虽然全球GNSS基准站数量日益增多，但大多分布在陆地，南半球海洋和高纬地区几乎没有测站分布，使得参与电离层建模的GNSS观测值在全球分布极不均匀，甚至海洋上空的某些空间区域无穿刺点覆盖^[1-7]。在用球谐函数进行电离层建模时，这些无穿刺点分布区域VTEC估值实际上是由陆地上的GNSS观测值求得的球谐系数计算得到的，所以经常会出现不具有物理意义的负值。基于此问题，本文使用IGS前1 d的最终GIM作为虚拟观测值对TEC可能为负值的南半球海洋和高纬度地区进行约束，然后结合GNSS数据进行全球电离层建模。

1 附加GIM约束的电离层建模 1.1 可行性分析

考虑到日固地磁坐标系下，电离层电子密度的变化相对平滑，全球电离层TEC呈现明显的周日变化规律，连续2 d的电离层TEC分布具有一定的相似性。因此，可使用IGS前1 d的GIM格网VTEC作为第2天的虚拟观测值，直接引入法方程求解，以消除无穿刺点覆盖区域VTEC可能为负值的情况，从而保证全球电离层TEC为正值并提高无测站分布地区的建模精度。

1.2 伪距与载波信号联合解算TEC

本文结合相位和伪距观测值求解TEC时的优点，采用载波相位平滑伪距的方法得到高精度的绝对TEC^[8-9]：

(1)

式中，STEC_N为斜路径总电子含量(单位TECu)，，，f₁和f₂分别为双频载波相位的频率，N为一个连续弧段的历元数，L₁、L₂和P₁、P₂分别为每个历元的载波相位和伪距观测值，DCB_r和DCB_s分别为接收机、卫星的硬件延迟，投影函数.sin(αz))，z为测站天顶距，R为地球半径，H为电离层薄层的高度，取450 km，VTEC(λ, s)表示球谐函数，λ和s分别为穿刺点的地磁纬度和日固经度，为完全正规化的n阶m次勒让德函数，a_nm和b_nm为待求的球谐系数。

1.3 附加GIM约束的球谐模型

对于每个VTEC为负值的格网点，以该格网点为中心按照纬度方向0.5°、经度方向1°的间隔将周围的4个格网平均分成100个格网，共计121个格网点(如图 1)。在空间域内插出这些加密后格网点对应的前1 d VTEC虚拟观测值L_{vir, i}，并将其代入式(1)的球谐函数VTEC(λ_i, s_i)，即可构造如式(2)的观测方程：

(2)

假设L_{vir, i}的精度相同且不相关，设其初始权p_i=0.1，则虚拟观测值的权阵，I为单位阵。所以可得到虚拟观测值的法方程矩阵和常数项矩阵。

1.4 全球电离层TEC的计算

1) 在未附加虚拟观测值的情况下，按照法方程叠加的方式逐步读入GPS观测值，形成法方程。

2) 利用最小二乘求解模型系数，并保留N和W，然后基于球谐系数求解GIM，并记录VTEC为负的格网点。

3) 对于每个VTEC为负值的格网点，均可得到法方程阵和常数项阵，然后将其依次添加到步骤2保留的最新的法方程阵N_old和常数阵W_old中，形成最终的N和W:

(3)

式中，n为步骤3中记录的VTEC为负值的格网点数目。

4) 重复步骤2、3，直至所有格网点的VTEC均为正。

2 模型有效性检验 2.1 卫星和接收机硬件延迟精度分析

本文以CODE发布的硬件延迟作为参考，将各分析中心的结果与其进行对照。以2014年第12 d(每月随机抽取1 d)的卫星硬件延迟为例，给出了32颗GPS卫星各个分析中心的RMS和MEAN统计表(表 1)。从表 1可以看出，各个分析中心的MEAN基本在0.04 ns内；SGG(本文计算结果)、JPL与CODE的一致性最好，RMS分别优于0.16 ns和0.17 ns，ESA和UPC的RMS可稳定在0.2 ns左右。总体上可认为各分析中心的产品精度相当。

