时频分析是非平稳信号分析的有力手段。以往的一些时频分析方法^[1]如傅里叶变换、短时傅里叶变换、希尔伯特变换、小波变换等在地震数据处理方面广泛应用，但也暴露出一些不足。S变换具有良好的线性、局部性、无损可逆性和多分辨性等优点，但S变换基本小波固定^[2]，时窗不能随频率灵活变化，在一定程度上限制了地震数据信噪比和分辨率的提升。近年来，国内外对S变换进行改造，提出了不同形式的广义S变换，在地震数据时频分析处理、沉积旋回分析方法研究、地震信号检测、薄互层响应分析等方面得到应用，取得良好效果。本文对目前常见的广义S变换形式进行分析，归纳总结在地震数据处理方面的应用成果。

1 常见的广义S变换形式

S变换的定义为^[3]：

(1)

基本小波为:

(2)

由式(2)可知，S变换基本小波固定、窗函数随频率变化不够灵活。诸多学者从不同角度对其进行扩展，提出了多种不同形式的广义S变换。

1.1 对窗函数进行改造的广义S变换

Mansinha等^[4]在S变换窗函数中加入调节因子γ_GS，用f/γ_GS代替f, 将窗函数改造为:

(3)

广义S变换为:

(4)

由于γ_GS控制着窗函数的有效宽度和频带宽度，调整γ_GS值可调整时窗宽度，从而提高时频分辨率。当γ_GS较小时，时窗较窄，提高了时间分辨率但降低了频率分辨率；当γ_GS较大时，时窗较宽，提高了频率分辨率却降低了时间分辨率。

Pinnegar等^[5]用双曲窗函数代替S变换中的高斯窗函数，提出一种窗函数标准差可调的非对称时窗的广义S变换。窗函数为：

(5)

其中，

(6)

(7)

广义S变换为:

(8)

由于采用不对称的双曲窗函数，时窗在低频段较宽，频率分辨率高而时间分辨率低，但受低频的影响，窗函数的不对称性增强，反过来又弥补了时间分辨率低的问题。在高频段，窗口较窄，窗函数的不对称性在保证时间分辨率的前提下提高了频率分辨率。

陈学华等^[6]引入λ、p两个参数，将S变换窗函数改造成可调控的高斯型窗函数，通过参数调整来改变时窗形态。其窗函数为：

(9)

广义S变换为：

(10)

由于在S变换窗函数中加入了λ、p，广义S变换时窗能紧随频率变化，并严格依赖λ、p，应用时需根据实际情况合理设定λ、p，使时窗能灵活适应频率变化，以获取良好的时频分析效果。

1.2 对基本小波进行改造的广义S变换

高静怀^[7]利用4个待定参数(振幅、能量衰减率、能量延迟时间及视频率)构造基本小波，提出一种基本小波可调的广义S变换。基本小波为:

(11)

式中，A为基本小波幅度；α为能量衰减率；β为能量延迟时间；f₀为基本小波视频率。广义S变换为:

(12)

由式(11)可知，其基本小波不受时窗影响，提高了信号分析的抗噪性和稳定性。但基本小波是根据地震信号特征构造的，需分析实际地震信号特点，计算特定参数，构造合适的基本小波。

2 在地震数据处理中的应用 2.1 时频域滤波去噪

地震信号作为复杂、时变的非平稳混合信号，在包含有效成分的同时，也伴有很多规则和不规则噪声，且各时段噪声又不尽相同。常用的滤波方法有频率域滤波、频率-空间域滤波、频率-波数域滤波、聚束滤波、时频域滤波、Radon变换、小波分解和重构滤波等，这些方法在实际应用中都受到一些限制。基于广义S变换的时频域滤波去噪，不仅克服了传统滤波中滤波因子不能随时间和频率变化的缺陷，而且在一定程度上提高了地震资料的信噪比和分辨率。周竹生等^[8]利用可变因子对S变换的高斯窗函数进行扩展，设计含可变因子的广义S变换时频域滤波，以合成地震记录进行滤波实验。陈学华等^[9]从高斯窗函数短时傅里叶变换入手，引入可控化参数对S变换进行推广，使时窗变化能自适应频率变化尺度，在时频平面内设计基于广义S变换的时频滤波器，对地震信号特定分量进行提取分析。

