2017, Vol. 37
GNSS基线解算主要采用最小二乘方法，其数学模型(Gauss-Markov模型)分为函数模型和随机模型。为了得到高精度解算结果，这2种模型均需准确确定。GNSS观测量之间存在着物理相关性、空间相关性、时间相关性及方差不等性[1-2]，随机模型即要描述这些特性。常用的随机模型主要包括等权模型、经验模型和验后估计模型。近代平差理论中提出的验后估计，也称为方差分量估计(variance component estimation, VCE)，是通过平差后得到的残差信息来估计观测量的方差(协方差)，代表性方法有最小范数二次无偏估计(minimum norm quadratic unbiased estimator, MINQUE)、最优不变二次无偏估计(best invariant quadratic unbiased estimator, BIQUE)、约束最大似然估计(restricted maximum likelihood, REML)和最小二乘方差分量估计[3-4] (least-squares variance component estimation, LS-VCE)。经验模型一般比较简单，使用方便，适用于动态和静态定位，但该模型与接收机和观测环境相关，且实际模型的选择缺乏更严谨的理论依据。验后估计是一种严密的估计算法，通过迭代运算，可估计出各类受到不同因素影响的观测值的单位权方差因子，因此验后估计需要较多的冗余观测量，计算量大，一般适用于静态和快速静态定位。
本文将上述2种精化方法相结合，采用LS-VCE方法对卫星高度角模型中的未知参数进行估计，得到更符合实际的随机模型，并使用某矿区的GPS观测数据予以验证。
1 卫星高度角模型精化方法 1.1 LS-VCE基本原理LS-VCE方法最初由Teunissen提出，之后由Teunissen，Amiri-Simkooei等人完善。该VCE方法基于经典的最小二乘理论，使用起来灵活方便，允许自定义权阵，可以获得方差(协方差)的最小方差估计量及其估计精度，同时可以使用假设检验，如w-test、v-test来判断所获得的随机模型的正确性[5-6]。
LS-VCE利用矩阵半拉直运算将随机模型转换为Gauss-Markov模型中函数模型的形式，从而使用最小二乘法对随机模型中的未知参数，即方差(协方差)分量进行估计。本文简要地给出LS-VCE计算公式[3]。
观测量的线性观测方程为：
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(1) |
式中，y为观测值向量，x为未知数向量，A为设计矩阵，Qy为观测量的方差(协方差)阵，k为观测量的分类数，Q0, Q1, …, Qk为已知的协因数阵，σ1, …, σk为待估计的方差(协方差)，E、D分别表示求期望和方差运算。
LS-VCE得到的方差(协方差)估计值为：
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(2) |
式中，N是一个k×k矩阵，其元素为：
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(3) |
式中，L是一个k×1向量，其元素为：
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(4) |
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(5) |
式中，I为单位阵。残差为：
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(6) |
给定σ1, …, σk的初始值，使用循环迭代方法计算
GPS基线解算一般采用双差观测量构成其数学模型，本文给出单频双差观测的方差(协方差)阵。
设i、j两个测站在历元t同步观测了m颗卫星，认为不同测站对同一颗卫星的观测精度相同，即σs2=σφis2=σφjs2，s=1, 2, …，m，则i、j两个测站原始观测量在历元t的方差阵可简化表示为：
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(7) |
根据误差传播定律，得到历元t双差观测量的方差(协方差)阵：
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(8) |
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(9) |
不考虑观测量历元间的相关性，根据式(8)得到n个观测历元t1, …, tn，双差观测量的方差阵：
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(10) |
原始观测量的方差可用卫星高度角的函数表示：
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(11) |
式中，Es(t)为卫星s在历元t的高度角，f为某种函数，a、b为待定系数。
将式(11)代入式(7)中：
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(12) |
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(13) |
所以，历元t双差观测量的方差(协方差)阵为：
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(14) |
令
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(15) |
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(16) |
对于n个观测历元，有：
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(17) |
可以看出，式(17)即为式(1)中随机模型的形式(k=2)，可使用LS-VCE方法求出系数a2、b2的估值，继而确定基线双差解算的权阵。