由于建模测站较多，限于篇幅，本文按照测站所在位置进行划分，统计了SGG和CODE在不同纬度带的10个共同基准站上接收机硬件延迟在2014年的时间序列。从图 2可看到，在不同纬度带SGG与CODE的硬件延迟估值变化基本一致，二者之差的变化幅度基本在0~1 ns波动。

表 2给出了上述10个测站在2014年相对于CODE的RMS和MEAN。可以看出，不同纬度带的RMS和MEAN略有差异，整体上看RMS大部分可控制在0.6 ns以内，MEAN与CODE基本一致，所以认为SGG与CODE的硬件延迟达到同等水平。

2.2 全球电离层TEC格网精度分析

以2014-07-18~07-20共3 d分布在全球的247个IGS站的GPS数据为例，统计了附加VTEC约束前后的残差分布(图 3)。

从图 3可知，附加格网VTEC约束前后，单位权中误差分别为2.21 TECu、2.26 TECu，残差绝对值在3 TECu内的分别占92.48%和90.79%。说明附加VTEC约束作为虚拟观测值对建模结果的内符合精度影响甚微，可认为两者的结果是一致的。

将2014年年积日200天施加格网VTEC约束前后的GIM变化分5个时段(UT00:00、UT06:00、UT12:00、UT18:00、UT24:00)绘制于图 4。前2列分别表示施加约束前后的GIM，用SG0和SGG表示，后2列分别是SGG相对于SG0和IGS的差值，用SGG-SG0和SGG-IGS表示。可以看出，施加约束前，VTEC为负值多分布在南半球海洋或高纬地区(图中空白区域，CODE在该天发布的产品在相应区域也出现成片的空白情况)，施加约束后，有效避免了左图空白区域的情况。从SGG-SG0可以看出，变化幅度在±3 TECu左右的区域大多是在施加约束前VTEC为负值的地区，其他地区VTEC的变化基本可控制在±1 TECu左右。这说明施加虚拟测值后，对原有非负电离层VT EC影响甚微，又有效避免了电离层TEC负值的出现，验证了本文方法的可行性。从SGG-IGS可以看出，SGG与IGS最终产品在各时段的分布基本一致(变化幅度在3 TECu)；在南半球海洋和中高纬区域，两者差异在1 TECu；差值较大的区域位于赤道附近(4~8 TECu。)

在空间域上，根据全球IGS站所处位置，按照统计每个测站的VTEC精度，其中V为该测站某条射线的残差，n表示一个测站在该天有效的卫星视线总数。

图 5显示了在2014年年积日200天全球参与建模的IGS站VTEC的RMS在全球分布情况。可以看出，中高纬度地区在各个基准站上的精度较高，基本可控制在2~3 TECu；赤道附近精度稍差，最高可达7 TECu，这是因为精度受到电离层赤道异常影响。

3 结语

利用球谐函数进行全球电离层建模时，由于南半球海洋和高纬度地区的IGS站分布较少且不均匀，导致这些区域会出现TEC为负的现象。基于此，本文利用前1 d的GIM产品作为虚拟观测值参与全球电离层建模。结果显示，该方法能有效解决TEC为负的问题，全球电离层图与CODE的电离层产品精度基本相当，RMS和MEAN分别优于2 TECu和1 TECu；施加虚拟观测值前后的单位权中误差和残差分布较为一致，说明施加虚拟观测值并不会对模型的内符合精度产生影响；在空间域上，大部分基准站VTEC的RMS可控制在3 TECu内，赤道附近精度稍差。本文方法也能有效保证卫星和接收机DCB的精度，卫星DCB与CODE符合最好，RMS优于0.16 ns；SGG与CODE的接收机DCB估值变化基本一致，二者之差的变化幅度基本在0~1 ns。