GNSS信号在穿过电离层时，其传播速度会因受到电离层折射的影响而改变，从而在GNSS定位中引起一个误差，即电离层延迟误差。由于电离层是一种色散介质，这个误差大小与其信号频率及传播路径上的总电子含量(TEC)有关^[1]。对于GNSS单频用户，电离层误差通常是利用全球或者区域性电离层延迟模型进行改正，而这些模型的确立是建立在对电离层TEC变化规律长期研究的基础上的。此外，监测电离层TEC在空间天气预报和地震前兆信息获取方面有着重要的作用^[2-4]。

由于电离层延迟与GNSS信号的频率有关，使用双频观测值可以获取电离层TEC。学者们在这方面开展了大量研究工作^[5-10]。例如，蔡昌盛等^[5]使用伪距和载波相位组合观测值进行了电离层TEC计算；聂文锋等^[6]利用GPS双频观测数据进行区域电离层TEC的提取，并对提取得到的TEC精度进行了对比分析；王晓岚等^[7]综合研究了利用双频GPS观测值反演电离层总电子含量和硬件延迟偏差的方法。这些研究工作大都只使用了GPS的双频观测数据。随着三频信号的出现，Spits等^[8]利用伽利略GIOVE-A/-B导航卫星的三频观测数据进行TEC的计算分析，指出与使用双频观测数据计算相比，使用三频观测数据能得到更高精度的TEC值。

最近几年随着GNSS的快速发展，BDS和Galileo卫星均能发送三频信号，GPS卫星中已有多颗卫星发射三频信号，三频数据为电离层TEC的计算提供了更多的观测数据。在三频观测数据中使用不同的频率组合，可以得到不同的电离层TEC值，如何充分利用各频率数据获取精确的TEC是值得研究的问题。本文在分析硬件延迟偏差对不同频率观测值计算TEC影响的基础上，提出了一种使用三频观测数据计算绝对TEC的方法。

1 利用三频数据确定电离层TEC的方法 1.1 传统双频数据计算电离层TEC的方法

在只顾及一阶电离层延迟误差的情况下，电离层TEC可以通过测码伪距观测值获取，其计算公式如下^[9]：

(1)

式中，f₁、f₂分别为载波L1和L2上的频率；P₁、P₂分别为f₁、f₂频率上的测码伪距观测值；B₁₂为频间硬件延迟偏差；TEC₁₂^P表示使用f₁和f₂频率上的伪距观测数据计算得出的TEC值，其单位为TECu，1TECu=10¹⁶个电子/m²。由于多路径效应可以通过合适选址、天线加装抑径板和扼流圈等措施削减，因此式(1)中未考虑多路径误差。

由于伪距观测值精度较差，可以使用载波相位观测值对伪距进行平滑处理^[5]：

(2)

(3)

式中，m为观测历元数，N_m为载波相位线性组合后的模糊度项，φ₁、φ₂分别为f₁、f₂频率上的载波相位观测值，λ₁、λ₂为对应频率波长，上标k表示第k个历元。从式(1)和式(3)可以看出，要想获得绝对的电离层TEC值，需要对硬件延迟偏差进行改正。另外，利用载波相位观测值对伪距进行平滑之前，需要保证载波相位观测值未发生周跳或者已经对周跳进行了修复。

1.2 频间硬件延迟偏差

类似式(1)，利用f₁、f₃频率上的伪距观测值也可以获得电离层TEC。对于同一颗GNSS卫星不同频率的信号，它们穿过电离层的路径是相同的，理论上通过不同频率组合获得的TEC值应该是一样的。但由于存在不同的频间硬件延迟偏差，不同频率数据计算获得的TEC值将存在显著差异。对f₁、f₂组合和f₁、f₃组合的TEC计算式求差，可得系统硬件延迟偏差与伪距观测值之间的关系：

(4)

式中，。如果忽略硬件延迟偏差的影响，利用f₁、f₂频率上的伪距组合和f₁、f₃频率上的伪距组合计算的TEC值不再相同，将它们分别记为TEC₁₂和TEC₁₃。它们的差异与硬件延迟偏差的关系式可以写成如下形式：

(5)

将“ ”称为“频间硬件延迟偏差之差”。国际GNSS服务(IGS)以d为单位提供了对应卫星及测站不同频率间的硬件延迟偏差，本文将在后面的实例分析部分对频间硬件延迟偏差之差的时间稳定性进行分析，并比较应用硬件延迟偏差改正对电离层TEC计算结果的影响。

1.3 三频数据计算电离层TEC的方法

根据式(3)，可获得加入硬件延迟偏差改正后的TEC曲线。但由于观测噪声以及硬件延迟偏差改正数据本身的精度限制，通过不同频率两两组合获得的TEC曲线之间仍存在细微差异。为了获得唯一的TEC曲线值，笔者进行了如下推导。

硬件延迟偏差包含卫星硬件延迟偏差B^S和接收机硬件延迟偏差B^R。在短时间内，硬件延迟偏差值可视为稳定值。IGS在提供硬件延迟偏差产品的同时也提供了对应产品的精度(STD)。值得注意的是，IGS提供的硬件延迟偏差的单位为ns，因此在进行误差传播时需要注意换算为m。通过误差传播定律，可获得系统硬件延迟偏差方差：

