程，因此式(6)只可能是式(4)的近似公式。选取S³和S¹系数求解，得：

(7)

将仪器的机械自振频率ω₀分为ω₀≫ω_L、ω₀≪ω_L和ω₀≈ω_L三种情况。针对大家一直探索的ω₀≫ω_L情况，当ω_H≫ω₀≫ω_L时，因为只讨论低频端的扩展方法，故可将式(7)的a、b化简为：

(8)

这和文献[3]基本一致。于是有：

(9)

低频端阻尼系数取D_L=0.707，R₁≥0，由式(9)可得：

(10)

如果R_L≪R₁，R_L≪R₂，则R_L′可以近似为线圈电阻R_L。由反馈电容C、电动常数E及闭环灵敏度S_v(差分输出)的关系及式(5)得：

(11)

反馈线圈电阻R_L与线圈长度L、导线半径r及电阻率ρ的关系为：

(12)

将式(11)、式(12)代入式(10)，可得：

(13)

由式(10)、式(13)可知，向低频端扩展的方法如下：

1) 降低机械摆的固有角频率ω₀。此方法能够以2次方的关系扩展低频端。如果固有频率为2 Hz的机械摆能够扩展到30 s，则固有频率为1 Hz的机械摆就能够扩展到120 s。同时，根据布朗噪声计算公式(14)^[4]，布朗噪声能够降低10log₁₀2=3 dB。但是，在实际制作地震计(特别是垂直向地震计)时，很难将机械摆固有频率调到较低。

(14)

式中，Q为摆体的品质因子，m为摆体质量^[4]。

2) 增加摆的质量m。根据式(5)，增加摆的质量实际是降低电动常数。如要保证灵敏度不变，则C需要增加。根据式(14)，布朗噪声也会降低。但该方法会增加仪器的体积，与井下地震计应尽量减少尺寸的要求相矛盾。

3) 将反馈线圈的电阻R_L增大，即在反馈线圈上串联电阻，也能有效扩展其低频端。根据式(6)，高频端阻尼系数 如果只单纯串联一个电阻，会导致高频端阻尼系数D_H减小，仪器响应变得很大，这对系统不是很有利。

4) 降低地震计的速度灵敏度S_v。此方法用在低灵敏度的仪器中非常有效，同时制作低灵敏度的地震计比高灵敏度地震计更加容易。在采取其他方法仍不能达到需要的低频端截止频率时，可以降低一点仪器灵敏度来实现低频端的截止频率。

5) 减少反馈线圈的线径r、使用高电阻率的材料及使用更弱的磁场等，也可有效扩展反馈地震计低频端ω_L。

3 实验与分析

为验证上述反馈模型低频端扩展方法，我们使用无定向片簧悬挂的垂直向仪器(具有单摆结构且机械固有周期为0.57 s的水平向仪器)对各方法进行验证。

由可知，通过增加位移灵敏度K，将高频端ω_H从144.8π调到约200π，即将闭环周期从22 s扩展到43 s左右。

在验证灵敏度对低频端的影响时，其他参数应保持不变。将原来的C由12.04 μF变为22.34 μF，即灵敏度从2 000 Vm/s降低到1 078 Vm/s。结果显示，低频端周期从22 s扩展到42 s左右。由此验证，低灵敏度地震仪比高灵敏度地震仪更易向低频端扩展。在需要记录更强信息的地震仪时，可使用此方法扩展低频端。

在反馈线圈上串联130 Ω电阻，使其从117 Ω增加到247 Ω，以验证反馈线圈电阻R_L的影响。结果显示，仪器的闭环周期从22 s扩展到45 s左右。但是，由于R_L增大1倍，根据式(6)，阻尼会减小1/2。通过测试高频端的幅频特性显示，其高频端输出确实放大不少。

验证反馈线圈线径对反馈地震计低频端的影响时，将反馈线圈的半径从0.05 mm减小到0.025 mm，线长不变，线圈电阻则为原来的4倍。ω_H保持不变，位移灵敏度K从318 000调整到1 570 000。此时，地震计低频端周期从22 s增加为105 s，高频端则由于R_L的增加也增加得很快。为了压制高频端的响应，可以在输出的前一级加上低通滤波器。

当然，对于负反馈地震计整体性能来说，高频端同样重要。将代入式(10)，得：

(15)

可见，与低频和高频同时有关的参数是位移灵敏度K。在机械固有自振角频率ω₀和系统速度灵敏度S_v确定的情况下，增加K，可同时扩展系统高低频段。但由于高频段受到系统寄生共振频率的影响，在增加K的同时，需要保证ω_H变化不能太大。

4 结语

1) 将机械固有自振角频率尽可能调低，可以有效扩展反馈地震计低频端的自振角频率。

2) 增加惯性摆的质量，可以有效扩展反馈地震计低频端的自振角频率，但同时会增加摆的尺寸。

3) 通过增大反馈电容C，降低反馈地震计速度灵敏度S_v，也能扩展其低频端自振角频率。高灵敏度的地震仪比低灵敏度的地震仪更难向低频端扩展。

4) 在保证速度灵敏度S_v不变的情况下，可以增加反馈线圈R_L的阻值。通过减小线径r、选用更高电阻率的线圈材料以及使用更弱的磁场等方法，可以扩展反馈地震计低频端的自振角频率。但是，在R_L上串联电阻会导致高频端阻尼系数减小，致使高频端不稳定。

由此可见，机械固有自振角频率和系统寄生共振频率是扩展低频端的关键因素。在不得已的情况下，也可以通过降低灵敏度来扩展低频端宽度。