先进高强钢在汽车结构件中的应用是实现汽车轻量化和提高车身碰撞安全性的有效途径之一。高强度钢板热冲压成形技术克服了传统冷冲压过程中高强度钢板易开裂、回弹严重且成形困难的缺点，所制成的零件具有较高的成形强度和成形精度，在汽车高强度零部件的制造中已得到广泛应用^{[1, 2, 3]}。在热冲压过程中，钢板被预先加热到奥氏体化温度以上，然后在模具中迅速冲压成形同时进行淬火，其间钢板经历复杂的温度、应力、组织变化，这些变化都会影响最终成形性能；因而，研究热冲压钢板的热变形行为并建立本构方程对热冲压工艺优化及组织性能控制具有十分重要的意义。

22MnB5钢是目前热冲压工艺中最常用的钢材，对于其热变形行为和本构模型的研究也已大量开展，相继建立了Johnson-Cook^{[1, 2]}、Voce-Kocks^[2]、Arrhenius^[3]、Norton-Hoff型的本构模型^{[4, 5, 6]}。Naderi等^[2]基于等温单轴压缩实验数据建立了Voce-Kocks模型和Molinari-Ravichandran模型来描述22MnB5钢的热变形行为。Li等^[3]较为系统地研究了热冲压硼钢在各种微观组织状态下的热变形行为,并基于Arrhenius和Johnson-Cook方程建立其本构模型。最近，Zhang等^[7]在此基础上开发出了1800MPa级新型热冲压用钢22MnB5Nb，由于其相比传统热冲压钢具备更好的强韧性、更优异的耐延迟开裂性能等特性，使其不仅在汽车制造中广泛应用，而且在页岩气开采装备、航空航天装备等的承力结构件上也具有广阔的应用前景。而关于这种新型热冲压用钢的热变形行为及本构关系的研究鲜有报道，这在一定程度上制约了新型热冲压钢的研发和应用，因此，本工作以新型超高强度热冲压用钢22MnB5Nb为研究对象，采用Gleeble 1500D 热模拟试验机研究其热变形行为，并建立反映该材料流动特性的本构模型。

1 实验材料与方法

实验钢采用50kg真空感应炉冶炼，其化学成分见表 1。热拉伸试样的尺寸如图 1所示，标距为60mm。等温单向热拉伸实验在Gleeble-1500D 热模拟试验机上进行，具体流程为：将试样以5℃/s 的速率加热到1000℃，保温300s使材料充分奥氏体化，然后以40℃/s的速率冷却至变形温度后保温10s，使试件的温度稳定，再进行等温拉伸。变形温度为600，700，800，900，950℃，变形速率为0.1，1.0，10s^-1，变形结束后进行空冷。

2 结果与分析 2.1 真应力-真应变曲线

图 2为22MnB5Nb钢在不同变形温度与应变速率下的真应力-真应变曲线，可见，实验钢的流变应力主要与应变速率、变形温度及应变量有关。在同一应变速率和应变量一定的条件下，其流变应力随变形温度升高而降低(图 2(a))，在同一变形温度和应变量一定的条件下，其流变应力随应变速率增加而增大(图 2(b))。同时，实验钢的流变应力随着应变量的增加而逐渐增大到某一峰值，此后便趋于稳定，未表现出明显下降，表现为典型的动态回复型变形行为。这是由于在变形初始阶段，实验钢因发生加工硬化而使得流变应力不断提高；随着变形的进行，位错密度不断增加，储存能不断增大，回复的驱动力也变大，由此引起的动态回复软化作用逐渐抵消部分加工硬化效果，从而在真应力-真应变曲线上表现出真应力上升变缓的趋势，最终在达到峰值应力后，实验钢中的动态回复软化作用与加工硬化作用处于动态平衡而表现为稳态流变特征^{[3, 6]}。

2.2 基于传统拟合回归方法的热变形本构方程

Arrhenius 本构方程是目前使用最广泛的材料高温热变形本构方程之一，常用于描述材料在高温下的流变应力与应变速率、变形温度之间的关系^{[8, 9, 10]}。它包括指数方程、幂指数方程和双曲正弦方程3种形式^{[11, 12, 13]}：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：σ为流变应力，MPa；为应变速率，s^-1；R为气体常数，8.3145J·mol^-1·K^-1；T为温度，K；Q为热变形激活能，J·mol^-1；A (A₁,A₂)，α，n (n₁)，β为材料常数，α=β/n₁。在传统的本构方程中，Zener-Hollomon参数Z被用于表示应变速率和变形温度对材料热变形行为的影响(式(1))，幂指数形式的本构方程适用于流变应力较低时(ασ<0.8)(式(2))，指数形式的本构方程适用于流变应力较高时(ασ>1.2)(式(3))，而双曲正弦本构方程适用于较宽应力范围，且能更好地描述参数Z与应力的关系^{[14, 15]}。上述3个方程式(式(2)~(4))的描述是不完整的，这是由于式中并未指明流变应力对应的应变量，但在目前研究中广泛选用峰值应力来建立本构方程，本工作也是如此。

对式(2)，(3)两边分别取自然对数，可得：

(5)

(6)

当变形温度为恒定值时，利用偏微分法可求得

(7)

(8)

对ln-lnσ_P和ln-σ_P进行线性回归，如图 3所示，由斜率可以得到n₁和β值。对不同温度下n₁和β值取平均值，可得n₁=9.11911，β=0.03155，α=β/n₁=0.00346。

对式(4)两边取对数可得

(9)

当分别假设变形温度和应变速率恒定时，利用偏微分可得式(10)，(11)：

(10)

(11)

