GM(1, l)模型是灰色预测模型的基础和核心，其实质是对从第二个点开始的原始数据序列作基于最小二乘方法的指数拟合, 但对数据进行拟合时, 并不能取得令人非常满意的效果。采用灰色预测模型首要考虑的是怎样将定性分析与定量预测更好地结合，以减少数据扰动，更为精确地还原数据序列原来的特征，提高模型预测精度。大量研究者尝试多种改进灰色预测模型的方法，其主要是针对建模原始数据序列的处理、建模机理的改进和对残差的修正。

首先，原始数据序列的光滑度是影响灰色预测模型精度的因素之一^[1]，李群等^[2-4]使用几种常用的函数变换方法来提高原始数据序列的光滑度，使模型获得较高的预测精度；李翠凤^[5]提出余切函数变换，在理论上证明离散数据序列经过该变换后可以极大地提高光滑度且比对数函数-幂函数变换更有效；崔杰等^[6]在对已有强化缓冲算子研究的基础上构造了一新的强化缓冲算子来提高GM(1, 1)模型的预测精度。其次，改进建模机理和残差的修正。其中，GM(1, 1)模型中背景值的构造方法是影响模型精度的重要因素之一。李俊峰等^[7-8]提出用数值积分中的Newton Cores-Wang公式和数据插值来重构GM(1, 1)模型中的背景值，并指出初值选取对模型预测精度的重要影响^[9-11]；张明远等^[12]通过多项式逼近方法对残差修正的GM(1, 1)模型进行改进，并用于基础沉降工程中，结果表明，改进后的模型预测精度有了明显提高；方毅等^[13]对上下波动比较大的数据序列应用灰色神经网络模型进行模拟和预测，取得很好的效果。虽然上述改进模型都在不同程度上提高了预测精度，但是均缺少对原始数据异常值的判断，预测值中异常信息也难以判定。贾鹏等^[14]提出利用最小二乘配置法处理连续变化的点，能够考虑已知点的相关性，反映其随时间变化的趋势性，进而检验偏离已有数学模型所能描述的部分信息，对辅助判定位置异常有一定意义。优化GM(1，1)改进模型模拟计算得到的残差中可能含有信号值，利用最小二乘配置考虑已知点的相关性及其随时间变化的特征来提取残差中的有用信号，以改化残差值，获得偏离数学模型的有用信息，使得模拟和预测精度有所提高。因此，本文将优化的GM(1, 1)模型和最小二乘配置理论有机结合，进一步对优化的GM(1, 1)模型进行改进，构建了优化的灰色最小二乘配置预测模型。经对建筑物沉降数据的定量分析与预报并与其他模型进行对比，改进模型在精度上有一定的提高，同时具有较强的稳定性。

1 GM(1，1)预测模型的建立^{[1, 3, 15]}

设X⁽⁰⁾为原始非负样本序列:

(1)

其中，x⁽⁰⁾(k)≥0, k=1, 2, …, n; X⁽¹⁾为X⁽⁰⁾的1-AGO序列:

(2)

其中, 。Z⁽¹⁾为X ⁽¹⁾的紧邻均值生成序列:

(3)

其中，。若为参数列, 且

(4)

则建立关于x⁽¹⁾(k)的一阶线性白化微分方程。利用最小二乘法求解参数a和b:

(5)

x⁽¹⁾(k)的灰色预测GM(1, 1)模型为:

(6)

其还原值可用下式得出:

(7)

2 优化GM(1, 1)预测模型的建立 2.1 基于函数变换y=arccot(x^α)的原始数据序列光滑^[16]

设原始序列为X⁽⁰⁾={x⁽⁰⁾(1), x⁽⁰⁾(2), …, x⁽⁰⁾(n)}，对其进行数据变换得到的序列记为：

(8)

其中，y⁽⁰⁾(k)=arccot(x⁽⁰⁾(k))^α。利用变换后的数据序列进行累加生成、构造背景值，进而求解参数估值。

2.2 背景值优化

根据文献[8]，利用变换后的数据序列得到新的背景值优化公式:

(9)

2.3 对初值的修正^[17]

考虑初值条件的修正形式，设修正为y⁽¹⁾(1)=y⁽⁰⁾(1)+c，参数c为修正项。这时，变换后的数据序列预测公式为：

(10)