2.2 时频谱分解

时频谱分解是通过时频分析方法对地震数据进行连续频率扫描，以获取地震信号在时-频域内的时频变化情况。陈学华等^[10]利用小波函数可调的广义S变换对储层顶底的反射系数组合进行频谱分解，提出基于广义S变换的地震资料高效时频分解方法。王长江等^[11]将广义S变换应用在时变分频技术中，提出基于广义S变换的时变分频技术，通过对实际地震数据进行时频分析、二维时变滤波及广义S反变换等，实现地震数据的时变分频处理，并利用该技术对东营三角洲地区地震资料进行分频处理(见图 1)。研究表明，广义S变换具有优良的时频分辨性和高时频分辨率，对提取地震数据瞬时属性、岩性识别分析、AVO反演等具有一定的意义。

2.3 初至波识别

初至波是最先被检波点接收到的地震波，包含丰富的近地表信息，对静校正、叠加偏移、层析成像反演等起决定作用。实践表明，对低信噪比的地震数据应用集成处理软件进行初至波拾取会存在较大偏差。基于地震波在初至波起跳前后显著的频率和振幅变化，Pinnegar等^[12]利用广义S变换对含噪地震记录进行P波初至检测和拾取，P波初至在时-频域内得到清晰的展示，经时频域滤波及广义S反变换后得到准确的P波走时数据。利用广义S变换进行初至识别优点如下：1)增加了初至识别的准确性；2)能有效解决复杂地区低信噪比地震记录初至拾取问题；3)能为层析反演、近地表速度研究等提供准确的走时数据。

2.4 面波干扰压制

面波是一种广泛存在于地震记录中呈“扫帚状”的线性规则干扰波。一方面面波湮没了中深层有效反射，降低地震资料的分辨率；另一方面，面波压制的好坏直接影响后续叠加偏移的效果。目前，常用的面波压制方法有内切除、高通滤波、低截频、τ-P变换、F-K滤波、小波滤波等。然而，这些方法往往以牺牲有效信息为代价。段俊等^[13]利用广义S变换对单道地震记录进行时频分析，根据面波和有效波的时频差异在时频域内将干扰面波滤除，再反变换至时间域即实现了面波压制。该方法很好地保护了有效信号，避免了空间假频。隆文韬等^[14]应用广义S变换对炮集资料进行面波干扰压制，使原来被面波掩盖的反射波同相轴得以清楚展示(图 2)，很好地保留了低频有效信息，避免区域滤波造成的时窗边界波形畸变。

3 展望 3.1 地震弱信号识别与提取

强背景干扰下深部低频弱信号的识别和提取是目前地震数据处理的难点。曲中党等^[15]利用S变换软阈值滤波对深地震反射数据进行处理，压制了有效频带内混频干扰，增强层位追踪的可靠性，提高了深部弱反射信号信噪比和分辨率。广义S变换为地震弱信号识别和提取提供了一种新的理论基础。

3.2 精细化时变滤波

传统滤波方法中滤波因子不能随时间和频率而变化，滤波效果不尽理想。李辉峰等^[16]提出用S变换进行精细化时变滤波，杨海涛等^[17]也利用S变换时变滤波对实际地震资料进行处理，不但可定点精确去除不同时段、不同频率的噪声，同时有效信号也没有任何损失。广义S变换的时频分辨性更强，利用其进行精细时变滤波是完全可行的。

3.3 面波频散特性研究

面波在地下传播过程中会产生频散现象，对面波频散特性进行研究，可获得清晰的近地表结构，为层析成像反演、背景噪声成像等提供初始模型参数。马见青等^[18]将S变换应用在瑞雷面波频散研究中，在一定程度上提高了面波频散曲线的提取精度。随着广义S变换不断发展，可将之引入面波频散分析、层析成像反演及背景噪声成像等研究中。

4 结语

1) 广义S变换是对S变换的继承和发展，具有更强的局部性、时频分辨性和无损可逆性，是目前非平稳信号研究的热点。

2) 广义S变换在时频域联合滤波去噪、时频谱分解、初至波识别及面波压制等地震数据处理中的应用表明，其时窗形态变化更灵活、信号局部性更强、时频分辨率更高，完全可以作为提升地震资料分辨率和信噪比的一种技术手段。

3) 非平稳信号分析处理一直是现代信号分析的一个复杂而艰难的研究课题。广义S变换的提出，虽解决了地震数据处理方面的一些问题，但在弱地震信号识别与提取、精细时变滤波、面波频散特性分析等方面还值得进一步探索。