根据ln[sinh(ασ)]-ln和ln[sinh(ασ)]-1/T关系，如图 4所示，可以求得n的平均值为6.7156，Q值为182.683kJ/mol，A值为2.609×10⁸。将求解值代入式(1)，(4)中即得到22MnB5Nb钢的双曲正弦本构方程为：

(12)

2.3 基于Quasi-Newton BFGS算法的新型热变形本构方程

目前报道的双曲正弦本构方程均采用上文所述传统方法进行求解^{[11, 12, 13, 16]}，即通过线性回归求得局部范围内的参数n₁和β值，然后对α进行求解，此时获得的α并非全局解，且参数n和Q也是在各变形参数下的近似平均值，并非最优解；同时，利用传统方法求解不能一次求得所有参数，在求解过程中须进行多次拟合，步骤较复杂。

Quasi-Newton BFGS算法是求解非线性优化问题最有效的方法之一，在数学问题求解优化中得到了广泛应用^{[17, 18]}，但鲜有研究者将其应用于本构方程求解。为此，本工作提出一种基于Quasi-Newton BFGS算法的新型求解方法，即利用Matlab软件，采用最小二乘法中的Quasi-Newton BFGS算法，对双曲正弦本构方程进行一次性拟合求得各参数的全局优化解。此方法求解简单且能更好地考虑各参数与全局数据之间的关系。

鉴于Arrhenius双曲正弦本构方程的高度非线性特征，首先对式(4)变形以提高其拟合精度：

(13)

设：y=σ_P，x₁=ln，x₂=1/T，k₁=1/n，k₂=Q/nR，k₃=lnA/n，k₄=1/α，则有：

(14)

在Matlab软件中导入实验数据，利用Quasi-Newton BFGS算法对式(14)进行拟合求解。在求解过程中需要设定合适初值以便于计算收敛，已有研究表明各类钢铁材料的Arrhenius本构方程的α，n等系数均处于同一数量级^{[9, 10, 11]}，故任意选定某一钢种的系数来赋初值均能够得到很好的收敛且求解结果几乎无差别。最终求解得到：k₁=0.1307，k₂=2.9481，k₃=2.627，k₄=293.2551，α=0.00341，n=7.653，Q=187.582，lnA=20.1081。将求解值代入式(1)，(4)中，可得：

(15)

2.4 考虑材料常数应变补偿的Arrhenius本构方程

传统计算方法只考虑峰值应变对应的峰值应力，而并未将其他应变量考虑在内，这在一定程度上限制了其应用。为此，有学者在传统Arrhenius型本构方程基础上开发出了考虑材料常数应变补偿的Arrhenius型本构方程，并得到广泛采用^{[11, 13, 16]}。在本工作中，利用上述求解峰值应力材料常数的方法，分别对不同应变量(0.05，0.10，0.15，0.20，0.25，0.30，0.35，0.40，0.45，0.50)的材料常数值进行求解，并利用式(16)~(19)对求解数值和应变量进行5次多项式拟合分析，得到拟合系数如表 2所示，拟合结果如图 5所示。

(16)

(17)

(18)

(19)

2.5 本构方程的预测精度分析

本工作建立的3种本构方程均可用于材料的热变形本构特征的研究。利用基于传统拟合回归方法的本构方程和基于Quasi-Newton BFGS算法的本构方程可以求得某一应变量所对应的应力(如峰值应力、稳态应力等，在本工作中为峰值应力)和变形参数间的关系。而利用考虑材料常数应变补偿的Arrhenius本构方程则能预测不同变形条件下的流变应力曲线，得到任意应变量对应的应力和变形参数间的关系^[13]。故在本工作中选用3种本构方程都能计算求得的不同变形参数下的理论峰值应力来对本构方程的精度进行分析。

为定量评价所建立方程的精度，引入相关系数(R)、均方根误差(R_e)和平均相对误差(E)参数进行评价^[10]，如图 6所示。由图 6可知，3种本构方程所预测的流变应力与实验值均存在较好的相关性，其中，基于Quasi-Newton BFGS算法的本构方程具有最高预测精度(R=0.99578，R_e =11.03MPa，E=2.48%)，传统双曲正弦形式的Arrhenius 型本构方程其次(R=0.99543，R_e =11.26MPa，E=2.60%)，考虑材料常数应变补偿的Arrhenius本构方程精度最低(R=0.99517，R_e =11.52MPa，E=2.66%)。但应当注意的是，考虑材料常数应变补偿的Arrhenius本构方程由于考虑了应变量的影响且能直接得到应力-应变曲线而具有独特优势，在实际应用中(如热加工工艺制定、有限元模拟等)需要获取多个应变量下应力与参数关系时，则优先选用本方程。图 7为采用考虑材料常数应变补偿的Arrhenius本构方程预测得到的曲线与实验测得的真应力-真应变曲线对比，可见在不同变形条件下两者均有较好吻合，且该方程可以较好地预测变形过程中的加工硬化效应、动态回复软化效应和应变速率强化效应。

3 结论

(1)22MnB5Nb钢在变形温度为650～950℃，应变速率为0.1,1.0,10s^-1的条件下的热变形行为表现为典型的加工硬化和动态回复型，变形温度与应变速率均对其流变应力有较大影响。

(2)建立了实验钢的传统双曲正弦形式的Arrhenius 型和考虑材料常数应变补偿的Arrhenius 型本构方程，并提出了基于Quasi-Newton BFGS算法的Arrhenius 型本构方程求解方法，所提出的新算法具有可一次性求解所有材料参数和求解步骤简单的特点。

(3)3种本构方程均可以对实验钢的峰值流变应力给出准确的预测。其中，基于Quasi-Newton BFGS算法的本构方程具有最高预测精度。考虑材料常数应变补偿的Arrhenius本构方程精度相对较低，但其能直接预测不同变形条件下的流变应力曲线。