(6)

经过载波相位观测值平滑后的观测值具有很好的平滑性，其精度主要受模糊度计算精度的影响。从式(2)可以看出，模糊度项N_m的精度主要由伪距观测值组合(P₁^k-P₂^k)和平滑历元数m决定。以载波平滑伪距观测值Φ=φ₁^kλ₁-φ₂^kλ₂+N_m为参考值，(P₁^k-P₂^k)的方差可按式(7)进行计算：

(7)

由于载波相位观测值精度较高，忽略其噪声影响，可以获得N_m的方差为σ_P12²/m。则在利用式(3)计算TEC时，其TEC的方差由误差传播率可得：

(8)

利用式(8)，同理可得f₁、f₃频率观测值计算TEC的方差σ²_TEC^φ13，从而可以利用式(9)进行加权平均计算：

(9)

式中，TEC₁₂₃^φ为合成的最终绝对TEC值；TEC₁₂^φ和TEC₁₃^φ分别为经相位平滑伪距后f₁、f₂频率和f₁、f₃频率观测值计算得到的绝对TEC值。式(9)即为利用三频观测数据计算合成绝对TEC的公式。

2 实验结果与分析 2.1 实验数据

采用IGS网站2015-04-11的GNSS多系统多频观测数据进行实验计算，为方便不同系统之间的对比，选取了3个测站具有较多GPS、BDS和GALILEO三频卫星数据的观测时段。具体测站信息及采用的卫星和观测值类型见表 1和表 2，3个测站分别来自于高纬度、中纬度和低纬度地区。

2.2 结果分析

图 1为各测站未加入硬件延迟偏差改正的TEC曲线图。其中“P1-P2”、“P1-P3”分别代表使用f₁、f₂频率组合和f₁、f₃频率组合伪距观测值计算的TEC曲线，“L1-L2”、“L1-L3”分别为对应频率组合经过载波相位观测值平滑后的TEC曲线。从图中可以看出，由于伪距观测值噪声较大，导致由此计算得出的TEC曲线有着较大的波动，利用载波相位观测值可以对其进行很好的平滑，能较好地反映TEC曲线的总体变化趋势。各卫星不同频率组合TEC曲线变化情况大体一致，且曲线之间存在一个较为明显的系统差值。其中BDS卫星的这个偏差明显大于Galileo和GPS。此外，图 1中BDS卫星计算得出的TEC曲线出现负值情况，这也是由于未进行硬件延迟偏差改正导致的。

图 2为利用公式(4)计算所得的各测站各卫星频间硬件延迟偏差之差图。可以看出，由伪距观测值计算所得的各系统硬件延迟偏差之差存在轻微的波动，但总体上基本保持稳定，其值趋于某一常数。这表明在短时间内硬件延迟偏差是稳定的，因而使用不同频率组合获得的TEC曲线具有良好的一致性。本次实验中，BDS、Galileo、GPS 3个系统硬件延迟偏差之差的标准差范围分别为0.28~0.57 m、0.28~0.37 m、0.39~0.42 m。既然硬件延迟偏差短期内保持稳定，就可以利用IGS提供的每天一个硬件延迟偏差值进行改正。

图 3为各测站加入IGS硬件延迟偏差的TEC曲线图。可以看出，除JFNG测站G03卫星，加入硬件延迟偏差后，各系统各卫星的两组频率数据计算的TEC曲线偏差值均有明显缩小，且TEC值均为正值。其中，BDS卫星由于含有较大的硬件延迟偏差，其缩小幅度最大。尽管如此，由于IGS网站DCB产品本身的精度限制，从图 3中还是能看出两条TEC曲线。

在图 3的基础上，利用公式(9)计算得到最终的TEC值。由于篇幅所限，本文只列举JFNG测站加入硬件延迟偏差的TEC值统计表(见表 3，单位TECu)。表头中的数字表示观测时段中的当地时间。从表中统计数据可以看出，加入硬件延迟偏差改正后，两组双频数据计算的TEC曲线之间相隔很小，但最大还能达到3 TECu(如G03卫星)。利用本文的方法，经过加权平均后能获得唯一的TEC结果。需要说明的是，在存在多路径误差与载波相位观测值发生周跳的情况下，不能直接应用本文的方法计算TEC，在计算TEC之前需要消除多路径误差和修复周跳。

3 结语

GNSS多系统多频信号为用户提供了更为丰富的观测数据，为电离层TEC监测提供了更多的冗余观测。本文充分利用GNSS三频伪距观测值及载波观测值，并结合IGS提供的硬件延迟偏差产品，对加入硬件延迟偏差前后的TEC曲线进行了对比。利用GPS、BDS、Galileo 3个IGS测站的卫星观测数据分析了硬件延迟偏差对计算电离层TEC的影响，结果表明，在硬件延迟偏差改正前，不同频率组合计算得到的TEC值存在明显的偏差，应用硬件延迟偏差改正后，该偏差值明显缩小。在分析伪距观测值精度与IGS硬件延迟产品精度的基础上，提出了一种利用GNSS三频数据计算TEC的方法。该方法通过加权平均，能得到唯一的TEC计算结果。