卫星高度角模型中的函数f的确定，目前一般可分为2类。
1) 指数模型[7]：
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(18) |
式中，a0、a1、θ0为系数，E为卫星高度角。
指数模型中的系数与接收机和观测量类型有关，可根据实际观测值非线性拟合获得。更为严谨的，可通过验后估计方法求出其估值。
2) 三角函数模型：
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(19) |
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(20) |
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(21) |
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(22) |
式中，a、b为系数，E为卫星高度角。
模型(19)[8]是根据电离层延迟公式和Hopfield对流层延迟改正模型，适当调整模型(21)得出的，其中a取0，b取1；Bernese软件使用模型(20)[9]，其中a取0，b取1；GAMIT软件使用模型(21)[10]，其中a=4.3 mm，b=7 mm；模型(22)由文献[11]提出。
2 模型的实验分析 2.1 数据来源实验数据选取2012年某矿区GPS控制网中的1条基线(基线长度10.6 km)，接收机为Trimble R8，静态观测1 h，采样间隔15 s，卫星截止高度角10°，同步观测10颗卫星，选择其中的5颗卫星进行算例分析。
2.2 实验分析使用自编的MATLAB程序，对L1载波相位静态观测数据利用LS-VCE方法估计出模型(18)~(22)中的系数，确定双差观测量的方差(协方差阵)；之后使用等权模型、模型(18)、模型(19)、模型(20)分别进行基线解算，采用LAMBAD算法固定整周模糊度，将由控制网解算出的该基线向量解作为真值进行比较。
2.2.1 基于卫星高度角的随机模型系数求解为了提高解算精度和效率，需将多个历元的观测方程分组求解。
本文使用单频双差观测量线性化方程及LS-VCE方法对§1.3中提出的高度角模型系数进行估计，循环条件为：‖σfirst-σlast‖ < 10-6。对于指数模型(18)，将θ0设为10°。
在求解过程中出现了方差为负的情况，统计结果见表 1。
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表 1 模型系数估计方差为负的情况统计 Tab. 1 The statistic of negative variances |
造成负方差的原因主要有[12-13]：1)函数模型中没有足够的观测量；2)随机模型选取不当；3)方差(协方差)分量解算时，先验值不正确等。
从表 1可知，采用每组5个历元求解时所有模型在矩阵求逆时都出现了奇异矩阵，说明观测量不足；将观测历元增加至每组10个时，指数模型求出的方差值均为正；随着每组历元数的增加，σ2=a2+b2/tan2(E)、σ2=a2+b2cos2(E)模型消除了负方差；但对于σ2=a2+b2/sin2(E)、σ2=a2+b2/cos2(E)模型，每组历元数目达到40个以上时，仍有大量方差为负，且变换解算初始值也未起作用，说明这2种随机模型不适用于该观测数据的解算。
根据上述分析，对于前3种模型，当分组历元数目达到20个及以上时可估计出未知系数。对于每组20个历元，使用LS-VCE方法求解时循环迭代的平均次数分别为13.5、2.9、3.6，与表 2中每组30个历元的解算方案比较可知，后者的效率更高。观测量数量越多，估计值的可靠性越高，同时兼顾样本数量，本文采用每组30个历元的解算方案估计前3种模型中的未知系数，结果见表 2。
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表 2 模型系数估计值 Tab. 2 The estimated values of model parameters |
通过LS-VCE估计出模型系数a、b之后，可代入式(17)中求出Qy，继而计算出基线向量的浮点解，经LAMBAD算法固定整周模糊度后得到基线向量的固定解。
使用该基线的L1载波相位观测数据，分别按照等权模型和表 2中的3种模型进行双差基线解算。利用不同观测时间的数据，将4种模型计算得到的基线向量固定解与真值进行比较，结果见表 3。
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表 3 不同随机模型解算结果较差 Tab. 3 The difference between baseline components of different stochastic models |
根据3个方向的较差算出点位误差，绘制曲线如图 1所示。
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图 1 随机模型点位误差比较 Fig. 1 Comparison among positional errors of different stochastic models |
由图 1可看出：1)等权模型的计算精度最低；2)指数模型与正切模型解算精度相当，结合表 2的迭代次数可知，正切模型的解算效率更高；3)余弦模型在前30个历元解算精度最优，50个历元以后精度不及指数模型与正切模型。
3 结语随机模型的精化是获得高精度定位结果的关键，随机模型选取不恰当，不仅会降低解算精度，而且有可能导致错误的定位结果。本文通过自主编程实现了基于卫星高度角的随机模型参数的LS-VCE估计，采用负方差这一指标说明，σ2=a2+b2/sin2(E)和σ2=a2+b2/cos2(E)不适用于实际算例，为随机模型的选择提供了一定的理论依据。
通过与基线向量真值的较差比较可进一步分析出，σ2=a2+b2/tan2(E)的平均解算精度和效率最优。因此，在数据处理时应根据实际使用情况，合理地选择随机模型。
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