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加权整体最小二乘EIO模型与算法
邓兴升1, 彭思淳1, 游扬声2     
1. 长沙理工大学交通运输工程学院, 湖南 长沙 410114;
2. 重庆大学土木工程学院, 重庆 400044
摘要:构造了加权整体最小二乘EIO(errors-in-observations)模型,只改正独立观测值,观测值协因数阵最简洁,可克服EIV模型缺陷。基于EIO模型推导了参数估计和协因数阵精确迭代算法,实例结果正确,计算效率高。
关键词加权整体最小二乘    EIO模型    参数估计    协因数阵    迭代算法    
Weighted total least square adjustment EIO model and its algorithms
DENG Xingsheng1, PENG Sichun1, YOU Yangsheng2     
1. School of Traffic and Transportation Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China;
2. School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China
Abstract: EIO (errors-in-observations) model is proposed for the weighted total least squares adjustment problem. The EIO model only corrects the independent observations. The observation cofactor matrix has the simplest structure. The flaw of EIV model is overcome. Based on the EIO model, the precise parameter estimation and cofactor matrix formulations are derived and proved by several examples, which show that the results are correct and the algorithm is efficient.
Key words: weight total least square (WTLS)    errors-in-observations (EIO) model    parameter estimation    cofactor matrix    iterative algorithm    

一些学者认为整体最小二乘EIV模型系数矩阵A存在结构性问题[1-4],一是含有非随机的常数项被误改正;二是含有相同元素被分配不同改正数。针对A中部分变量随机的结构性问题,有人提出采用Partial-EIV模型[4-6],将矩阵分解以避免改正非随机项并缩小计算量。本文研究发现EIV模型结构性问题并不存在,结构性问题是协因数阵QA不正确引起的。EIV模型解与A的结构无关,A的元素可相关,可为常数,可为观测量的函数,其位置可以任意分布。许多算法[7-9]均基于QA定权,但QA阶数是A中所有元素总数的平方,A元素较多时QA阶数过大,因此EIV模型在大数据量平差中迭代计算效率较低。由于EIV模型对矩阵A元素改正处理有缺陷,一些学者提出将观测向量与系数阵A中的随机元素统一至一个向量中进行处理[10-12],提出了TLS牛顿算法[10]、结构化TLS算法[11]、非典型EIV模型算法[12]。本文提出WTLS平差EIO模型,它只对平差问题中的独立观测值进行改正,观测值协因数阵是最简洁的对角阵,适用于独立平差,推导了参数估计迭代公式。由于TLS解具有非线性特征,不能直接求得精确方差,为了获得更精确的精度信息,一些学者提出基于误差传播定律的协因数迭代算法[13],以及基于无味变换原理的非线性误差传播方法[14]。前者是一种确定性方法,计算效率更高。本文基于EIO模型提出了QXX的精确迭代算法。

1 EIO模型 1.1 函数模型

误差方程如下

(1)

式中,LXV都是列向量;Lm维观测向量;Vn维(nm)独立观测改正数向量;Xu维未知参数向量;A为未知参数Xm×u阶系数矩阵;B为改正数向量Vm×n阶系数矩阵,B=diag([∂f(L, X)/Li]1m)= ivec(SBX+B0),SBB0为常系数阵,ivec表示反拉直运算,由mn×1向量转换为m×n阶矩阵。式(1)由EIV模型演变而来。由EIV模型

(2)

将误差矩阵EAe组成增广矩阵[EA  e],归类改写成一个系数矩阵B与独立观测值改正数向量V的矩阵乘积

(3)

式(3)反号即得式(1)。LA的改正矩阵VLVAV的关系为

(4)

式中,SLSA为设计系数矩阵。

1.2 随机模型
(5)

式中,ln阶扩展观测值矩阵;Vl矩阵的改正数向量;σ02是单位权方差;QllP分别是l矩阵对应的协因数矩阵及权矩阵

(6)

式中,QL为观测向量L的协因数矩阵;QA为vec(VA)的协因数矩阵。

2 参数估计 2.1 公式推导

目标方程为VTPV= min s.t. LAXBV=0,构造拉格朗日极值方程

(7)

矩阵A中不含改正数V。由式(3)可知BV=EAXe。由Φ分别对VX求偏导,得

(8)
(9)

=A+VA,联合式(1)、式(8)—式(9)可得

(10)

式(10)虽可求VXK混合矩阵,但需对n+m+u阶矩阵求逆。由式(8)得

(11)

将式(11)代入式(1)得

(12)

=(BP-1BT)-1,则

(13)

将式(13)代入式(9),设=L+VAX,则X的WTLS解为

(14a)

(14b)

其形式与经典LS解和文献[15]算法一致。由式(13)求K矩阵,并代入式(11)求矩阵V

(15)

本文算法与文献[15]算法之间不同点对比见表 1

表 1 本文算法与文献[15]算法对比 Tab. 1 Comparisons between FANG algorithm[15] and the proposed algorithm
项目 文献[15]算法 本文算法
函数模型 EIV、式(2) EIO、式(1)
随机模型 式(6)、QAQL 式(5)、Qll
Q阶数 m(u+1)×m(u+1) n