(11)

结合式(6)、式(7)得：

(13)

c值的确定：使得原始时间序列新预测值的误差在最小二乘意义下最小，即

(14)

解得：

(15)

选取c，使得生成序列新预测值的误差在最小二乘意义下最小，即

(16)

解得：

(17)

按以上准则分别计算c值，选择较优的一个。

3 GM(1, 1)模型综合优化后预测的基本过程

1) 基于函数变换y=arccot(x^α)的原始数据序列光滑;

2) 对经光滑后的数据序列进行累加处理;

3) 采用新的背景值建模，对累加处理的数据序列进行GM(1, 1)模型预测;

4) 求解参数a、b;

5) 对边值进行修正，按两种修正准则分别算出结果，然后选择较优的一个;

6) 对该预测结果进行还原处理;

7) 利用公式对光滑后的数据预测结果进行原始数据还原处理。

4 结合最小二乘配置理论修正优化的GM(1, 1)预测模型 4.1 最小二乘配置基本理论^[14,19]

对某一测点，在t₁, t₂, …，t_n0时刻观测值分别为l₁, l₂, …，l_n0，相应的中误差为m_l1, m_l2, …，m_l0，则滤波信号为：

(18)

待估点信号为:

(19)

其中，

(20)

C_nn定义为对角元素均为C_n0的对角矩阵，c(t, t_i), c(t_i, t_j)均由同一经验协方差函数确定, i, j=1, …, n₀。

4.2 协方差函数的确定

协方差通过局部经验协方差函数中的高斯型函数^[18]获得，即

(21)

其中，。

根据具体时间跨度确定参数k的取值:

(22)

设t_ij为任两个时刻间距，i, j=1, 2, …n₀，定义

(23)

为最小相邻时刻间距、平均相邻时刻间距、最大相邻时刻间距、最大时刻间距，则：

(24)

4.3 最小二乘配置修正优化的GM(1, 1)预测模型

由于模型含误差，所以残差序列中存在真实的滤波值，即信号，最小二乘配置能够进行平差、滤波、预估等综合拟合推估。利用最小二乘配置对综合优化GM(1, 1)后的参差序列进行处理，得到滤波信号和预测值信号，利用预测值信号改进预测值。

5 实例分析

为了检验本文提出的结合最小二乘配置理论修正优化的GM(1, 1)预测模型的有效性，分别采用GM(1, 1)模型、综合优化GM(1, 1)模型和本文模型进行计算，并将各自结果和精度作比较。计算数据取自文献[17]，计算过程借助于Matlab2013R完成。在应用以上模型之前，对文献数据进行初步分析处理。该原始数据序列满足光滑条件，依次累加数据满足准指数规律，因此采用灰色GM(1, 1)模型。其计算结果和精度分析见表 1~表 4。

从表 1~表 3可以看出，综合优化GM(1, 1)模型计算的残差和相对误差小于GM(1, 1)模型的计算值；灰色最小二乘配置模型计算的残差和相对误差小于综合优化GM(1, 1)模型计算的残差和相对误差。

预测精度是指预测模型拟合的好坏，即由预测模型所产生的模拟值与历史实际值拟合程度的优劣。预测精度与时间范围、数据类型和精度测定标准有关，从表 4可以看出，预测精度高于拟合精度，这可能与预测时间范围内实测数据与模型的符合程度较好有关。而灰色最小二乘配置模型的拟合精度、拟合平均精度、预测精度以及预测平均精度均高于综合优化GM(1, 1)模型和GM(1, 1)模型，所以灰色最小二乘配置模型可以用于变形监测的数据处理，而且有较高的精度。

6 结语

灰色最小二乘配置模型集合了灰色理论和最小二乘配置的优点，能够在贫信息、小样本和数据波动等情况下作出较高精度的定性分析与定量预测，更为精确地还原原始数据序列原来的特征，提高模型的预测精度，同时具有较强的稳定性，因此能够为变形监测的数据处理提供一种较好的办法。但是如何选择数据光滑模型、最小二乘配置模型数据长度，以及灰色理论和最小二乘配置二者如何很好地结合，还需进一步研究。