2. 重庆大学土木工程学院, 重庆 400044
2. School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China
一些学者认为整体最小二乘EIV模型系数矩阵A存在结构性问题[1-4]，一是含有非随机的常数项被误改正；二是含有相同元素被分配不同改正数。针对A中部分变量随机的结构性问题，有人提出采用Partial-EIV模型[4-6]，将矩阵分解以避免改正非随机项并缩小计算量。本文研究发现EIV模型结构性问题并不存在，结构性问题是协因数阵QA不正确引起的。EIV模型解与A的结构无关，A的元素可相关，可为常数，可为观测量的函数，其位置可以任意分布。许多算法[7-9]均基于QA定权，但QA阶数是A中所有元素总数的平方，A元素较多时QA阶数过大，因此EIV模型在大数据量平差中迭代计算效率较低。由于EIV模型对矩阵A元素改正处理有缺陷，一些学者提出将观测向量与系数阵A中的随机元素统一至一个向量中进行处理[10-12]，提出了TLS牛顿算法[10]、结构化TLS算法[11]、非典型EIV模型算法[12]。本文提出WTLS平差EIO模型，它只对平差问题中的独立观测值进行改正，观测值协因数阵是最简洁的对角阵，适用于独立平差，推导了参数估计迭代公式。由于TLS解具有非线性特征，不能直接求得精确方差，为了获得更精确的精度信息，一些学者提出基于误差传播定律的协因数迭代算法[13]，以及基于无味变换原理的非线性误差传播方法[14]。前者是一种确定性方法，计算效率更高。本文基于EIO模型提出了QXX的精确迭代算法。
1 EIO模型 1.1 函数模型误差方程如下
(1)
式中，L、X、V都是列向量；L为m维观测向量；V是n维(n≥m)独立观测改正数向量；X是u维未知参数向量；A为未知参数X的m×u阶系数矩阵；B为改正数向量V的m×n阶系数矩阵，B=diag([∂f(L, X)/∂Li]1m)= ivec(SBX+B0)，SB与B0为常系数阵，ivec表示反拉直运算，由mn×1向量转换为m×n阶矩阵。式(1)由EIV模型演变而来。由EIV模型
(2)
将误差矩阵EA及e组成增广矩阵[EA e]，归类改写成一个系数矩阵B与独立观测值改正数向量V的矩阵乘积
(3)
式(3)反号即得式(1)。L和A的改正矩阵VL和VA与V的关系为
(4)
式中，SL和SA为设计系数矩阵。
1.2 随机模型
(5)
式中，l为n阶扩展观测值矩阵；V是l矩阵的改正数向量；σ02是单位权方差；Qll和P分别是l矩阵对应的协因数矩阵及权矩阵
(6)
式中，QL为观测向量L的协因数矩阵；QA为vec(VA)的协因数矩阵。
2 参数估计 2.1 公式推导目标方程为VTPV= min s.t. L－AX－BV=0，构造拉格朗日极值方程
(7)
矩阵A中不含改正数V。由式(3)可知BV=EAX－e。由Φ分别对V、X求偏导，得
(8)
(9)
设
(10)
式(10)虽可求V、X、K混合矩阵，但需对n+m+u阶矩阵求逆。由式(8)得
(11)
将式(11)代入式(1)得
(12)
设
(13)
将式(13)代入式(9)，设
(14a)
或
(14b)
其形式与经典LS解和文献[15]算法一致。由式(13)求K矩阵，并代入式(11)求矩阵V
(15)
| 项目 | 文献[15]算法 | 本文算法 |
| 函数模型 | EIV、式(2) | EIO、式(1) |
| 随机模型 | 式(6)、QA、QL | 式(5)、Qll |
| Q阶数 | m(u+1)×m(u+1) | n×n |
| Q特征 | 非主对角矩阵 | 主对角矩阵 |
| V定义 | V=[vec(EA) e]T | V=[vl1vl2…vln]T |
| V阶数 | m(u+1)×1 | n×1 |
| B定义 | B=[XT⊗In －In] | B=diag([∂f/∂Li]1m) |
| B阶数 | m×m(u+1) | m×n |
| 平差方法 | 相关平差 | 独立平差 |
| QXX | 近似公式 | 迭代精确解 |
| 计算效率 | 小数据量无差异 | 大数据量时更优 |
2.2 迭代步骤
(1) 线性化形成误差方程式(1);
(2) 设置X初值，改正数V初值为0；矩阵
(3) 将B、P、A、
(4) 将X、V的新值用于更新B、
(5) 重复步骤3—4，‖[X V]i+1－[X V]i‖≤ε(10－18)结束。
3 EIO模型精度评定 3.1 近似精度评定单位权方差
由
(16)
设X、L、vec(A)构成(u+m+mu)×1阶矩阵Y，其协因数阵为
(17)
式中，A与L不相关，即QLA=QAL=0。若QL、QA已知，则QY为
(18)
QY通过迭代求解，QY0初值虽可设置为0，但QX初值可由式(16)计算，QL与QA初值由式(6)计算，其余协因数初值设为0。J为Jacobi矩阵
(19)
式中，因不相关JLX=JLA=JAX=JAL=0；JLL为m阶单位矩阵；JAA为mu阶单位矩阵；
设
(20)
式中，由
由B=SB·X+B0得
由式(14a)对li求偏导得
(21)
式中，
由式(14a)对aij求偏导得
(22)
式中，
符号含义：c为规范化单位向量，u阶ci=[0 … 0 1 0 … 0]T，第i行为1，其余为0；m阶cj=[0 … 0 1 0 … 0]T，第j行为1，其余为0；cij为m×u阶矩阵，表示第i行第j列为1，其余为0。
迭代算法求QX精确解的步骤如下：
(1) 设置QY0初值，设置容许误差ε(10－18)及迭代次数Tn(100)；
(2) 计算偏导数及Jacobi矩阵J；
(3) 以QY(k+1)=JQY(k)JT更新QY值；
(4) 如果||QY(k+1)－QY(k)||>ε重复步骤3，满足收敛条件步骤5；
(5) 从QY中提取QX。
4 实例计算 4.1 直线拟合本例引自文献[16]直线拟合实例，数据见原文。直线方程为y+vy=k(x+vx)+b，误差方程形式为
本实例来自文献[17]，坐标参见原文表4，权数据参见原文式(39)。平面四参数坐标转换模型为
式中，(xi, yi)为源坐标；(Xi, Yi)为目标坐标；x0和y0为平移参数；a和b为旋转参数。误差方程形式为
EIO模型只改正独立观测值，协因数阵最简洁，适用于大规模独立平差，可克服EIV模型缺陷。基于EIO模型的参数估计和协因数阵精确迭代算法，实例结果正确，计算效率高。
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