随机误差是测量过程中必然存在的误差。对于惯性器件，目前主要使用Allan方差法分析其输出中的随机误差^[1-3]。传统的非重叠Allan方差^[4]在长相关时间下估计误差较大，震荡也比较大。完全重叠Allan方差^[5]的置信度优于非重叠Allan方差，但是数据量较大时，计算时间较长^[6]。本文在分析传统总方差法的基础上，构造出半重叠总方差法。

1 传统Allan方差与完全重叠Allan方差法

Allan方差的计算过程为：

1) 以固定的采样周期τ₀采集数据，得到长度为N的原始数据，记原始数据序列为{ω_k}；

2) 将样本数据每m个分一组，得M组数据；

3) 对每组数据取平均值，得到新的输出序列，则：

(1)

4) Allan方差的计算式为：

(2)

步骤2)实际为重新采样过程，如图 1。

可以看出，采样过程中没有重叠部分，每组数据之间相互独立，所以此采样过程称为非重叠采样。重新采样后组数，记重新分组时每次滑动的步幅为d，则对于非重叠采样d=m。

完全重叠Allan方差法是在传统Allan方差法基础上发展而来，其改进就体现在采样过程上，如图 2。可以看出，重新采样时每次滑动的步幅d=1，最大程度地利用了原始数据，组数M=N－m+1。这种采样方式称为完全重叠采样。

容易看出，完全重叠采样得到的组数约为非重叠采样的m倍，数据量较大，计算速度慢。非重叠采样方式得到的数据量较小，而分析精度较低。本文使用折中的采样方式，如图 3。每次滑动步幅d介于1与m之间，得到的组数M介于另外两种采样方式之间，故称其为半重叠采样。

2 半重叠总方差法设计 2.1 传统总方差法分析

传统的总方差法^[7]使用镜像映射，在数据的两端进行延拓，从而增加原始数据量。记原始输出序列为ω={ω₁, ω₂, …, ω_N}，延拓后数据序列为ω^*，则映射规则为^[8]：

(3)

映射后数据序列长度为3N－2，约为原始数据的3倍。对新序列使用完全重叠采样方式，得每组数据的平均值：

(4)

式中，M^*=3N－m－1，M^*表示延拓数据所分组数。总方差的计算式^[7]为：

(5)

式(5)也可以写为：

(6)

式中，m最大值为N。传统总方差法使用的是全重叠采样方式，因此称为全重叠总方差。总方差的估计误差为：

(7)

式中，edf(τ)为等效自由度，其计算公式为：

(8)

式中，b、c为幂律谱噪声系数，其值取决于幂律谱噪声类型。表 1列出了3种噪声的b、c值。

2.2 半重叠总方差法

本文使用半重叠采样方式得到改进的总方差法，即半重叠总方差。对于半重叠采样方式，每组数据的平均值为：

(9)

式中，M^*表示采用第三种采样方式所分组数。容易看出，使用这种采样方式得到的数据组数M约为完全重叠采样方式的倍。则半重叠总方差法表达式构造为：

(10)

2.3 不同方法的比较

在对算法进行验证之前，首先分析不同算法采样后得到的组数M和计算时间。两种Allan方差法和两种总方差法的比较如表 2。不同方法对原始数据所分组数M不同，导致的计算时间差距很大。当所分组数M较大时，算法所用时间也较长，如完全重叠Allan方差法和总方差法；当所分组数较小时，算法的分析时间也很短，如Allan方差法；对于半重叠总方差法，其得到的组数居中，分析时间也居中。

3 实验验证 3.1 实验设计和数据预处理

实验设备包括数据采集计算机、电源、温控转台、惯性组件、磁防护罩等，如图 4所示。

将温控转台放置在隔离振动的地基上，惯性组件固定在温控转台上，将温控箱温度设置为20 ℃，并保温24 h以上，开始收集陀螺的输出。采样频率为100 Hz，采集时间为15 h。陀螺的原始输出为电压值，除以标度因数得到输入角速度(rad/h)。在设备相应位置放置温度传感器以监测惯性器件的温度是否恒定。在实验过程中，温度的平均值和标准差分别为20 ℃和0.09 ℃，说明在实验过程中温度几乎不变，因此可以将陀螺的工作环境视为温度恒定。

以Y轴光纤陀螺的输出数据为例，去除输出中的趋势项和常数项，得到随机信号分布图，如图 5。图中3条直线外的点是根据3σ原则去除的粗差点，将去除粗差后的数据进行随机误差分析。

3.2 实验设计和数据预处理

为了比较表 2中不同方法对随机信号的分析精度和计算时间，选取Y轴上光纤陀螺的300 s输出数据共30 000个数据点进行分析。

为了对不同采样间隔τ的分析精度进行比较，将采样间隔分为0~10 s、10~40 s、40~100 s三段，分别代表短相关时间、中等相关时间、长相关时间。每种算法的计算时间、不同采样间隔τ对应的标准差如表 3所示，其中括号中的值为各方法相对于Allan方差法的精度提高百分比。

分析表 2和表 3可以看出，表 2中各算法的分组数M与表 3中相应的计算时间成正相关。分析表 3中数据可以看出，在短相关时间条件下，Allan方差、完全重叠Allan方差、半重叠总方差和全重叠总方差的计算精度一致；在中等相关时间和长相关时间条件下，半重叠总方差法相对于Allan方差法有了很大提高，相对于全重叠总方差法分析精度一致，但是半重叠总方差法的分析时间比总方差法减小很多。综上所述，半重叠总方差法分析精度较高，而且算法的计算时间也比较短，克服了总方差法计算时间长、计算困难的问题。

4 结语

为解决总方差法计算时间长的问题，本文在分析Allan方差法和完全重叠Allan方差法的基础上，提出非重叠采样方式、完全重叠采样方式和半重叠采样方式，并在此基础上构造了半重叠总方差法。实验表明，半重叠总方差法保持了总方差法的分析精度，且计算时间较短，在原始数据量为30 000的情况下，分析时间仅为总方差法的1/200。